मिश्रित, इकाई, सजातीय और विषम भिन्नों की परिभाषा

मिला हुआ. एक मिश्रित अंश एक से अधिक या उसके बराबर पूर्णांक और एक उचित अंश, एक अंश की सामान्य वर्तनी से बना होता है मिश्रित रूप का है: \(a + \frac{c}{d},\) जिसका कॉम्पैक्ट लेखन है: \(a\frac{c}{d},\;\), यानी: \(a\ अंश {सी} {डी} = ए + \frac{c}{d}\). संख्या \(a\) को मिश्रित अंश का पूर्णांक भाग कहा जाता है और \(\frac{c}{d}\) को इसका भिन्नात्मक भाग कहा जाता है।

सजातीय. यदि दो या दो से अधिक भिन्नों के हर समान हों, तो उन्हें समान भिन्न कहा जाता है। उदाहरण के लिए, भिन्न \(\frac{3}{4},\) \(\frac{7}{4},\) \(\frac{1}{4},\) \(\frac{{ 10}}{4}\) सजातीय हैं क्योंकि उन सभी में एक ही भाजक है, जो इस मामले में \(4\) है। जबकि भिन्न \(\frac{3}{4},\) \(\frac{7}{4},\) \(\frac{1}{4},\) \(\frac{5} { 2}\) नहीं हैं सजातीय भिन्न क्योंकि \(\frac{5}{2}\) का हर \(2\) है और अन्य भिन्नों का हर है \(4\). सजातीय अंशों के फायदों में से एक यह है कि कार्यों के जोड़ और घटाव के अंकगणितीय संचालन बहुत सरल हैं।

विजातीय. यदि दो या दो से अधिक भिन्न, जिनमें से कम से कम दो में समान हर न हो, तो इन भिन्नों को विषम भिन्न कहा जाता है। निम्नलिखित अंश विषम हैं: \(\frac{3}{5},\;\) \(\frac{7}{5}\), \(\frac{1}{4},\) \(\ फ़्रेक{2}{5}\).

अमली. एक भिन्न को एक इकाई के रूप में पहचाना जाता है यदि अंश 1 \(1,\) \(2\) के बराबर है। निम्नलिखित भिन्न इकाई भिन्न के उदाहरण हैं: \(\frac{1}{2},\;\) \(\frac{1}{3}\), \(\frac{1}{4}\), \(\;\frac{1}{5}\).

मिश्रित अंश की मौखिक अभिव्यक्ति

मिश्रित अंश	मौखिक अभिव्यक्ति
\(3\frac{1}{2} = \)	पूरे साढ़े तीन
\(5\frac{3}{4} = \)	पाँच पूर्णांक और तीन चौथाई
\(10\frac{1}{8} = \)	आठवें के साथ दस पूर्णांक

मिश्रित भिन्न को अनुचित भिन्न में बदलना

मिश्रित अंश अनुमान लगाने के लिए उपयोगी होते हैं, उदाहरण के लिए, इसे स्थापित करना आसान है:

\(5\frac{1}{{20}} > 4\frac{9}{{10}}\)

हालांकि, मिश्रित अंश आमतौर पर गुणा और भाग जैसे संचालन करने के लिए अव्यावहारिक होते हैं, यही कारण है कि यह महत्वपूर्ण है कि मिश्रित अंश में कैसे परिवर्तित किया जाए।

पिछला आंकड़ा मिश्रित अंश \(2\frac{3}{4}\) का प्रतिनिधित्व करता है, अब प्रत्येक पूर्णांक से बना है चार तिमाहियों, इसलिए 2 पूर्णांकों में 8 तिमाहियाँ हैं और इनमें हमें अन्य 3 तिमाहियों को जोड़ना होगा, अर्थात कहना:

\(2\frac{3}{4} = \frac{{2\बाएं (4 \दाएं) + 3}}{4} = \frac{{11}}{4}\)

आम तौर पर:

\(a\frac{c}{d} = \frac{{ad + c}}{d}\)

निम्न तालिका अन्य उदाहरण दिखाती है।

मिश्रित अंश	संचालन करने के लिए	अनुचित अंश
\(3\frac{1}{2}\)	\(\frac{{3\बाएं (2 \दाएं) + 1}}{2}\)	\(\frac{7}{2}\)
\(5\frac{3}{4}\)	\(\frac{{5\बाएं( 4 \दाएं) + 3}}{4}\)	\(\frac{{23}}{4}\)
\(10\frac{1}{8}\)	\(\frac{{10\बाएं( 8 \दाएं) + 1}}{8}\)	\(\frac{{81}}{8}\)

एक अनुचित भिन्न को एक मिश्रित भिन्न में बदलना

एक अनुचित भिन्न को एक मिश्रित भिन्न में बदलने के लिए, भागफल की गणना करें और अंश को भाजक से विभाजित करने के शेषफल की गणना करें। प्राप्त भागफल मिश्रित अंश का पूर्णांक भाग होगा और उचित भिन्न होगा \(\frac{{{rm{शेष}}}}}{{{rm{भाजक}}}}\)

उदाहरण

\(\frac{{25}}{7}\) को मिश्रित अंश में बदलने के लिए:

किए गए कार्यों के लिए हम प्राप्त करते हैं:

नीचे दी गई तालिका अन्य उदाहरण दिखाती है।

अनुचित अंश	भागफल और शेष की गणना	अनुचित अंश
\(\frac{{25}}{7}\)		\(3\frac{4}{7}\)
\(\frac{{35}}{8}\)		\(4\frac{3}{8}\)
\(\frac{{46}}{5}\)		\(9\frac{1}{5}\)

मिश्रित और उचित भिन्नों का दैनिक उपयोग

रोजमर्रा की जिंदगी में हमें मापने, खरीदने, कीमतों की तुलना करने, छूट देने की जरूरत है; मापने के लिए हमें माप की इकाइयों की आवश्यकता होती है और वे हमेशा उत्पादों की पूरी इकाइयों की पेशकश नहीं करते हैं और आप हमेशा एक इकाई के सिक्कों की पूरी मात्रा के साथ भुगतान नहीं करते हैं।

उदाहरण के लिए, कुछ तरल पदार्थों को उन कंटेनरों में बेचा जाना आम है जिनकी सामग्री \(\frac{3}{4}\;\) एक लीटर, आधा गैलन या डेढ़ गैलन है। हो सकता है कि जब आप ट्यूब खरीदने जाते हैं तो \(\frac{1}{8},\;\) \(\frac{7}{8},{\rm{\;}}\) \(\frac{\;}}\) मांगते हैं \rm {3}}\frac{1}{2}\) और आपको माप की इकाई कहने की आवश्यकता नहीं है, जो इस मामले में इंच है।

समान भिन्नों की मूलभूत संक्रियाएं

\(\frac{3}{4}\) और \(\frac{2}{4}\) का योग निम्नलिखित योजना में उदाहरण के तौर पर दिया गया है:

\(\frac{3}{4} + \frac{2}{4} = \frac{{3 + 2}}{4} = \frac{5}{4}\)

जबकि घटाव इस प्रकार किया जाता है:

\(\frac{3}{4} – \frac{2}{4} = \frac{{3 – 2}}{4} = \frac{1}{4}\)

सामान्य तौर पर, सजातीय अंशों के लिए:

\(\frac{a}{d} + \frac{b}{d} = \frac{{a + b}}{d}\)

\(\frac{a}{d} – \frac{b}{d} = \frac{{a – b}}{d}\)

मिस्रवासी और इकाई अंश

मिस्र की संस्कृति ने एक उल्लेखनीय तकनीकी विकास हासिल किया और यह गणित के समान विकास के बिना नहीं होता। ऐसे ऐतिहासिक अवशेष हैं जहां आप मिस्र की संस्कृति में अंशों के उपयोग के रिकॉर्ड पा सकते हैं, एक विशिष्टता के साथ, उन्होंने केवल एकात्मक अंशों का उपयोग किया।

ऐसे कई मामले हैं जहां इकाई अंशों के योग के रूप में एक अंश को लिखना उतना ही सरल है

\(\frac{3}{n} = \frac{1}{n} + \frac{1}{{2n}}\)

इस मामले में कि \(n = 2q + 1\), यानी अजीब कहना है, हमारे पास वह है:

\(\frac{2}{n} = \frac{1}{{q + 1}} + \frac{1}{{n\left( {q + 1} \right)}}})

इसे हम दो उदाहरणों से स्पष्ट करेंगे।

व्यक्त करने के लिए \(\frac{2}{{11}}\); इस मामले में हमारे पास \(11 = 2\बाएं (5 \दाएं) + 1\), इसलिए:

\(\frac{2}{{11}} = \frac{1}{6} + \frac{1}{{11\बाएं ( 6 \दाएं)}},\)

यानी,

\(\frac{2}{{11}} = \frac{1}{6} + \frac{1}{{66}}\)

व्यक्त करने के लिए \(\frac{2}{{17}}\); इस मामले में हमारे पास \(17 = 2\बाएं (8 \दाएं) + 1\),

\(\frac{2}{{15}} = \frac{1}{8} + \frac{1}{{120}}\)

आगे, हम कुछ भिन्नों को इकाई भिन्नों के योग के रूप में दिखाते हैं,

अंश	इकाई अंशों के योग के रूप में अभिव्यक्ति	अंश	इकाई अंशों के योग के रूप में अभिव्यक्ति
\(\frac{3}{n}\)	\(\frac{1}{n} + \frac{1}{{2n}}\)	\(\frac{5}{8}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{8}\)
\(\frac{2}{3}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{6}\)	\(\frac{7}{8}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8}\)
\(\frac{3}{4}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{4}\)	\(\frac{2}{9}\)	\(\frac{1}{5} + \frac{1}{{45}}\)
\(\frac{3}{5}\)	\(\frac{1}{5} + \frac{1}{{10}}\)	\(\frac{5}{9}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{{18}}\)
\(\frac{4}{5}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{{20}}\)	\(\frac{7}{9}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{{36}}\)
\(\frac{5}{6}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{3}\)	\(\frac{8}{9}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{{18}}\)
\(\frac{3}{7}\)	\(\frac{1}{3} + \frac{1}{{11}} + \frac{1}{{231}}\)	\(\frac{4}{9}\)	\(\frac{1}{3} + \frac{1}{9}\)
\(\frac{4}{7}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{{14}}\)	\(\frac{5}{9}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{{18}}\)
\(\frac{5}{7}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{5} + \frac{1}{{10}}\)	\(\frac{5}{9}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{{18}}\)
\(\frac{6}{7}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{{42}}\)	\(\frac{{19}}{{20}}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5}\)

पिछली तालिका का उपयोग करके हम भिन्नों को जोड़ सकते हैं और ऐसे योगों को व्यक्त कर सकते हैं; इकाई अंशों के योग के रूप में।

विषम भिन्नों के उदाहरण

उदाहरण 1

\(\frac{2}{5} + \frac{4}{9} = \बायाँ( {\frac{1}{3} + \frac{1}{{15}}} \दाएँ) + \बाएँ ( {\frac{1}{3} + \frac{1}{9}} \right)\)

\(\frac{2}{5} + \frac{4}{9} = \frac{2}{3} + \frac{1}{{15}} + \frac{1}{9}\)

\(\frac{2}{5} + \frac{4}{9} = \बायाँ( {\frac{1}{2} + \frac{1}{6}} \दाएँ) + \frac{1 {{15}} + \frac{1}{9}\)

उदाहरण 2

\(\frac{4}{7} + \frac{5}{9} = \बायाँ( {\frac{1}{2} + \frac{1}{{14}}} \दाएँ) + \बाएँ ( {\frac{1}{2} + \frac{1}{{18}}} \right)\)

\(\frac{2}{7} + \frac{5}{9} = 1 + \frac{1}{{14}} + \frac{1}{{18}}\)

अंत में, हम एक ही अंश को इकाई भिन्नों के योग के रूप में एक अलग तरीके से व्यक्त कर सकते हैं:

\(\frac{8}{{63}} = \frac{1}{8} + \frac{1}{{504}}\)

\(\frac{8}{{63}} = \frac{1}{9} + \frac{1}{{63}}\)

\(\frac{8}{{63}} = \frac{1}{{14}} + \frac{1}{{18}}\)