समतुल्य अंशों की परिभाषा

दो या दो से अधिक भिन्नों को तुल्य कहा जाता है यदि वे समान मात्रा का प्रतिनिधित्व करते हैं, अर्थात यदि
\(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\;,\)
भिन्न \(\frac{a}{b}\) और \(\frac{c}{d}\) समतुल्य कहलाते हैं।

समतुल्य अंश: ग्राफिक प्रतिनिधित्व

वर्ग पर विचार करें, जिसे हम चौथे, तीसरे, आठवें और बारहवें में विभाजित करेंगे।

पिछले आंकड़ों से हम निम्नलिखित समानताएं देखते हैं:

एक या अनेक तुल्य भिन्न कैसे प्राप्त करें?

किसी भिन्न के तुल्य भिन्न प्राप्त करने की दो मूल विधियाँ हैं।

1. अंश और हर को समान धनात्मक संख्या से गुणा करें।

उदाहरण:

\(\frac{3}{4} = \frac{{3\बाएं(5 \दाएं)}}{{4\बाएं(5 \दाएं)}} = \frac{{15}}{{20}} \)

\(\frac{3}{4} = \frac{{3\बाएं(7 \दाएं)}}{{4\बाएं(7 \दाएं)}} = \frac{{21}}{{28}} \)

\(\frac{5}{8} = \frac{{5\बाएं (6 \दाएं)}}{{8\बाएं (6 \दाएं)}} = \frac{{30}}{{56}} \)

2. यह अंश और भाजक के समान धनात्मक सामान्य भाजक द्वारा विभाजित होता है।

\(\frac{{52}}{{56}} = \frac{{52 \div 4}}{{56 \div 4}} = \frac{{13}}{{14}}।\)

\(\frac{{80}}{{140}} = \frac{{80 \div 20}}{{140 \div 20}} = \frac{4}{7}.\)

\(\frac{{21}}{{57}} = \frac{{21 \div 3}}{{57 \div 3}} = \frac{7}{{19}}\)

जब एक भिन्न में अंश और हर दोनों को 1 के अलावा एक ही सामान्य भाजक द्वारा विभाजित किया जाता है, तो यह कहा जाता है कि भिन्न घटा दी गई है।

अलघुकरणीय अंश

अंश और भाजक का सबसे बड़ा सामान्य विभाजक 1 के बराबर होने पर एक अंश को एक अलघुकरणीय अंश कहा जाता है।

यदि \(gcd\left( {a, b} \right) = 1,\) अंश \(\frac{a}{b}\) एक अलघुकरणीय अंश कहलाता है।

इस भिन्न के समतुल्य भिन्न प्राप्त करने के लिए एक भिन्न \(\frac{a}{b}\) दिया गया है और जो कि भी है एक अलघुकरणीय अंश अंश और अंश को \(a\;\) के सबसे बड़े सामान्य भाजक द्वारा विभाजित किया जाता है और \(बी।\)

निम्न तालिका अलघुकरणीय और कम करने योग्य अंशों के उदाहरण दिखाती है; यदि यह कम करने योग्य है, तो यह दिखाता है कि एक अलघुकरणीय समतुल्य अंश कैसे प्राप्त किया जाए।

अंश	महत्तम सामान्य भाजक	अलघुकरणीय	अलघुकरणीय समकक्ष अंश
\(\frac{{14}}{{42}}\)	7	नहीं	\(\frac{{14}}{{42}} = \frac{{14 \div 7}}{{42 \div 7}} = \frac{2}{7}\)
\(\frac{3}{{25}}\)	1	हाँ	\(\frac{3}{{25}}\)
\(\frac{{21}}{{201}}\)	3	नहीं	\(\frac{{21 \div 3}}{{20\;1 \div 3}} = \frac{7}{{67}}\)
\(\frac{5}{{24}}\)	1	हाँ	\(\frac{5}{{24}}\)
\(\frac{{72}}{{1125}}\)	9	नहीं	\(\frac{{72}}{{1125}} = \frac{{72 \div 9}}{{1125 \div 9}} = \frac{8}{{125}}\)

समतुल्य अंश: मौखिक प्रतिनिधित्व।

निम्न तालिका संख्यात्मक दृष्टिकोण से समान जानकारी प्रदर्शित करने के दो अलग-अलग तरीके दिखाती है।

मौखिक मुहावरा	समतुल्य वाक्यांश (संख्यात्मक)	तर्क
1930 में, मेक्सिको में, 25 लोगों में से 4 लोग अपनी मातृभाषा बोलते थे।	1930 में, मेक्सिको में, 100 लोगों में से 16 लोग अपनी मातृभाषा बोलते थे।	दोनों डेटा को 4 से गुणा किया गया था
1960 में, मेक्सिको में, प्रति 1,000 लोगों में से 104 लोग अपनी मातृभाषा बोलते थे।	1960 में, मेक्सिको में, 125 लोगों में से 13 लोग अपनी मातृभाषा बोलते थे	दोनों डेटा को 8 से विभाजित किया गया था।

समतुल्य अंश: दशमलव प्रतिनिधित्व

नीचे दी गई तालिका विभिन्न दशमलव संख्याएं और समकक्ष भिन्न दिखाती है जो उनका प्रतिनिधित्व करते हैं।

दशमलव संख्या	अंश	समाज भाग	संचालन
\(0.25\)	0.25=\(\frac{{25}}{{100}}\)	0.25=\(\frac{1}{4}\)	\(25 \div 25 = 1\) \(100 \div 25 = \)
\(1.4\)	\(1.4 = 1 + \frac{4}{{10}} = \frac{{14}}{{10}}\)	\(1.4 = \frac{7}{5}\)	\(14 \div 2 = 1\) \(10 \div 2 = 5\)
\(0.145\)	\(0.145 = \frac{{145}}{{1000}}\)	\(0.145 = \frac{{29}}{{200}}\)	\(145 \div 5 = 29\) \(1000 \div 5 = 200\)

समतुल्य अंश: प्रतिशत के रूप में प्रतिनिधित्व

नीचे दी गई तालिका विभिन्न दशमलव संख्याएं और समकक्ष भिन्न दिखाती है जो उनका प्रतिनिधित्व करते हैं।

दशमलव संख्या	अंश	समाज भाग	संचालन
20%	\(\frac{{20}}{{100}}\)	\(\frac{1}{5}\)	\(20 \div 20 = 1\) \(100 \div 20 = 5\)
150%	\(\frac{{150}}{{100}}\)	\(\frac{3}{2}\)	\(150 \div 50 = 3\) \(100 \div 50 = 2\)
55%	\(\frac{{55}}{{100}}\)	\(\frac{{11}}{{20}}\)	\(55 \div 11 = 5\) \(100 \div 5 = 20\)

तुल्य भिन्न: विषमांगी से सजातीय तक

दो विषम भिन्न \(\frac{a}{b}\) और \(\frac{c}{d}\) दिए गए हैं, हम दो भिन्न पा सकते हैं सजातीय इस तरह से कि एक अंश \(\frac{a}{b}\;\) के बराबर है और दूसरा भिन्न के बराबर है \ (\ frac {सी} {डी} \)।

इसके बाद, हम पिछले पैराग्राफ में बताए गए कार्यों को करने के लिए दो प्रक्रियाएं दिखाएंगे।

आइए देखें:

\(\frac{a}{b} = \frac{{a\बाएं(d \दाएं)}}{{b\बाएं(d \दाएं)}}\)

\(\frac{c}{d} = {\rm{\;}}\frac{{c\left( b \right)}}{{d\left( b \right)}}\)

निम्न तालिका कुछ उदाहरण दिखाती है।

एफ। विजातीय	संचालन	एफ। सजातीय
\(\frac{4}{5}\), \(\frac{2}{3}\)	\(\frac{{4\बाएं( 3 \दाएं)}}{{5\बाएं( 3 \दाएं)}} = \frac{{12}}{{15}}\) \(\frac{{2\बाएं (5 \दाएं)}}{{3\बाएं (5 \दाएं)}} = \frac{{10}}{{15}}\)	\(\frac{{12}}{{15}}\), \(\frac{{10}}{{15}}\)
\(\frac{7}{{12}}\), \(\frac{4}{{18}}\)	\(\frac{{7\बाएं( {18} \दाएं)}}{{12\बाएं( {18} \दाएं)}} = \frac{{126}}{{216}}\) \(\frac{{4\बाएं( {12} \दाएं)}}{{18\बाएं( {12} \दाएं)}} = \frac{{48}}{{216}}\)	\(\frac{{126}}{{216}},\) \(\frac{{48}}{{216}}\)
\(\frac{7}{{10}}\), \(\frac{3}{{14}}\), \(\frac{5}{4}\)	\(\frac{{7\बाएं( {14} \दाएं)\बाएं( 4 \दाएं)}}{{10\बाएं( {14} \दाएं) 4}} = \frac{{392}}{{ 560}}\) \(\frac{{3\बाएं( {10} \दाएं)\बाएं( 4 \दाएं)}}{{14\बाएं( {10} \दाएं)\बाएं( 4 \दाएं)}} = \frac{ {120}}{{560}}\) \(\frac{{5\बाएं( {10} \दाएं)\बाएं( {14} \दाएं)}}{{4\बाएं( {10} \दाएं)\बाएं( {14} \दाएं)}} = \frac{{700}}{{560}}\)	\(\frac{{392}}{{560}}\), \(\frac{{120}}{{560}},\) \(\frac{{700}}{{560}}\)

इस पद्धति का नुकसान यह है कि प्रक्रिया में बहुत बड़ी संख्या का उत्पादन किया जा सकता है; कई मामलों में इससे बचना संभव है, यदि भाजक के लघुत्तम समापवर्तक की गणना की जाए और दूसरी विधि लघुतम समापवर्तक की गणना पर आधारित हो।

भिन्नों की गणना में लघुत्तम समापवर्त्य

अगला, दो उदाहरणों के माध्यम से, हर के लघुत्तम समापवर्तक का उपयोग करके समांगी भिन्न कैसे प्राप्त करें, जो शामिल भिन्नों का उभयनिष्ठ हर होगा।

भिन्नों पर विचार करें: \(\frac{7}{{12}}\), \(\frac{4}{{18}}.\)

\(12\) और \(18\) का लघुत्तम समापवर्तक \(36\) है; अब

\(36 \div 12 = 3\)

\(36 \div 18 = 2\)

\(\frac{7}{{12}} = \frac{{7\बाएं (3 \दाएं)}}{{12\बाएं (3 \दाएं)}} = \frac{{21}}{{36 }},\)

\(\frac{4}{{18}} = \frac{{4\बाएं (2 \दाएं)}}{{18\बाएं (2 \दाएं)}} = \frac{8}{{36}} \)

अब भिन्नों पर विचार करें: \(\frac{7}{{10}}\), \(\frac{3}{{14}}\), \(\frac{5}{4}\)

\(10\), \(14\) और \(3\) का लघुत्तम समापवर्तक \(140\) है; अब

\(140 \div 10 = 14\)

\(140 \div 14 = 10\)

\(140 \div 4 = 35\)

\(\frac{7}{{10}} = \frac{{7\बाएं ({14} \दाएं)}}{{10\बाएं( {14} \दाएं)}} = \frac{{98} {{140}},\)

\(\frac{3}{{14}} = \frac{{3\बाएं( {10} \दाएं)}}{{14\बाएं( {10} \दाएं)}} = \frac{{30} {{140}}\)

\(\frac{5}{4} = \frac{{5\बाएं ({35} \दाएं)}}{{4\बाएं ({35} \दाएं)}} = \frac{{175}}{ {140}}\)

पिछले आंकड़ों से हम निम्नलिखित तथ्य देखते हैं:

\(\frac{1}{4} = \frac{3}{{12}}\)

यहाँ अन्य उदाहरण हैं।

एफ। विजातीय	मिन सामान्य भाजक	संचालन	एफ। सजातीय
\(\frac{1}{{14}}\) \(\frac{1}{{18}}\)	126	\(126 \div 14 = 9\) \(\frac{1}{{14}} = \frac{{1\बाएं (9 \दाएं)}}{{14\बाएं (9 \दाएं)}} = \frac{9}{{126}} \) \(126 \div 18 = 7\) \(\frac{1}{{18}} = \frac{{1\बाएं (7 \दाएं)}}{{18\बाएं (7 \दाएं)}} = \frac{7}{{126}} \)	\(\frac{9}{{126}}\), \(\frac{7}{{126}}\)
\(\frac{5}{6}\) \(\frac{2}{{15}},\) \(\frac{4}{9}\)	90	\(90 \div 6 = 15\) \(\frac{5}{6} = \frac{{5\बाएँ ({15} \दाएँ)}}{{6\बाएँ ({15} \दाएँ)}} = \frac{{75}}{ {90}}\) \(90 \div 15 = 6\) \(\frac{2}{{15}} = \frac{{2\बाएं ({15} \दाएं)}}{{15\बाएं (6 \दाएं)}} = \frac{{30}}{ {90}}\) \(90 \div 9 = 10\) \(\frac{4}{9} = \frac{{4\बाएं( {10} \दाएं)}}{{9\बाएं( {10} \दाएं)}} = \frac{{40}}{ {90}}\)	\(\frac{{75}}{{90}}\), \(\frac{{30}}{{90}}\), \(\frac{{40}}{{90}}\)