अंकगणितीय प्रगति की परिभाषा

संख्याओं के अनुक्रम \({a_1},\;{a_2},{a_3}, \ldots \) ​​​​को अंकगणितीय प्रगति कहा जाता है यदि दो लगातार संख्याओं के बीच का अंतर एक ही संख्या के बराबर है \(d\), वह हाँ है:

\({a_{n + 1}} - {a_n} = d\)

संख्या \(d\) को अंकगणितीय प्रगति का अंतर कहा जाता है।

तत्व \({a_1}\) को अंकगणितीय अनुक्रम का पहला तत्व कहा जाता है।

अंकगणितीय प्रगति के तत्वों को पहले तत्व और उसके अंतर के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जो है:

\({a_1},{a_1} + d,{a_1} + 2d,{a_1} + 3d\)

वे अंकगणितीय प्रगति के पहले चार तत्व हैं; सामान्य तौर पर, \(k – \)वाँ तत्व इस प्रकार व्यक्त किया जाता है:

\({a_k} = {a_1} + \बाएं ({k – 1} \दाएं) d\)

उपरोक्त अभिव्यक्ति से हमें मिलता है:

\({a_k} – {a_l} = {a_1} + \बाएँ ({k – 1} \दाएँ) d – \बाएँ ({{a_1} + \बाएँ ({l – 1} \दाएँ) d} \दाएँ )\)

\({a_k} – {a_l} = \बाएँ ({k – l} \दाएँ) d\)

उपरोक्त अभिव्यक्ति इसके बराबर है:

\({a_k} = {a_l} + \बायाँ( {k – l} \right) d\)

अंकगणितीय प्रगति के लिए लागू उदाहरण

1. अंकगणितीय प्रगति का अंतर ज्ञात करें: \(3,8,13,18, \ldots \) ​​​​और तत्वों को खोजें \({a_{20}},\;{a_{99}}\)

समाधान

चूंकि \(5 = 8 - 3 = 13 - 8 = 18 - 3\) हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि अंतर है:

\(डी = 5\)

\({a_{20}} = {a_1} + \बाएं ({20 – 1} \दाएं) d = 3 + 19\बाएं(5 \दाएं) = 98\)

\({a_{99}} = {a_1} + \बाएं ({99 – 1} \दाएं) d = 3 + 98\बाएं (5 \दाएं) = 493\)

2. अंकगणितीय प्रगति में हमारे पास: \({a_{17}} = 20\;\) और \({a_{29}} = - 130\), अंकगणितीय प्रगति का अंतर निर्धारित करते हैं और पहले 5 तत्व लिखते हैं।

समाधान

पहना हुआ

\({a_k} – {a_l} = \बाएँ ({k – l} \दाएँ) d\)

\({a_{29}} – {a_{17}} = \बाएं ({29 – 17} \दाएं) d\)

\( – 130 – 20 = \बाएं( {12} \दाएं) d\)

\( – 150 = \बाएं( {12} \दाएं) d\)

\(12d = - 150\)

\(डी = - \frac{{150}}{{12}} = - \frac{{25}}{2}\)

पहले 5 तत्वों को खोजने के लिए; हम गणना करेंगे \({a_1}\):

\({a_k} = {a_1} + \बाएं ({k – 1} \दाएं) d\)

\({a_{17}} = {a_1} + \बाएं ({17 – 1} \दाएं)\बाएं ({- \frac{{25}}{2}} \दाएं)\)

\(20 = {a_1} + \बाएं( {16} \दाएं)\बाएं( { - \frac{{25}}{2}} \दाएं)\)

\(20 = {a_1} - 200\)

\({a_1} = 20 + 200 = 220\)

पहले 5 तत्व हैं:

\(220,220 + \बाएं( { – \frac{{25}}{2}} \दाएं),220 + 2\बाएं( { – \frac{{25}}{2}} \दाएं),220 + 3 \बाएं( { – \frac{{25}}{2}} \दाएं),220 + 4\बाएं( {- \frac{{25}}{2}} \दाएं)\)

\(220,\frac{{415}}{2},195,\frac{{365}}{2},170\)

बहुभुज संख्याएं और अंकगणितीय प्रगति के पहले \(n\) तत्वों का योग

त्रिकोणीय संख्या

त्रिकोणीय संख्याएँ \({T_n}\;\) अंकगणितीय प्रगति से बनती हैं: \(1,2,3,4 \ldots \); इस अनुसार।

\({T_1} = 1\)

\({T_2} = 1 + 2 = 3\)

\({T_3} = 1 + 2 + 3 = 6\)

\({T_4} = 1 + 2 + 3 + 4 = 10\)

वर्ग संख्या

अंकगणितीय प्रगति से वर्ग संख्याएँ \({C_n}\;\) बनती हैं: \(1,3,5,7 \ldots \); निम्नलिखित नुसार

\({C_1} = 1\)

\({C_2} = 1 + 3 = 4\)

\({C_3} = 1 + 3 + 5 = 9\)

\(सी{\;_4} = 1 + 3 + 5 + 7 = 16\)

पंचकोणीय संख्या

वर्ग संख्या \({P_n}\;\) अंकगणितीय प्रगति से बनते हैं: \(1,3,5,7 \ldots \); निम्नलिखित नुसार

\({P_1} = 1\)

\({P_2} = 1 + 4 = 5\)

\({P_3} = 1 + 4 + 7 = 12\)

\({P_4} = 1 + 4 + 7 + 10 = 22\)

इसके बाद, हम अंकगणितीय प्रगति के पहले \(n\) तत्वों का योग ज्ञात करने का सूत्र दिखाएंगे।

अंकगणितीय प्रगति को देखते हुए, \({a_1},{a_2} = {a_1} + d,{a_3} + 2d, \ldots .,{a_n} = {a_1} + \बाएं( {n – 1} \right) डी\)। योग की गणना करने के लिए \({S_n} = {a_1} + {a_2} + {a_3} + \ldots + {a_n};\) आप सूत्र का उपयोग कर सकते हैं:

\({S_n} = \frac{{n\बाएं ({{a_1} + {a_n}} \दाएं)}}{2}\)

जो बराबर है

\({S_n} = \frac{{n\बाएं ({2{a_1} + \बाएं ({n – 1} \दाएं) d} \दाएं)}}{2}\)

पिछले सूत्र को लागू करते हुए, त्रिकोणीय, वर्ग और पंचकोणीय संख्याओं की गणना करने के सूत्र प्राप्त होते हैं; जो निम्न तालिका में दर्शाए गए हैं।

बहुभुज संख्या	\({a_1}\)	\(डी\)	FORMULA
त्रिकोणीय \(n – \)वें	1	1	\({T_n} = \frac{{n\बाएं( {n + 1} \दाएं)}}{2}\)
वर्ग \(n – \)वें	1	2	\({C_n} = {n^2}\)
पंचकोणीय \(n – \)वें	1	3	\({P_n} = \frac{{n\बाएं ({3n – 1} \दाएं)}}{2}\)

बहुभुज संख्याओं पर उदाहरण

3. उदाहरण 2 से \({S_{33}}\) की गणना करें।

समाधान

इस मामले में \({a_1} = 200\) और \(d = - \frac{{25}}{2}\)

आवेदन

\({S_n} = \frac{{n\बाएं ({2{a_1} + \बाएं ({n – 1} \दाएं) d} \दाएं)}}{2}\)

\({S_{33}} = \frac{{34\बाएं( {2\बाएं( {200} \दाएं) + \बाएं( {33 - 1} \दाएं)\बाएं( { - \frac{{25) }}{2}} \दाएं)} \दाएं)}}{2}\)

\({S_{33}} = 17\बाएं ({400 + 16\बाएं ({ - 25} \दाएं)} \दाएं) = 17\बाएं (0 \दाएं) = 0\)

अंकगणितीय साधन

दिए गए दो नंबर \(a\;\) और \(b,\) नंबर \({a_2},{a_3}, \ldots ,{a_{k + 1}}\) कहलाते हैं \(k\) मतलब अंकगणितीय संख्या \(a\;\) और \(b\); यदि अनुक्रम \(a,{a_2},{a_3}, \ldots ,{a_{k + 1}},b\) एक अंकगणितीय प्रगति है।

संख्याओं \(a\;\) और \(b\) के \(k\) अंकगणितीय माध्यों के मान जानने के लिए अंकगणितीय प्रगति के अंतर को जानना पर्याप्त है, इसके लिए निम्नलिखित होना चाहिए माना:

\(a = {a_1},{a_2},{a_3}, \ldots ,{a_{k + 1}},{a_{k + 2}} = b,\)

ऊपर से हम संबंध स्थापित करते हैं:

\(बी = ए + \बाएं ( {के + 2 - 1} \दाएं) डी\)

\(d\) के लिए हल करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

\(d = \frac{{b – a}}{{k + 1}}\)

उदाहरण

4. संख्या -5 और 25 के बीच 7 अंकगणितीय साधन खोजें।

समाधान

आवेदन करते समय

\(d = \frac{{b – a}}{{k + 1}}\)

\(b = 25,\;a = - 5\) और \(k = 7\;\) के साथ:

\(d = \frac{{25 – \बाएं( { – 5} \दाएं)}}{{7 + 1}} = \frac{{30}}{8} = \frac{{15}}{4 }\)

7 अंकगणितीय साधन हैं:

\( – \frac{5}{4},\;\frac{5}{2},\;\frac{{25}}{4},10,\frac{{55}}{4},\ frac{{35}}{2},\frac{{85}}{4}\)

9. एक व्यक्ति ने रेफ्रिजरेटर खरीदने के लिए डाउन पेमेंट के रूप में 2,000 डॉलर दिए और बाकी का भुगतान अपने क्रेडिट कार्ड से 18 महीने तक बिना ब्याज के किया। उसे अपने रेफ्रिजरेटर के भुगतान के लिए प्राप्त ऋण को चुकाने के लिए प्रति माह $550 का भुगतान करना होगा।

को। रेफ्रिजरेटर की कीमत क्या है?

बी। यदि आपने शेष 12 महीनों में बिना ब्याज के भुगतान किया है, तो मासिक भुगतान कितना होगा?

समाधान

को। इस मामले में:

\({a_{19}} = 2000 + 18\बाएं( {550} \दाएं)\)

\({a_{19}} = 2000 + 9900 = 11900\)

बी। संख्या 2000 और 11900 के बीच हमें 11 अंकगणितीय साधन खोजने होंगे, जिनके लिए:

\(डी = \frac{{11900 – 2000}}{{12}} = 825\)

5. अनुक्रम \(7,\;22,\;45,\;76,115,162\) को देखते हुए निम्नलिखित 3 तत्वों और तत्व की सामान्य अभिव्यक्ति \(n\) खोजें।

समाधान

प्रश्न में अनुक्रम अंकगणितीय प्रगति नहीं है, क्योंकि \(22 - 7 \ne 45 - 22\), लेकिन हम बना सकते हैं लगातार दो तत्वों के अंतर के साथ एक अनुक्रम और निम्न तालिका दर्शाती है परिणाम:

अनुक्रम के तत्व \({b_n}\)	क्रम \(\;{c_n} = {b_n} – {b_{n – 1}}\)	\(डी = {सी_{एन + 1}} - {सी_एन}\)
\({b_1} = 7\)	\({c_1} = {b_1}\)
\({b_2} = 22\)	\({c_2} = {b_2} - {b_1} = 15\)	\({c_2} - {c_1} = 8\)
\({b_3} = 45\)	\({c_3} = {b_3} – {b_2} = \)23	\({c_3} - {c_2} = 8\)
\({b_4} = 76\)	\({c_4} = {b_4} - {b_3} = 31\)	\({c_4} - {c_3} = 8\)
\({b_5} = 115\)	\({c_5} = {b_5} - {b_4} = 39\)	\({c_5} - {c_4} = 8\)
\({b_6} = 162\)	\({c_6} = {b_6} - {b_5} = 47\)	\({c_6} - {c_5} = 8\)

उपरोक्त तालिका का तीसरा स्तंभ हमें बताता है कि अनुक्रम \(15,\;23,31,39,\;47, \ldots .\); एक अंकगणितीय अनुक्रम है जिसका अंतर \(d = 8\) है।

अगला, हम अनुक्रम \({b_n}\) के तत्वों को अनुक्रम \({c_n},\) के संदर्भ में लिखेंगे

\({b_1} = {c_1}\)

\({b_2} = {c_1} + {c_2}\)

\({b_3} = {b_2} + {c_3} = {c_1} + {c_2} + {c_3}\)

\({b_4} = {b_3} + {c_4} = {c_1} + {c_2} + {c_3} + {c_4}\)

सामान्य तौर पर आपके पास:

\({b_n} = {c_1} + {c_2} + {c_3} + \ldots + {c_n}\;\)

आवेदन करते समय

\({S_n} = \frac{{n\बाएं ({2{c_1} + \बाएं ({n – 1} \दाएं) d} \दाएं)}}{2}\)

\({c_1} = 7\) और \(d = 8,\) के साथ हम प्राप्त करते हैं:

\({b_n} = \frac{{n\बाएं ({14 + \बाएं ({n – 1} \दाएं) 8} \दाएं)}}{2}\)

\({b_n} = n\बाएं( {7 + 4\बाएं( {n - 1} \दाएं)} \दाएं)\)

\({b_n} = n\बाएं( {4n + 3} \दाएं)\)

पिछला सूत्र लागू करने पर: \({b_7} = 217,\;{b_8} = 280,\;{b_9} = 351\)