थेल्स के प्रमेय को कैसे परिभाषित किया जाता है?

थेल्स के प्रमेय से, कई समानांतर रेखाएँ दी गई हैं, रेखा \(T\) को समानांतर रेखाओं की तिर्यक रेखा कहा जाता है यदि यह प्रत्येक समानांतर रेखाओं को काटती है।

आकृति 1 में, रेखाएँ \({T_1}\) और \({T_2}\) समानांतर रेखाओं \({L_1}\) और \({L_2}.\) के अनुप्रस्थ हैं।

थेल्स प्रमेय (कमजोर संस्करण)
यदि कई समानांतर अपनी दो अनुप्रस्थ रेखाओं में से एक में सर्वांगसम खंड (जो समान मापते हैं) निर्धारित करते हैं, तो वे अन्य तिर्यक रेखाओं में भी सर्वांगसम खंडों का निर्धारण करेंगे।

आकृति 2 में, काली रेखाएँ समानांतर हैं और आपको:
\({A_1}{A_2} = {A_2}{A_3} = {A_3}{A_4}.\)
हम निम्नलिखित सुनिश्चित कर सकते हैं:
\({B_1}{B_2} = {B_2}{B_3} = {B_3}{B_4}.\)

ऐसा कहा जाता है कि मिलिटस के बुद्धिमान थेल्स ने चेप्स पिरामिड की ऊंचाई मापी, इसके लिए उन्होंने छाया और त्रिभुज समानता गुणों के अनुप्रयोग का उपयोग किया। थेल्स की प्रमेय त्रिभुजों की समानता की अवधारणा के विकास के लिए मौलिक है।

अनुपात और अनुपात के गुण

एक अनुपात शून्य के अलावा भाजक के साथ दो संख्याओं का भागफल है; यानी:

\(\frac{a}{b}\;{\rm{with\;}}b \ne 0\)

एक अनुपात दो अनुपातों की समानता है, अर्थात:

\(\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = k,\)

\(k\) को आनुपातिकता का स्थिरांक भी कहा जाता है।

अनुपात के गुण

यदि \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = k\) तो \(m \ne 0:\;\) के लिए

\(\frac{{ma}}{{mb}} = \frac{a}{b} = \frac{c}{d} = k\)

\(\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{{a + c}}{{b + d}} = \frac{{a – c}}{{b – डी}} = के \)

\(\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{f}{g} = \frac{{a + c + f}}{{b + d + g}} = क\)

\(\frac{{a \pm b}}{b} = \frac{{c \pm d}}{d}\)

उदाहरण

\(\frac{9}{{24}} = \frac{{15}}{{40}} = \frac{{9 + 15}}{{24 + 40}} = \frac{{24}} {{64}}\)

\(\frac{9}{{24}} = \frac{{15}}{{40}} = \frac{{15 – 9}}{{40 – 24}} = \frac{6}{{ 16}}\)

\(\frac{{9 + 24}}{{24}} = \frac{{15 + 40}}{{40}}\)\(\frac{{33}}{{24}} = \frac {{55}}{{40}}\)

खंडों की जोड़ी \(\overline {AB} \) और \(\overline {CD} \) को खंडों के समानुपातिक कहा जाता है \(\overline {EF} \) और \(\overline {GH} \) अगर अनुपात पूरा हो गया है:

\(\frac{{AB}}{{CD}} = \frac{{EF}}{{GH}}\)

जहां \(AB\;\) खंड की लंबाई को दर्शाता है \(\overline {AB} .\)

थेल्स प्रमेय

परिभाषा पर वापस जा रहे हैं, कई समानताएं उनके अनुप्रस्थ रेखाओं में आनुपातिक संगत खंड निर्धारित करती हैं।

चित्र 3 में, सीधी रेखाएँ समानांतर हैं और हम यह सुनिश्चित कर सकते हैं:

\(\frac{{{A_1}{A_2}}}{{{A_2}{A_3}}} = \frac{{{B_1}{B_2}}}{{{B_2}{B_3}}}\)\ (\frac{{{A_2}{A_3}}}{{{A_3}{A_4}}} = \frac{{{B_2}{B_3}}}{{{B_3}{B_4}}}\)\( \frac{{{A_2}{A_4}}}{{{A_2}{A_3}}} = \frac{{{B_2}{B_4}}}{{{B_2}{B_3}}}\)\(\frac{{{A_1}{A_2}}}{{{A_3}{A_4}}} = \frac{{{B_1}{B_2}}}{{{B_3}{B_4}}}\)\(\frac{{{A_1}{A_3}}}{{{A_1}{A_2}}} = \frac{{{B_1}{B_3}}}{{{B_1}{B_2}}}\)

आइए ध्यान दें कि पहले दो पिछले अनुपात निम्न अनुपात के बराबर हैं:

\(\frac{{{A_1}{A_2}}}{{{B_1}{B_2}}} = \frac{{{A_2}{A_3}}}{{{B_2}{B_3}}}\)\ (\frac{{{A_2}{A_3}}}{{{B_2}{B_3}}} = \frac{{{A_3}{A_4}}}{{{B_3}{B_4}}}\)ऊपर का हम पाते हैं:

\(\frac{{{A_1}{A_2}}}{{{B_1}{B_2}}} = \frac{{{A_2}{A_3}}}{{{B_2}{B_3}}} = \frac {{{A_3}{A_4}}}{{{B_3}{B_4}}} = \frac{{{A_1}{A_2} + {A_2}{A_3} + {A_3}{A_4}}}{{{B_1}{B_2} + {B_2}{B_3} + {B_3}{B_4}}} = \frac{{{A_1}{A_4}}}{{{B_1}{B_4}}}\)

कई मौकों पर पिछले अनुपात के साथ काम करना बेहतर होता है और इस मामले में:

\(\frac{{{A_i}{A_j}}}{{{B_i}{B_j}}} = k\)

थेल्स प्रमेय का विलोम

यदि कई रेखाएँ अपनी तिर्यक रेखा में समानुपाती संगत खण्ड निर्धारित करती हैं तो रेखाएँ समानांतर होती हैं

यदि चित्र 4 में यह पूरा हो जाता है

\(\frac{{{A_1}{A_2}}}{{{A_2}{A_3}}} = \frac{{{B_1}{B_2}}}{{{B_2}{B_3}}}\)

फिर हम इसकी पुष्टि कर सकते हैं: \({L_1}\parallel {L_2}\parallel {L_3}.\)

संकेतन \({L_1}\समानांतर {L_2}\), \({L_1}\) पढ़ा \({L_2}\) के समानांतर है।

पिछले अनुपात से हम प्राप्त करते हैं:

\(\frac{{{A_1}{A_2}}}{{{B_1}{B_2}}} = \frac{{{A_2}{A_3}}}{{{B_2}{B_3}}} = \frac {{{A_1}{A_2} + {A_2}{A_3}}}{{{B_1}{B_2} + {B_2}{B_3}}} = \frac{{{A_1}{A_3}}}{{{ B_1}{B_3}}}\)

समान लंबाई के कई भागों में एक खंड का विभाजन

एक ठोस उदाहरण के माध्यम से हम यह स्पष्ट करेंगे कि एक खंड को समान लंबाई के भागों में कैसे विभाजित किया जाए।

खंड \(\overline {AB} \) को समान लंबाई के 7 खंडों में विभाजित करें

प्रारंभिक स्थिति

एक सहायक रेखा खींचें जो खंड के एक छोर से होकर गुजरती है

कम्पास की सहायता से सहायक रेखा पर समान लंबाई के 7 खंड खींचे जाते हैं

खींचे गए अंतिम खंड के सिरों और विभाजित किए जाने वाले खंड के दूसरे सिरे को मिलाने वाली रेखा खींचिए

वे केवल खींची गई अंतिम रेखा के समानांतर खींचे जाते हैं जो उन बिंदुओं से होकर गुजरती हैं जहां परिधि के चाप सहायक रेखा के साथ प्रतिच्छेद करते हैं।

एक खंड \(\overline {AB} \) को देखते हुए कहा जाता है कि खंड का एक बिंदु \(P\) खंड \(\overline {AB} \) को \(\frac{{AP}) के अनुपात में विभाजित करता है। } {{पीबी}}.\)

दिए गए अनुपात में खंड का विभाजन

एक खंड \(\overline {AB} \), और दो धनात्मक पूर्णांक \(a, b\); बिंदु \(P\) जो खंड को \(\frac{a}{b};\;\) के अनुपात में विभाजित करता है, निम्नानुसार पाया जा सकता है:

1. खंड \(\overline {AB} \) को बराबर लंबाई के \(a + b\) खंडों में विभाजित करें।
2. बिंदु \(A\) से गिनती करते हुए \(a\) खंड लें।

उदाहरण

खंड का विभाजन \(\overline {AB} \) अनुपात में \(\frac{a}{b}\)

कारण	भागों की संख्या जिसमें खंड विभाजित है	बिंदु का स्थान \(P\)
\(\frac{{AP}}{{PB}} = \frac{4}{3}\)	\(4 + 3 = 7\)
\(\frac{{AP}}{{PB}} = 6 = \frac{6}{1}\)	\(6 + 1 = 7\)
\(\frac{{AP}}{{PB}} = \frac{2}{3}\)	\(2 + 3 = 5\)
\(\frac{{AP}}{{PB}} = \frac{3}{2}\)	\(3 + 2 = 5\)

थेल्स प्रमेय के अनुप्रयुक्त उदाहरण

आवेदन 1: तीन लॉट सोल स्ट्रीट से लूना स्ट्रीट तक फैले हुए हैं, जैसा कि चित्र 5 में दिखाया गया है।

पार्श्व सीमाएं लूना स्ट्रीट के लंबवत खंड हैं। यदि सोल स्ट्रीट पर लॉट का कुल फ्रंटेज 120 मीटर है, तो उक्त स्ट्रीट पर प्रत्येक लॉट का फ्रंटेज निर्धारित करें, यदि यह भी ज्ञात हो:

\({A_1}{A_2} = 10{\rm{m}},\;{A_2}{A_3} = 40{\rm{m}},\;{A_3}{A_4} = 20{\rm{ m}},\;{A_4}{A_5} = 30{\rm{m}}.\)

समस्या का विवरण

चूँकि रेखाएँ लूना स्ट्रीट के लंबवत हैं, तो वे एक दूसरे के समानांतर हैं, थेल्स प्रमेय को लागू करके हम पुष्टि कर सकते हैं:

\(\frac{{{A_1}{A_2}}}{{{A_2}{A_3}}} = \frac{{{B_1}{B_2}}}{{{B_2}{B_3}}},\; \;\frac{{{A_1}{A_2}}}{{{A_1}{A_4}}} = \frac{{{B_1}{B_2}}}{{{B_1}{B_4}}}\;,\;\;\frac{{{A_1}{A_2}}}{{{A_1}{A_5}} } = \frac{{{B_1}{B_2}}}{{{B_1}{B_5}}}\)उपरोक्त में से हम निष्कर्ष निकाल सकते हैं:

\(k = \frac{{{A_1}{A_2}}}{{{B_1}{B_2}}} = \frac{{{A_1}{A_4}}}{{{B_1}{B_4}}} = \frac{{{A_1}{A_5}}}{{{B_1}{B_5}}}\;\)

इसी प्रकार हम निष्कर्ष निकाल सकते हैं:

\(k = \frac{{{A_1}{A_2}}}{{{B_1}{B_2}}} = \frac{{{A_2}{A_3}}}{{{B_2}{B_3}}} = \frac{{{A_3}{A_4}}}{{{B_3}{B_4}}} = \frac{{{A_4}{A_5}}}{{{B_4}{B_5}}}})

समाधान

आनुपातिकता के स्थिरांक को निर्धारित करने के लिए हम अनुपात के गुणों का उपयोग करेंगे:

\(k = \frac{{{A_1}{A_2}}}{{{B_1}{B_2}}} = \frac{{{A_2}{A_3}}}{{{B_2}{B_3}}} = \frac{{{A_3}{A_4}}}{{{B_3}{B_4}}} = \frac{{{A_4}{A_5}}}{{{B_4}{B_5}}} = \frac{{{A_1}{A_2} + {A_2}{A_3} + {A_3}{A_4} + {A_4}{A_5}}}{{{B_1}{B_2} + {B_2}{B_3} + { B_3}{B_4} + {B_4}{B_5}}} = \frac{{{A_1}{A_5}}}{{{B_1}{B_5}}} = \frac{{100}}{{120}} = \frac{5}{6}\)

ऊपर से हमें मिलता है:
\(\frac{{{A_1}{A_2}}}{{{B_1}{B_2}}} = \frac{5}{6}\)\(\frac{{{B_1}{B_2}}}{ {{A_1}{A_2}}} = \frac{6}{5}\)\({B_1}{B_2} = \frac{6}{5}{A_1}{A_2} = \frac{6}{ 5}\बाएं( {10} \दाएं) = 12.\)

अनुरूप:

\({B_2}{B_3} = \frac{6}{5}{A_2}{A_3} = \frac{6}{5}\बाएं ({40} \दाएं) = 48\)\({B_3} {B_4} = \frac{6}{5}{A_3}{A_4} = \frac{6}{5}\बाएं ({20} \दाएं) = 24\)\({B_4}{B_5} = \frac{6}{5}{A_4}{A_5} = \frac{6 {5}\बाएं( {30} \दाएं) = 36\)

उत्तर

खंड	\({B_1}{B_2}\)	\({B_2}{B_3}\)	\({B_3}{B_4}\)	\({B_4}{B_5}\)
लंबाई	12मी	48मी	24 महीने	36 मी

आवेदन 2: एक ग्राफिक डिजाइनर ने समांतर चतुर्भुज के आकार में एक शेल्फ डिजाइन किया है और इसमें दिखाए गए अनुसार 3 शेल्फ रखेगा चित्र 6, बिंदु E और F भुजाओं के मध्यबिंदु हैं \(\overline {AD} \) और \(\overline {BC} ,\) क्रमश। असेंबली बनाने में सक्षम होने के लिए आपको अलमारियों में कटौती करनी होगी। अलमारियों के किस हिस्से में कटौती की जानी चाहिए?

समस्या का कथन: समस्या में दी गई शर्तों के कारण, निम्नलिखित की पूर्ति होती है:

\(ईडी = ईए = सीएफ = बीएफ\)

सहायक निर्माण के रूप में हम पक्षों का विस्तार करेंगे \(\overline {CB} \) और \(\overline {DA} \)। बिंदु A से \(A\) के माध्यम से एक रेखा खींची जाती है और भुजा \(\overline {EB} \) के समानांतर और बिंदु \(C\;\) के माध्यम से एक रेखा \(\overline) के समानांतर खींची जाती है {डीएफ} \)।

हम थेल्स प्रमेय के विलोम का उपयोग यह दिखाने के लिए करेंगे कि थेल्स प्रमेय को लागू करने के लिए खंड \(\overline {EB} \) और \(\overline {DF} \) समानांतर हैं।

समाधान

रचना से चतुर्भुज \(EAIB\) एक समांतर चतुर्भुज है इसलिए हमारे पास वह EA=BI है, क्योंकि वे एक समांतर चतुर्भुज की विपरीत भुजाएँ हैं। अब:

\(\frac{{DE}}{{EA}} = \frac{{BF}}{{BI}} = 1\)

थेल्स के प्रमेय के व्युत्क्रम को लागू करके हम निष्कर्ष निकाल सकते हैं:

\(\overline {AI} \parallel \overline {EB} \parallel \overline {DF} \parallel \overline {JC} \)

खंडों \(\overline {AI} \parallel \overline {EB} \parallel \overline {DF} \parallel \overline {JC} \) और खण्ड BC और CI को उनकी तिर्यक रेखा के रूप में लेना; जैसा:

\(FC = BF = BI\)\(CH = HG = GA\)

\(\overline {AD} \parallel \overline {BC} \) और खण्डों \(\overline {AC} \) और \(\overline {EB} \) को उनके तिर्यक रेखा के रूप में लेने पर हमें प्राप्त होगा:

\(\frac{{EG}}{{GB}} = \frac{{AG}}{{GC}} = \frac{{AG}}{{CH + HG}} = \frac{{AG}} {{2\बाएं ({एजी} \दाएं)}} = \frac{1}{2}\)

इसी प्रकार, यह दिखाया गया है कि:

\(\frac{{डीएच}}{{एचएफ}} = 2\)

जवाब

तिरछे कट \(\overline {AC} \) बिंदु \(G\;\) और \(H\) पर बनाए जाने चाहिए, जैसे कि:

\(\frac{{AG}}{{AC}} = \frac{{AH}}{{AC}} = \frac{1}{3}\)

अलमारियों \(\overline {EB} \) और \(\overline {DF} \) के लिए भी यही सच है।