रेडिकल्स के युक्तिकरण की परिभाषा (गणित)

रेडिकल्स का युक्तिकरण एक गणितीय प्रक्रिया है जो तब की जाती है जब हर में रेडिकल्स या जड़ों के साथ भागफल होता है। इस तरह, गणितीय संक्रियाओं को सुगम बनाया जा सकता है जहाँ मूलांक और अन्य प्रकार की गणितीय वस्तुओं के साथ भागफल शामिल होते हैं।

रेडिकल्स के साथ कोटिएंट्स के प्रकार

मूलांक वाले कुछ प्रकार के भागफलों का उल्लेख करना महत्वपूर्ण है जिन्हें युक्तिसंगत बनाया जा सकता है। हालाँकि, पूरी तरह से सुव्यवस्थित प्रक्रिया में आने से पहले, कुछ महत्वपूर्ण अवधारणाओं को याद रखने की आवश्यकता है। सबसे पहले, मान लें कि हमारे पास निम्नलिखित अभिव्यक्ति है: \(\sqrt[m]{n}\). यह संख्या \(n\) का मूल \(m\) है, अर्थात, उक्त संक्रिया का परिणाम एक ऐसी संख्या है जो इसे घात \(m\) तक बढ़ाने से हमें संख्या \(n\) मिलती है परिणामस्वरूप)। शक्ति और मूल प्रतिलोम संक्रियाएँ हैं, इस प्रकार कि: \(\sqrt[m]{{{n^m}}} = n\).
दूसरी ओर, यह ध्यान देने योग्य है कि दो समान जड़ों का गुणनफल गुणनफल की जड़ के बराबर होता है, अर्थात यह कहना है कि: \(\sqrt[m]{n}\sqrt[m]{p} = \ sqrt [एम] {{एनपी}} \)। युक्तिसंगत बनाने पर ये दो गुण हमारे सबसे अच्छे सहयोगी बनने जा रहे हैं।

एक मूलांक के साथ सबसे आम और सरल प्रकार का भागफल जो हम पा सकते हैं वह निम्नलिखित है:

\(\frac{a}{{b\sqrt c }}\)

जहाँ \(a\), \(b\) और \(c\) कोई वास्तविक संख्याएँ हो सकती हैं। इस मामले में युक्तिकरण प्रक्रिया में मूलांक से छुटकारा पाने के लिए भागफल में अभिव्यक्ति \(\sqrt {{c^2}} = c\) प्राप्त करने का तरीका खोजना शामिल है। इस मामले में, अंश और हर दोनों को \(\sqrt c \) से गुणा करना पर्याप्त है:

\(\frac{a}{{b\sqrt c }} = \frac{a}{{b\sqrt c }}\frac{{\sqrt c }}{{\sqrt c }} = \frac{{ a\sqrt c }}{{b\sqrt c \sqrt c }}\)

ऊपर बताई गई बातों को याद करने पर, हम जानते हैं कि \(\sqrt c \sqrt c = \sqrt {{c^2}} = c\). इसलिए, हम अंत में प्राप्त करते हैं:
\(\frac{a}{{b\sqrt c }} = \frac{a}{{bc}}\sqrt c \)

इस तरह हमने पिछली अभिव्यक्ति को युक्तिसंगत बनाया है। यह अभिव्यक्ति एक सामान्य अभिव्यक्ति के एक विशेष मामले से ज्यादा कुछ नहीं है जो निम्नलिखित है:

\(\frac{a}{{b\sqrt[n]{{{c^m}}}}}\)

जहाँ \(a\), \(b\), \(c\) कोई वास्तविक संख्याएँ हैं और \(n\), \(m\) धनात्मक शक्तियाँ हैं। इस व्यंजक का युक्तिकरण पिछले सिद्धांत के समान सिद्धांत पर आधारित है, अर्थात हर में \(\sqrt[n]{{{c^n}}} = c\) व्यंजक प्राप्त करें। हम अंश और हर दोनों को \(\sqrt[n]{{{c^{n – m}}}}} से गुणा करके इसे प्राप्त कर सकते हैं:

\(\frac{a}{{b\sqrt[n]{{{c^m}}}}} = \frac{a}{{b\sqrt[n]{{{c^m}}}}} }\frac{{\sqrt[n]{{{c^{n – m}}}}}}{{\sqrt[n]{{{c^{n – m}}}}}} = \frac{{a\sqrt[n]{{{c^{n – m}}}}}}{{b\sqrt[n]{{{c^m}}}\sqrt[n]{{{c^{n – m}}}}}}})

हम निम्न प्रकार से भाजक में मूलांक का गुणनफल विकसित कर सकते हैं: \(\sqrt[n]{{{c^m}}}\sqrt[n]{{{c^{n – m}}}} = \sqrt[n]{{{c^m}{c^ {n – m}}}} = \sqrt[n]{{{c^{m + \left( {n – m}) \right)}}}} = \sqrt[n]{{{c^n}}} = c\)। इसलिए, तर्कसंगत भागफल इस प्रकार रहता है:

\(\frac{a}{{b\sqrt[n]{{{c^m}}}}} = \frac{a}{{bc}}\sqrt[n]{{{c^{n – एम}}}}\)

मूलांक के साथ एक अन्य प्रकार का भागफल जिसे युक्तिसंगत बनाया जा सकता है, वह है जिसमें हमारे पास हर में वर्गमूल के साथ एक द्विपद है:

\(\frac{a}{{b\sqrt c \pm d\sqrt e }}})

जहाँ \(a\), \(b\), \(c\), \(d\) और \(e\;\) कोई वास्तविक संख्याएँ हैं। प्रतीक \( ± \) इंगित करता है कि संकेत धनात्मक या ऋणात्मक हो सकता है। भाजक द्विपद के दोनों मूल या केवल एक हो सकते हैं, हालांकि, हम इस मामले का उपयोग अधिक सामान्य परिणाम प्राप्त करने के लिए करते हैं। इस मामले में युक्तिकरण प्रक्रिया को पूरा करने का केंद्रीय विचार पिछले मामलों की तरह ही है, केवल यही इस मामले में हम अंश और हर दोनों को द्विपद में पाए गए द्विपद के संयुग्म से गुणा करेंगे। भाजक। एक द्विपद का संयुग्म एक द्विपद है जिसमें समान शब्द हैं, लेकिन जिसका केंद्रीय प्रतीक मूल द्विपद के विपरीत है। उदाहरण के लिए, द्विपद \(ux + vy\) का संयुग्म \(ux - vy\) है। कहा जा रहा है, तो हमारे पास है:

\(\frac{a}{{b\sqrt c \pm d\sqrt e }} = \frac{a}{{b\sqrt c \pm d\sqrt e }}\frac{{b\sqrt c \ mp d\sqrt e }}{{b\sqrt c \mp d\sqrt e }} = \frac{{a\left( {b\sqrt c \mp d\sqrt e } \right)}}{{\left( {b\sqrt c \pm d\sqrt e } \right)\left( {बी \sqrt c \mp d\sqrt e } \right)}}\)

प्रतीक \( \mp \) इंगित करता है कि संकेत धनात्मक या ऋणात्मक हो सकता है, लेकिन यह द्विपद संयुग्मित होने के लिए हर के प्रतीक के विपरीत होना चाहिए। भाजक के द्विपदों के गुणन को विकसित करके हम प्राप्त करते हैं:

\(\frac{a}{{b\sqrt c \pm d\sqrt e }} = \frac{{a\left( {b\sqrt c \mp d\sqrt e } \right)}}{{{ b^2}\sqrt {{c^2}} + bd\sqrt {सीई} – बीडी\sqrt {सीई} – {डी^2}\sqrt {{ई^2}}}}})

अंत में हमें वह मिलता है:

\(\frac{a}{{b\sqrt c \pm d\sqrt e }} = \frac{a}{{{b^2}c – {d^2}e}}\left( {b\) sqrt c \mp d\sqrt e } \right)\)

इसके साथ हमने भागफल को मूलांक के साथ युक्तिसंगत बनाया है। मूलांक वाले ये उद्धरण वे हैं जिन्हें आम तौर पर युक्तिसंगत बनाया जा सकता है। आगे, हम मूलांक के युक्तिकरण के कुछ उदाहरण देखेंगे।

उदाहरण

आइए ऊपर बताए गए प्रकार के मूलांक वाले भागफल के साथ युक्तिकरण के कुछ उदाहरण देखें। पहले मान लीजिए कि हमारे पास निम्नलिखित भागफल है:

\(\frac{3}{{7\sqrt 2 }}\)

इस मामले में अंश और हर को \(\sqrt 2 \) से गुणा करना पर्याप्त है।

\(\frac{3}{{7\sqrt 2}} = \frac{3}{{7\sqrt 2}}\frac{{\sqrt 2}}{{\sqrt 2}} = \frac{3 {{7\sqrt 2 \sqrt 2}}\sqrt 2 = \frac{3}{{7\sqrt 4}}\sqrt 2 = \frac{3}{{14}}\sqrt 2 \)

अब, मान लीजिए कि हमारे पास मूलांक के साथ निम्नलिखित भागफल है:

\(\frac{2}{{3\sqrt[6]{{{4^3}}}}}\)

इस मामले में हमारे पास घन शक्ति का छठा मूल है। पिछले अनुभाग में हमने बताया था कि यदि हमारे पास \(\sqrt[n]{{{c^m}}}\) रूप का करणी है भाजक, अंश और हर को \(\sqrt[n]{{{c^{n) से गुणा करके हम भागफल को परिमेय बना सकते हैं -एम}}}}\)। यहां प्रस्तुत मामले से इसकी तुलना करने पर हम महसूस कर सकते हैं कि \(n = 6\), \(c = 4\) और \(m = 3\), इसलिए इसलिए, हम अंश और हर को गुणा करके पिछले भागफल को तर्कसंगत बना सकते हैं \(\sqrt[6]{{{4^3}}}}):

\(\frac{2}{{3\sqrt[6]{{{4^3}}}}} = \frac{2}{{3\sqrt[6]{{{4^3}}}}} }\frac{{\sqrt[6]{{{4^3}}}}}}{{\sqrt[6]{{{4^3}}}}}} = \frac{2}{{3\sqrt[6]{{{4^3}}}\sqrt[6]{{{4^3}}}}\sqrt[6]{{{4^3} }} = \frac{2}{{3\sqrt[6]{{{4^6}}}}}\sqrt[6]{{{4^3}}} = \frac{{\sqrt[6]{{{4^3}}}}}{6}\)

अंत में, मान लें कि हमारे पास निम्न कार्य है:

\(\frac{1}{{x + \sqrt x }}\)

जैसा कि पिछले अनुभाग में दिखाया गया है, इस प्रकार के भागफल को करणी के साथ परिमेय बनाने के लिए, आपको अंश और हर को हर के संयुग्म से गुणा करना होगा। इस स्थिति में हर का संयुग्म \(x – \sqrt x \) होगा। इसलिए, अभिव्यक्ति इस प्रकार होगी:

\(\frac{1}{{x + \sqrt x }}\frac{{x – \sqrt x}}{{x – \sqrt x}} = \frac{1}{{\बाएँ ( {x + \sqrt x } \दाएं)\बाएं ( {x - \sqrt x } \दाएं)}}\बाएं ( {x - \sqrt x } \दाएं)\)

हर के संयुग्म द्विपदों के गुणन का विकास करते हुए, हम अंत में प्राप्त करते हैं:

\(\frac{1}{{x + \sqrt x}} = \frac{{x – \sqrt x}}{{{x^2} – x}}})

संदर्भ

एगुइलर आर्टुरो, ब्रावो फैबियन, गैलीगोस हरमन, सेरोन मिगुएल और रेयेस रिकार्डो। (2009). अंकगणित। मेक्सिको: पियर्सन एजुकेशन।