बर्नौली के सिद्धांत/समीकरण की परिभाषा

बर्नौली का सिद्धांत, जिसे अक्सर बर्नौली का समीकरण भी कहा जाता है, हाइड्रोडायनामिक्स और द्रव यांत्रिकी में सबसे महत्वपूर्ण अवधारणाओं में से एक है। इसे स्विस भौतिक विज्ञानी और गणितज्ञ डैनियल बर्नौली ने 1738 में अपने काम के हिस्से के रूप में तैयार किया था।जल-गत्यात्मकता"और गति में एक आदर्श तरल पदार्थ में ऊर्जा के संरक्षण का हिस्सा।

आइए निम्नलिखित स्थिति की कल्पना करें: हमारे पास एक नली है जिसके माध्यम से पानी बह रहा है, जो एक निश्चित वेग और एक निश्चित दबाव के साथ नली से बाहर निकलता है। फिर हम एक उंगली से नली के निकास छेद को आंशिक रूप से कवर करने के लिए आगे बढ़ते हैं; ऐसा करने से हम देखते हैं कि पानी अब किस प्रकार अधिक वेग से बाहर आता है। यह बर्नौली के सिद्धांत की क्रिया का एक उदाहरण है।

गति में आदर्श तरल पदार्थ

बर्नौली का सिद्धांत गतिमान आदर्श तरल पदार्थों पर लागू होता है, इसलिए इस सिद्धांत की व्याख्या करने से पहले, यह उल्लेख करना महत्वपूर्ण है कि आदर्श तरल से हमारा क्या तात्पर्य है। एक आदर्श तरल पदार्थ एक वास्तविक तरल पदार्थ का सरलीकरण है, ऐसा एक तरल पदार्थ के वर्णन के कारण किया जाता है आदर्श गणितीय रूप से सरल है और हमें उपयोगी परिणाम देता है जिन्हें बाद में द्रव मामले में बढ़ाया जा सकता है असली।

किसी तरल पदार्थ को आदर्श मानने के लिए चार धारणाएँ बनाई जाती हैं और उन सभी का संबंध प्रवाह से होता है:

• स्थिर प्रवाह: स्थिर प्रवाह वह होता है जिसमें द्रव जिस गति से चलता है वह अंतरिक्ष में किसी भी बिंदु पर समान होता है। दूसरे शब्दों में, हम मानते हैं कि द्रव में अशांति नहीं होती है।

• असंपीड्यता: यह भी माना जाता है कि एक आदर्श द्रव असंपीड्य होता है, अर्थात इसका घनत्व हर समय स्थिर रहता है।

• गैर-चिपचिपापन: चिपचिपापन तरल पदार्थों का एक गुण है, जो सामान्य शब्दों में, उस प्रतिरोध का प्रतिनिधित्व करता है जो तरल पदार्थ गति का विरोध करता है। श्यानता को यांत्रिक घर्षण के समान माना जा सकता है।

• अघूर्णी प्रवाह: इस धारणा से हम इस तथ्य का उल्लेख करते हैं कि गतिमान द्रव अपने पथ के किसी भी बिंदु के चारों ओर किसी भी प्रकार की गोलाकार गति नहीं करता है।

इन धारणाओं को बनाकर और एक आदर्श तरल पदार्थ रखकर हम गणितीय उपचार को बहुत सरल बनाते हैं हम ऊर्जा का संरक्षण भी सुनिश्चित करते हैं, जो कि सिद्धांत की दिशा में शुरुआती बिंदु है बरनौली.

बर्नौली का समीकरण समझाया गया

आइए एक पाइप के माध्यम से घूमने वाले एक आदर्श तरल पदार्थ पर विचार करें जैसा कि निम्नलिखित चित्र में दिखाया गया है:

अब हम कार्य और गतिज ऊर्जा प्रमेय का उपयोग करेंगे, जो ऊर्जा संरक्षण के नियम को व्यक्त करने का एक और तरीका है, यह हमें बताता है कि:

\(W = {\rm{\Delta }}K\)

जहां \(W\) कुल यांत्रिक कार्य है और \({\rm{\Delta }}K\) दो बिंदुओं के बीच गतिज ऊर्जा में परिवर्तन है। इस प्रणाली में हमारे पास दो प्रकार के यांत्रिक कार्य होते हैं, एक जो तरल पदार्थ पर गुरुत्वाकर्षण बल द्वारा किया जाता है और दूसरा जो तरल पदार्थ के दबाव के परिणामस्वरूप होता है। माना कि \({W_g}\) गुरुत्वाकर्षण द्वारा किया गया यांत्रिक कार्य है और \({W_p}\) दबाव द्वारा किया गया यांत्रिक कार्य है, तब हम कह सकते हैं कि:

\({W_g} + {W_p} = {rm{Delta }}K\)

चूंकि गुरुत्वाकर्षण एक रूढ़िवादी बल है, इसलिए इसके द्वारा किया गया यांत्रिक कार्य दो बिंदुओं के बीच गुरुत्वाकर्षण स्थितिज ऊर्जा के अंतर के बराबर होगा। प्रारंभिक ऊंचाई जिस पर द्रव पाया जाता है वह \({y_1}\) है और अंतिम ऊंचाई \({y_2}\) है, इसलिए, हमारे पास है:

\({W_g} = – {\rm{\Delta }}mg{\rm{\Delta }}y = – {rm{\Delta }}mg\left( {{y_2} – {y_1}} \right )\)

जहां \({\rm{\Delta }}m\) द्रव के द्रव्यमान का वह भाग है जो एक निश्चित बिंदु से गुजरता है और \(g\) गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण है। चूँकि आदर्श द्रव असंपीड्य है, तो \({\rm{\Delta }}m = \rho {\rm{\Delta }}V\). जहां \(\rho \) द्रव का घनत्व है और \({\rm{\Delta }}V\) आयतन का वह भाग है जो एक बिंदु से बहता है। उपरोक्त समीकरण में इसे प्रतिस्थापित करने पर हमें प्राप्त होता है:

\({W_g} = – \rho g{\rm{\Delta }}V\left( {{y_2} – {y_1}} \right)\)

आइए अब हम द्रव के दबाव से होने वाले यांत्रिक कार्य पर विचार करें। दबाव प्रति इकाई क्षेत्र पर लगाया गया बल है, अर्थात, \(F = PA\)। दूसरी ओर, यांत्रिक कार्य को \(W = F{\rm{\Delta }}x\) के रूप में परिभाषित किया गया है, जहां \(F\) लगाया गया बल है और \({\rm{\Delta }}x\) इस मामले में x-अक्ष पर किया गया विस्थापन है। इस संदर्भ में हम \({\rm{\Delta }}x\) को एक निश्चित बिंदु से बहने वाले तरल पदार्थ के हिस्से की लंबाई के रूप में सोच सकते हैं। दोनों समीकरणों को मिलाकर हमें यह प्राप्त होता है कि \(W = PA{\rm{\Delta }}x\). हम यह महसूस कर सकते हैं कि \(A{\rm{\Delta }}x = \rm{\Delta }}V\), अर्थात, यह आयतन का वह भाग है जो उक्त बिंदु से प्रवाहित होता है। इसलिए, हमारे पास वह \(W = P{\rm{\Delta }}V\) है।

प्रारंभिक बिंदु पर, सिस्टम पर \({P_1}{\rm{\Delta }}V\) के बराबर यांत्रिक कार्य किया जाता है और अंतिम बिंदु पर सिस्टम परिवेश पर \({P_2}{\rm{\Delta) के बराबर यांत्रिक कार्य करता है }}वी\). तरल पदार्थ के दबाव के कारण होने वाला यांत्रिक कार्य तब सिस्टम पर किया गया कार्य होगा, जो इसके परिवेश पर किया गया कार्य होगा, यानी कि:

\({W_p} = {P_1} {डेल्टा }}वी\)

अंत में, गतिज ऊर्जा में अंतर \({\rm{\Delta }}K\) अंतिम बिंदु पर गतिज ऊर्जा घटाकर प्रारंभिक बिंदु पर गतिज ऊर्जा के बराबर होगा। वह है:

\({\rm{\Delta }}K = \frac{1}{2} 2 = \frac{1}{2}{\rm{Delta }}m\left( {v_2^2 – v_1^2} \right)\)

उपरोक्त से, हम जानते हैं कि \({\rm{\Delta }}m = \rho {rm{\Delta }}V\)। उपरोक्त समीकरण इस प्रकार है:

\({\rm{\Delta }}K = \frac{1}

ऊर्जा संरक्षण समीकरण में प्राप्त सभी परिणामों को प्रतिस्थापित करने पर, यह प्राप्त होता है:

\(\left( {{P_1} – {P_2}} \right){\rm{\Delta }}V – \rho {rm{Delta }}V\left( {{y_2} – {y_1}} \दाएं) = \frac{1}{2}\rho {rm{\Delta }}V\left( {v_2^2 – v_1^2} \दाएं)\)

हम समीकरण के दोनों पक्षों पर पद \({\rm{\Delta }}V\) का गुणनखंड कर सकते हैं, इससे यह प्राप्त होता है:

\({P_1} – {P_2} – \rho g\left( {{y_2} – {y_1}} \right) = \frac{1}{2}\rho \left( {v_2^2 – v_1^2 } \सही)\)

हमें लापता उत्पादों का विकास करना होगा:

\({P_1} – {P_2} – \rho g{y_2} + \rho g{y_1} = \frac{1}{2}\rho v_2^2 – \frac{1}{2}\rho v_1^ 2\)

समीकरण के दोनों पक्षों के सभी पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर हमें यह प्राप्त होता है:

\({P_1} + \rho g{y_1} + \frac{1}{2}\rho v_1^2 = {P_2} + \rho g{y_2} + \frac{1}{2}\rho v_2^ 2\)

यह समीकरण हमारे सिस्टम की प्रारंभिक अवस्था और अंतिम अवस्था के बीच का संबंध है। हम अंततः यह कह सकते हैं:

\(P + \rho gy + \frac{1}{2}\rho {v^2} = स्थिरांक\)

यह अंतिम समीकरण बर्नौली समीकरण है जिससे इसका सिद्धांत प्राप्त होता है। बर्नौली का सिद्धांत गति में एक आदर्श तरल पदार्थ के लिए एक संरक्षण कानून है।

संदर्भ

डेविड हॉलिडे, रॉबर्ट रेसनिक और जेरल वॉकर। (2011). भौतिकी के मूल सिद्धांत. संयुक्त राज्य अमेरिका: जॉन विली एंड संस, इंक.