कम से कम सामान्य गुणक का उदाहरण

कम से कम सामान्य गुणक, दो या दो से अधिक संख्याओं के संक्षिप्त शब्द m.c.m. द्वारा दर्शाया गया है, शून्य के अलावा, उक्त संख्याओं के सामान्य गुणकों में सबसे छोटा है। एम.सी.एम. खोजने का सबसे आसान तरीका दो या दो से अधिक संख्याओं में से प्रत्येक संख्या को उसके अभाज्य गुणनखंडों में विघटित करना है। अतः लघुत्तम समापवर्त्य सभी उभयनिष्ठ और अपसामान्य कारकों के गुणनफल के बराबर होता है और उनका सबसे बड़ा घातांक होता है। हम इस विचार को स्पष्ट करने के लिए निम्न उदाहरण का विश्लेषण करते हैं, जो कम से कम सामान्य गुणक के उदाहरण हैं:
1) मान लीजिए मेक्सिको सिटी से दो जहाज एक साथ निकलते हैं। एक बारह (12) दिनों के भीतर और दूसरा चालीस (40) दिनों के भीतर फिर से प्रस्थान करेगा। सवाल यह है कि दोनों जहाजों को एक साथ प्रस्थान करने में कितने दिन लगेंगे?
इस उदाहरण में, हमें जो करना चाहिए वह 12 और 40 का सबसे छोटा सा सामान्य गुणज ज्ञात करना है। ऐसा करने के लिए, हम इनमें से प्रत्येक संख्या को उसके अभाज्य गुणनखंडों में विघटित करते हैं।
संख्या प्रधान कारक
12 2
6 2
3 3
1
संख्या प्रधान कारक
40 2
20 2
10 2
5 5
1
उदाहरण में, किसी संख्या को उसके अभाज्य गुणनखंडों में विघटित करना उनमें से प्रत्येक को सबसे छोटी अभाज्य संख्या से विभाजित करने का प्रतिनिधित्व करता है जो इसे बिल्कुल विभाजित करती है। तो हम निम्नलिखित निष्कर्ष पर आते हैं:

12 = 2 x 2 x 3, या वही क्या है 12 = 2 वर्ग (2) x3 y
40 = 2 x 2 x 2 x 5, या वही क्या है 40 = 2 घन (3) x5
कम से कम सामान्य गुणक उनके सबसे बड़े घातांक के साथ सामान्य और असामान्य कारकों का गुणनफल है, अर्थात m.c.m. १२ और ४० = २ का उठा हुआ घन x ३ x ५, m.c.m १२ और ४० = १२०, तो इस उदाहरण का सही उत्तर यह है कि जहाज १२० के भीतर फिर से एक साथ निकलेंगे दिन।

कम से कम सामान्य एकाधिक का एक और उदाहरण:

2) दो पेशेवर साइकिल चालक एक वेलोड्रोम के ट्रैक पर एक प्रतियोगिता खेलते हैं। पहले वाले को एक पूरा लैप पूरा करने में 32 सेकंड का समय लगता है और दूसरे को 48 सेकंड में। वे आरंभिक बिंदु पर कितनी बार सेकंडों में मिलेंगे?
उदाहरण पिछले वाले के समान है इसलिए हमें 32 और 48 को उनके अभाज्य गुणनखंडों में विघटित करना होगा।
सं. प्रमुख कारक
32 2
16 2
8 2
4 2
2 2
1
सं. प्रमुख कारक
48 2
24 2
12 2
6 2
3 3
1
इसलिए 32 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 अर्थात 32 = 2 से पांचवें (5) और 48 = 2 x 2 x 2 x 2 x 3 अर्थात 48 = 2 से चौथे (4) x 3 तक बढ़ा दिया गया है .
चूंकि कम से कम सामान्य गुणक उनके सबसे बड़े घातांक के साथ सामान्य और असामान्य कारकों के निर्माता के बराबर है, हमारे पास 32 और 48 = 2 का एम.सी.एम है जो पांचवें x 3 तक बढ़ा है। ३२ और ४८ = ९६ का कम से कम सामान्य गुणक, इसलिए इस उदाहरण का उत्तर यह है कि दो साइकिल चालक ९६ सेकंड में फिर से शुरुआती बिंदु पर मिलेंगे।
3) एक बैंकिंग हाउस में सुरक्षा अलार्म कुशलतापूर्वक प्रोग्राम किए जाते हैं। पहली हर 10 सेकंड में, दूसरी हर 15 सेकंड में और आखिरी हर 20 सेकंड में सुनाई देगी। अलार्म कितने सेकंड एक साथ बंद हो जाएंगे?
तर्क पिछले उदाहरणों के समान है, हमें 10, 15 और 20 के सबसे छोटे सामान्य गुणकों की गणना करनी चाहिए। इसके लिए हम अपघटन करते हैं जो तीन संख्याओं का प्रमुख गुणनखंड है।
सं. प्रमुख कारक
10 2
5 5
1
सं. प्रमुख कारक
15 3
5 5
1
सं. प्रमुख कारक
20 2
10 2
5 5
1
हमारे पास वह १० = २ x ५, वह १५ = ३ x ५ और वह २० = २ वर्ग (२) x ५ है। १०, १५ और २० का सबसे छोटा सामान्य गुणज = २ वर्ग (२) x ३ x ५ = ६०। इस उदाहरण का उत्तर यह है कि सभी तीन अलार्म एक साथ 60 सेकंड (एक मिनट) में ध्वनि करेंगे।
याद रखें कि अभाज्य संख्याएँ वे संख्याएँ होती हैं जो केवल एकता (1) और स्वयं के बीच विभाज्य होती हैं।