पूर्ण स्थान उदाहरण

गणितीय विश्लेषण गणितीय विज्ञान की वह शाखा है जो के अध्ययन से संबंधित है पूर्ण स्थान, जो एक प्रकार का मीट्रिक स्थान है।

एक मीट्रिक स्थान बिंदुओं के जोड़े और उनके बीच की दूरी के एक फलन से बना होता है; इन स्थानों में एक कॉची अनुक्रम को परिभाषित करना संभव है जो इन दो बिंदुओं के बीच तेजी से छोटी दूरी से बनता है। जब मीट्रिक स्थान में अनुक्रम में छोटी दूरी का पता लगाना संभव नहीं रह जाता है तो हमारे पास a पूर्ण स्थान. क्लोज्ड न्यूमेरिकल समुच्चय, यानी वे जिनमें एक सीमा होती है, पूर्ण रिक्त स्थान होते हैं।

पूर्ण स्थान का उदाहरण:

0 सहित प्राकृत संख्याओं का समुच्चय एक पूर्ण स्थान है क्योंकि यह समुच्चय 0 के अंत तक बंद हो जाता है। इस संख्या सेट का प्रतिनिधित्व है नहीं= [0, 1, 2,… एन}।

आइए इस सेट के दो तत्वों के बीच कोई दो बिंदु लें, उदाहरण के लिए 4 और 8, जिन्हें निम्नलिखित तरीके से दर्शाया गया है p = (४, ८), दो बिंदुओं के बीच की दूरी का फलन ४ के बराबर है, कॉची अनुक्रम अनुक्रम {४, ३, २, १, ०} द्वारा दिया जाता है जो कि अभिसरण करता है 0.

एक अन्य उदाहरण {0} से बनी धनात्मक वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है जिसे इस प्रकार दर्शाया गया है

तथा⁺= [0, 1, 2, 3, 4,…. नहीं}, चूंकि इस स्थान में दो बिंदु दिए गए हैं, दूरी 0. होने पर कॉची अनुक्रम अभिसरण करेगा

परिमेय संख्याओं का समुच्चय एक पूर्ण स्थान नहीं है, क्योंकि दूरी 0 (संख्या 0 एक संख्या के रूप में नहीं है इस सेट में मौजूद है) जो कॉची अनुक्रम को इसमें किसी भी बिंदु पर अभिसरण नहीं करता है सेट।

प्राकृत संख्याओं का कोई भी बंद अंतराल एक पूर्ण स्थान होता है।