न्यूटन का द्विपद उदाहरण

न्यूटन का द्विपद, यह भी कहा जाता है "द्विपद प्रमेय " एक लघुगणक है जो हमें द्विपदों की घातों को प्राप्त करने की अनुमति देता है।

द्विपद शक्ति प्राप्त करने के लिए, गुणांकों को "कहा जाता है"द्विपद गुणांक"जिसमें संयोजनों के अनुक्रम शामिल हैं।

उदाहरण 1, न्यूटन के द्विपद के सामान्य सूत्र:

(ए + बी)² = ए² + 2 एबी + बी²
(ए - बी)² = ए² -2 एबी + बी²
(ए + बी) 3 ए³ +3 से²बी + 3 एबी² + बी³

इन सूत्रों को उल्लेखनीय पहचानों के नाम से जाना जाता है, जहां एक अधिक सामान्य सूत्र बनाया जाता है जो (ए + बी) के विकास के बराबर होता है।^नहींजहाँ n कोई प्राकृत पूर्णांक है।

यह सूत्र किसी भी तत्व के लिए मान्य है सेवा मेरे यू ख एक अंगूठी का,

ए (कानूनों के लिए + यू एक्स) सेवा मेरे

शर्त यह है कि दो तत्व सेवा मेरेयू ख ऐसा हो कि सेवा मेरे एक्स ख = ख एक्स सेवा मेरे:

(ए + बी)^नहीं = ए^नहीं + सी¹_नहीं सेवा मेरे^एन-2 एक्सबी² + ...
+ सी^पी_नहीं  सेवा मेरे^{एन-पी} एक्सबी^पी +… + सी_पी^{एन 1} + बी^नहीं.

सी^पी_नहीं प्राकृतिक पूर्णांक हैं, जिन्हें द्विपद गुणांक कहा जाता है (वे जो. के संयोजनों की संख्या को व्यक्त करते हैं) नहीं लिया गया सामान पी सेवा मेरे पी; पास्कल के त्रिकोण के लिए धन्यवाद आसानी से गणना की जा सकती है)।

उदाहरण 2, न्यूटन के द्विपद से:

हम गुणन पर विचार करते हैं:

जेड. जेड = जेड² जहाँ z कोई बीजीय व्यंजक हो सकता है:

अब मान लीजिए कि जेड = एक्स + यू, तब फिर:

जेड z = (x + y) = (x + y) लेकिन (x + y)

जिसकी गणना इस प्रकार की जा सकती है:

एक्स + वाई
एक्स + वाई

यहां गुणा बाएं से दाएं किया जाता है और परिणाम बीजगणितीय रूप से जोड़कर प्राप्त किया जाता है:

एक्स² + एक्स वाई
+ xy + y²

एक्स² + 2 x y + y²

(एक्स + वाई)² = एक्स² + 2 x y + y²

अगर हम विचार करें:

जेड जेड जेड = जेड³;

(एक्स + वाई) (एक्स + वाई) (एक्स + वाई) = (एक्स + वाई)². (एक्स + वाई) 2. (एक्स + वाई) = (एक्स² + 2 xy + y²) (एक्स + वाई)

जब गुणा किया जाता है तो हम प्राप्त करते हैं:

X2 + 2 x y + y2
+ एक्स²वाई + 2 एक्स वाई² + और²

एक्स³ + 3 एक्स² वाई + 3 एक्स वाई² + और³

(एक्स + वाई)² (एक्स + वाई) = (एक्स + वाई)³ = एक्स³ + 3 एक्स² वाई + 3 एक्स वाई² + और³.

 जेड³. जेड = जेड⁴

z3. z = (x3 + 3 x2 y + 3 x y2 + y3) (x + y)

और जब हम गुणा करते हैं।

एक्स³ + एक्स² वाई + 3 एक्स वाई² + और³

एक्स + वाई_________________

एक्स⁴ + 3 एक्स³ वाई + 3 एक्स² यू² + एक्स वाई³

+ एक्स³ वाई + 3 x2 y2 + 3xy³ + और⁴

एक्स⁴ + 4x³और + 6x² वाई + 4xy³ + और⁴

(एक्स + वाई)⁴ = x4 + 4x³और + 6x² यू² + 4xy³ + और⁴