कम से कम सामान्य गुणक का उदाहरण

दो या दो से अधिक संख्याओं के संक्षिप्त शब्द m.c.m. द्वारा निरूपित लघुत्तम समापवर्तक, शून्य के अलावा, उक्त संख्याओं के सामान्य गुणकों में सबसे छोटा है। एम.सी.एम. खोजने का सबसे आसान तरीका दो या दो से अधिक संख्याओं में से प्रत्येक संख्या को उसके अभाज्य गुणनखंडों में विघटित करना है। अतः लघुत्तम समापवर्त्य सभी उभयनिष्ठ और अपसामान्य कारकों के गुणनफल के बराबर होता है, जिसमें उनका सबसे बड़ा घातांक होता है। विचार को स्पष्ट करने के लिए हम निम्न उदाहरण का विश्लेषण करते हैं, जो कि निम्नतम समापवर्त्य गुणज है:
1) मान लीजिए मेक्सिको सिटी से दो जहाज एक साथ निकलते हैं। एक बारह (12) दिनों के भीतर और दूसरा चालीस (40) दिनों के भीतर फिर से प्रस्थान करेगा। सवाल यह है कि दोनों जहाजों को एक साथ प्रस्थान करने में कितने दिन लगेंगे?
इस उदाहरण में, हमें जो करना चाहिए वह 12 और 40 का सबसे छोटा सा सामान्य गुणज ज्ञात करना है। ऐसा करने के लिए, हम इनमें से प्रत्येक संख्या को उसके अभाज्य गुणनखंडों में विघटित करते हैं।
संख्या प्रधान कारक
12 2
6 2
3 3
1
संख्या प्रधान कारक
40 2
20 2
10 2
5 5
1
उदाहरण में, किसी संख्या को उसके अभाज्य गुणनखंडों में विघटित करना उनमें से प्रत्येक को सबसे छोटी अभाज्य संख्या से विभाजित करने का प्रतिनिधित्व करता है जो इसे बिल्कुल विभाजित करती है। तो हम निम्नलिखित निष्कर्ष पर आते हैं:

12 = 2 x 2 x 3, या वही क्या है 12 = 2 वर्ग (2) x3 y
40 = 2 x 2 x 2 x 5, या वही क्या है 40 = 2 घन (3) x5
कम से कम सामान्य गुणक उनके सबसे बड़े घातांक के साथ सामान्य और असामान्य कारकों का गुणनफल है, अर्थात m.c.m. १२ और ४० = २ का उठा हुआ घन x ३ x ५, m.c.m १२ और ४० = १२०, तो इस उदाहरण का सही उत्तर यह है कि जहाज १२० के भीतर फिर से एक साथ निकलेंगे दिन।

कम से कम सामान्य एकाधिक का एक और उदाहरण:

2) दो पेशेवर साइकिल चालक वेलोड्रोम ट्रैक पर एक प्रतियोगिता खेलते हैं। पहले वाले को एक पूरा लैप पूरा करने में 32 सेकंड का समय लगता है और दूसरे को 48 सेकंड में। वे आरंभिक बिंदु पर कितनी बार सेकंडों में मिलेंगे?
उदाहरण पिछले वाले के समान है इसलिए हमें 32 और 48 को उनके अभाज्य गुणनखंडों में विघटित करना होगा।
सं. प्रमुख कारक
32 2
16 2
8 2
4 2
2 2
1
सं. प्रमुख कारक
48 2
24 2
12 2
6 2
3 3
1
इसलिए ३२ = २ x २ x २ x २ x २ यानी ३२ = २ को पाँचवें (५) तक बढ़ा दिया गया है और ४८ = २ x २ x २ x २ x ३ यानी ४८ = २ से चौथे तक बढ़ा दिया गया है (४) x ३ .
चूँकि लघुतम समापवर्त्य उभयनिष्ठ और अपसामान्य कारकों के उनके सबसे बड़े घातांक के उत्पादक के बराबर होता है, इसलिए हमारे पास 32 और 48 = 2 का ग्राम पाँचवें x 3 तक बढ़ा दिया गया है। ३२ और ४८ = ९६ का कम से कम सामान्य गुणक, इसलिए इस उदाहरण का उत्तर यह है कि दो साइकिल चालक ९६ सेकंड में फिर से शुरुआती बिंदु पर मिलेंगे।
3) एक बैंकिंग हाउस में सुरक्षा अलार्म कुशलतापूर्वक प्रोग्राम किए जाते हैं। पहला हर 10 सेकंड में, दूसरा हर 15 सेकंड में और आखिरी हर 20 सेकंड में सुनाई देगा। अलार्म कितने सेकंड एक साथ बंद हो जाएंगे?
तर्क पिछले उदाहरणों के समान है, हमें 10, 15 और 20 के अल्पतम समापवर्त्य की गणना करनी चाहिए। इसके लिए हम अपघटन करते हैं जो तीन संख्याओं का प्रमुख गुणनखंड है।
सं. प्रमुख कारक
10 2
5 5
1
सं. प्रमुख कारक
15 3
5 5
1
सं. प्रमुख कारक
20 2
10 2
5 5
1
हमारे पास वह १० = २ x ५, वह १५ = ३ x ५ और वह २० = २ वर्ग (२) x ५ है। १०, १५ और २० का सबसे छोटा सामान्य गुणज = २ वर्ग (२) x ३ x ५ = ६०। इस उदाहरण का उत्तर यह है कि सभी तीन अलार्म एक साथ 60 सेकंड (एक मिनट) में ध्वनि करेंगे।
याद रखें कि अभाज्य संख्याएँ वे संख्याएँ होती हैं जो केवल एकता (1) और स्वयं के बीच विभाज्य होती हैं।