घनमूल उदाहरण

घनमूल एक संख्या को घन करने की व्युत्क्रम संक्रिया है, (जो किसी संख्या को अपने आप तीन गुना से गुणा कर रही है)। अर्थात घनमूल का प्रयोग उस संख्या को ज्ञात करने के लिए किया जाता है जिसे अपने आप से तीन गुना गुणा करने पर परिणामतः वह संख्या प्राप्त हो जाती है जिससे हम मूल ले रहे हैं।

जब हम किसी संख्या को स्वयं से तीन गुना गुणा करते हैं, तो हम कहते हैं कि हम उस संख्या का घन करते हैं।

उदाहरण के लिए, संख्या 4 को घन करते समय, हम निम्नलिखित कार्य करते हैं:

4³ = 4 एक्स 4 एक्स 4 = 64

क्यूब रूट का उपयोग उस संख्या को खोजने के लिए किया जाता है जो क्यूब हमें परिणाम के रूप में वह संख्या देता है जिससे हम रूट निकाल रहे हैं। इस संक्रिया को उस संक्रिया के रूप में समझा जा सकता है जिसके द्वारा घन का आयतन जानकर हम गणना कर सकते हैं कि इसकी एक भुजा कितनी मापी गई है।

मूलांक और मूल सूचक से घनमूल चिन्ह बनता है, जो संख्या 3 है:

³√

1000 से कम संख्याओं का घनमूल उन संख्याओं में शामिल होता है जिनमें इकाइयाँ शामिल होती हैं:

1³ = 1

2³ = 8

3³ = 27

4³ = 64

5³ = 125

6³ = 216

7³ = 343

8³ = 512

9³ = 729

10³ = 1000

1000 से अधिक संख्याओं के लिए, हमें यह ध्यान रखना चाहिए कि दो अंकों की संख्या का घन, यानी दहाई और इकाइयों के साथ, हजारों में संख्याएं उत्पन्न करेगा। इस विशेषता को ध्यान में रखना महत्वपूर्ण है, क्योंकि बड़ी या दशमलव संख्याओं के घनमूल की गणना करने के लिए, जिस अवधि में संख्या विभाजित होती है वह तीन अंकों की होगी।

एक और महत्वपूर्ण विवरण जिसे हमें घनमूल की गणना करने के लिए ध्यान में रखना चाहिए, वह यह है कि प्रत्येक अवधि (अर्थात प्रत्येक भाग हजारों में) की गणना करने के लिए घन की जाने वाली संख्या को दो अंकों के योग के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, अर्थात्, d + u के रूप के द्विपद के रूप में, जहाँ अक्षर d दहाई है, और u इकाइयां हम इसे बहुपद विकसित करके और मानों को समानांतर रूप से प्रतिस्थापित करके समझ सकते हैं:

(डी + यू)³ = डी³ + 3डी²यू + 3डु² + डी³

12³ = 10³ + (3)10²(2) + (3) (10)2² + 2³ = 1000 + 600 + 120 + 8 = 1728

१२३ = १२ x १२ x १२ = १७२८।

इन पिछले विचारों को समाप्त करने के लिए, यह समझाना बाकी है कि घनमूल की गणना करते समय, हम d शब्द का उपयोग नहीं करेंगे³, चूंकि यह पहला शब्द है जिसकी हम गणना करते हैं, और जैसे-जैसे प्रत्येक अवधि घटती जाती है, हम केवल 3d शब्दों का उपयोग करेंगे²यू, 3डु² और आप³, जिसमें से हम उनके मान जोड़ेंगे और उन्हें प्रत्येक पद से घटाएंगे। हल करते समय, 3d. का परिणाम²आप इसे 3du multiply के 100 से गुणा करेंगे² हम इसे 10 से गुणा करेंगे और u. का परिणाम होगा³, हम इसे उस पर छोड़ देंगे। यह क्यूब रूट की गणना करने का चरण-दर-चरण विवरण है:

किसी संख्या का घनमूल निकालने के लिए

किसी संख्या का घनमूल कैसे ज्ञात करें?

पहला कदम। (काला रंग) हम संख्या को आवर्त में विभाजित करके प्रारंभ करते हैं। प्रत्येक अवधि तीन संख्याओं से बनी होगी। पूर्ण संख्याओं में उनकी गणना दशमलव बिंदु से, पूर्ण संख्याओं में बाईं ओर और दशमलव संख्याओं में दाईं ओर की जाएगी। हम 12326391 के घनमूल की गणना करेंगे। हम संख्या को आवर्त में विभाजित करते हैं और इसे मूल चिन्ह के अंदर रखते हैं।

दूसरा कदम। (नीला रंग) हम पहली अवधि के घनमूल की गणना करते हैं (जो कि बाईं ओर सबसे दूर है), उस संख्या की तलाश करना जो घन के बराबर या उस संख्या के करीब है जिसे हम ढूंढ रहे हैं, बिना आगे बढ़े और हम घटाते हैं।

तीसरा चरण। (बैंगनी रंग) हम अगली अवधि को घटाते हैं और घटाव के परिणाम के बगल में रखते हैं। हम अंतिम दो संख्याओं को दाईं ओर से अलग करते हैं। हम उस संख्या का वर्ग करते हैं जो हमारे पास एक मूल के रूप में है, और हम इसे तीन से गुणा करते हैं। हम परिणाम में छोड़ी गई संख्या को उस संख्या से विभाजित करते हैं जो हमने अभी प्राप्त की है, और विभाजन का पूर्णांक परिणाम रूट में अगली संख्या है।

चौथा चरण। (हरा रंग) उस संख्या से जो हमारे पास जड़ के रूप में है, हम इकाइयों को अलग करते हैं (जो हमारे समीकरण का u मान होगा) और शेष संख्या दहाई होगी। अगला, हम 3d. के मान निर्धारित करते हैं²यू, 3डु² और आप³, हम उन्हें जोड़ते हैं और परिणाम घटाते हैं।

पांचवां चरण। (भूरा रंग)। हम घटाव के परिणाम के साथ अगली अवधि को कम करते हैं और अंतिम दो आंकड़ों को अलग करते हैं। हम रूट को स्क्वायर करते हैं और तीन से गुणा करते हैं। हम उस संख्या को विभाजित करते हैं जो गुणा के परिणाम से बची थी जो हमने अभी किया था और पूरा परिणाम रूट में अगली संख्या है।

चरण छह। (लाल रंग)। हम फिर से इकाइयों और दहाई को अलग करते हैं। यदि मूल में तीन या अधिक अंक हों, तो इकाइयों को अलग करते समय d (दहाई) के मान में दो या अधिक अंक हो सकते हैं। हम 3d. के मान निर्धारित करते हैं²यू, 3डु² और आप³, हम उनके परिणाम जोड़ते हैं और घटाते हैं।

चरण पांच और छह तब तक दोहराए जाते हैं जब तक कि परिणाम शून्य न हो यदि मूल सटीक है या शेष गलत है तो शेष तक पहुंच जाता है। उसी प्रक्रिया का पालन किया जाता है जब जिस संख्या में मूल लिया जाता है उसमें दशमलव संख्याएं होती हैं।

घनमूलों के उदाहरण:

³√ 232608375 = 615

³√ 614125 = 85

³√ 74088 = 42

³√ 82312,875 = 43,5

³√ 1953125 = 125

³√ 160103007 = 8543

³√ 485587,656 = 78,6

³√ 946966,168 = 98,2

³√ 860085351 = 951

³√ 9993948264 = 2154

³√ 183250432 = 568

³√ 274625 = 65

³√ 363994344 = 714

³√ 15625000 = 250

³√ 627222016 = 856

³√ 1838,26563 = 12,25

³√ 2863288 = 142

³√ 418508992 = 748

³√ 465484375 = 775

³√ 6028568 = 182

³√ 14348907 = 243

³√ 1367631 = 111

³√ 35937 = 33

³√ 2263,5713 = 13,13

³√ 3944,312 = 15,8

³√ 1728000 = 120

³√ 0,421875 = 0,75

³√ 1906624 = 124

³√ 33076161 = 321

³√ 314709522 = 680,2