Što su Maxwellove jednadžbe i kako su definirane?

Angel Zamora Ramirez | srp. 2022
Diploma iz fizike

Prije ovih jednadžbi govorilo se da su električne i magnetske sile "sile na daljinu", nije bilo poznato nikakvo fizičko sredstvo pomoću kojeg bi došlo do takve interakcije. Nakon mnogo godina istraživanja na struja Y magnetizam, Michael Faraday je naslutio da mora postojati nešto fizičko u prostoru između naboja i električnih struja što bi im omogućilo međusobnu interakciju i očitovanje svih električnih i magnetskih pojava koje su bile poznate, isprva ih je nazvao "linijama sile", što je dovelo do ideje o postojanju elektromagnetskog polja.

Nadovezujući se na Faradayevu ideju, James Clerk Maxwell razvija teoriju polja predstavljenu s četiri parcijalne diferencijalne jednadžbe. Maxwell je to nazvao "elektromagnetskom teorijom" i bio je prvi koji je uključio ovu vrstu matematičkog jezika u fizikalnu teoriju. Maxwellove jednadžbe u njihovom diferencijalnom obliku za vakuum (to jest, u odsutnosti dielektričnih i/ili polarizirajućih materijala) su sljedeće:

\(\nabla \cdot \vec{E}=\frac{\rho }{{{\epsilon }_{0}}}\)
\(\nabla \times \vec{E}=-\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}\)
\(\nabla \cdot \vec{B}=0\)
\(\nabla \times \vec{B}={{\mu }_{0}}\vec{J}+{{\mu }_{0}}{{\epsilon }_{0}}\frac {\partial \vec{E}}{\partial t}\)
Maxwellove jednadžbe za vakuum u diferencijalnom obliku

Gdje je \(\vec{E}~\) električno polje, \(\vec{B}~\) magnetsko polje, \(\rho ~\) gustoća električno punjenje, \(\vec{J}~~\)je vektor pridružen a električna struja, \({{\epsilon }_{0}}~\) je električna permeabilnost vakuuma i \({{\mu }_{0}}~~\) je magnetska permeabilnost vakuuma. Svaka od ovih jednadžbi odgovara a zakon elektromagnetizma i ima značenje. U nastavku ću ukratko objasniti svaku od njih.

Gaussov zakon

\(\nabla \cdot \vec{E}=\frac{\rho }{{{\epsilon }_{0}}}\)
Gaussov zakon za električno polje

Ono što nam ova prva jednadžba govori je da su električni naboji izvori električnog polja, ovo električno polje "divergira" izravno od naboja. Nadalje, smjer električnog polja je određen predznakom električnog naboja koji ga proizvodi, a koliko su blizu linije polja ukazuje na veličinu samog polja. Slika ispod donekle sažima ono što je upravo spomenuto.

Ilustracija 1. Iz Studiowork.- Dijagram električnih polja generiranih s dva točkasta naboja, jednim pozitivnim i jednim negativnim.

Ovaj zakon svoje ime duguje matematičaru Johannu Carlu Friedrichu Gaussu koji ga je formulirao na temelju svog teorema divergencije.

Gaussov zakon za magnetsko polje

\(\nabla \cdot \vec{B}=0\)

Gaussov zakon za magnetsko polje

Ovaj zakon nema poseban naziv, ali se tako zove zbog sličnosti s prethodnom jednadžbom. Značenje ovog izraza je da ne postoji "magnetski naboj" analogan "električnom naboju", odnosno ne postoje magnetski monopoli koji su izvor magnetskog polja. To je razlog zašto ćemo i dalje imati dva slična magneta, oba sa sjevernim i južnim polom, ako magnet prelomimo na pola.

Faradayev zakon

\(\nabla \times \vec{E}=-\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}\)
Faradayev zakon indukcije

Ovo je slavni zakon indukcije koji je formulirao Faraday kada je 1831. otkrio da promjenjiva magnetska polja mogu inducirati električne struje. Ono što ova jednadžba znači je da je magnetsko polje koje se mijenja s vremenom sposobno inducirati oko njega električno polje, koje zauzvrat može uzrokovati kretanje električnih naboja i stvaranje a potok. Iako ovo na prvu može zvučati vrlo apstraktno, Faradayev zakon stoji iza rada motora, električnih gitara i indukcijskih ploča za kuhanje.

Ampere-Maxwellov zakon

\(\nabla \times \vec{B}={{\mu }_{0}}\vec{J}+{{\mu }_{0}}{{\epsilon }_{0}}\frac {\partial \vec{E}}{\partial t}\)

Prvo što nam ova jednadžba govori je da električne struje stvaraju magnetska polja oko smjera struje i to veličina generiranog magnetskog polja ovisi o veličini ovoga, to je bilo ono što je opazio Oersted i što je kasnije Ampère uspio formulirati. Međutim, postoji nešto zanimljivo iza ove jednadžbe, a to je taj drugi član sa strane zakon jednadžbe je uveo Maxwell jer je ovaj izraz izvorno bio nekonzistentan s ostalima je, posebice, dovelo do kršenja zakona održanja električnog naboja. Kako bi to izbjegao, Maxwell je jednostavno uveo ovaj drugi izraz kako bi cijela njegova teorija bila dosljedna, ovaj izraz dobio naziv "struja pomaka" iu to vrijeme nije bilo eksperimentalnih dokaza koji bi to poduprli. napravit će sigurnosnu kopiju

Ilustracija 2. De Rumruay.- Električna struja koja teče kroz kabel stvara magnetsko polje oko njega prema Amperovom zakonu.

Značenje struje pomaka je da, na isti način kao i magnetsko polje varijabla inducira električno polje, električno polje koje se mijenja s vremenom može generirati polje magnetski. Prva eksperimentalna potvrda struje pomaka bila je demonstracija postojanja elektromagnetskih valova Heinricha Hertza 1887., više od 20 godina nakon objavljivanja teorije Maxwell. Međutim, prvo izravno mjerenje struje pomaka napravio je M. R. Van Cauwenberghe 1929. godine.

svjetlost je elektromagnetski val

Jedno od prvih zapanjujućih predviđanja Maxwellovih jednadžbi jest postojanje elektromagnetskih valova, ali ne samo to, oni su također otkrili da svjetlost mora biti val ovoga Tip. Da bismo to donekle vidjeli, poigrat ćemo se s Maxwellovim jednadžbama, ali prije toga, evo oblika bilo koje valne jednadžbe:

\({{\nabla }^{2}}u=\frac{1}{{{v}^{2}}}\frac{{{\partial }^{2}}u}{\partial {{ t}^{2}}}\)
Opći oblik valne jednadžbe u tri dimenzije.

Gdje je \({{\nabla }^{2}}\) Laplacian operator, \(u\) valna funkcija, a \(v\) brzina vala. Također ćemo raditi s Maxwellovim jednadžbama u praznom prostoru, odnosno u nedostatku električnih naboja i električnih struja, samo električno i magnetsko polje:

\(\nabla \cdot \vec{E}=0\)

\(\nabla \times \vec{E}=-\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}\)

\(\nabla \cdot \vec{B}=0\)

\(\nabla \times \vec{B}={{\mu }_{0}}{{\epsilon }_{0}}\frac{\partial \vec{E}}{\partial t}\)

Također ćemo koristiti sljedeće identitet vektorski račun:

\(\nabla \times \left( \nabla \times \vec{A} \right)=\nabla \left( \nabla \cdot \vec{A} \right)-{{\nabla }^{2}} \vrijeme{A}\)

Ako primijenimo ovaj identitet na električna i magnetska polja koristeći Maxwellove jednadžbe za prazan prostor gore, dobit ćemo sljedeće rezultate:

\({{\nabla }^{2}}\vec{E}={{\mu }_{0}}{{\epsilon }_{0}}\frac{{{\partial }^{2} }\vec{E}}{\djelomično {{t}^{2}}}\)

\({{\nabla }^{2}}\vec{B}={{\mu }_{0}}{{\epsilon }_{0}}\frac{{{\partial }^{2} }\vec{B}}{\djelomično {{t}^{2}}}\)

Obratite pažnju na sličnost ovih jednadžbi s gornjom valnom jednadžbom, u zaključak, električna i magnetska polja mogu se ponašati kao valovi (elektromagnetski valovi). Ako definiramo brzinu ovih valova kao \(c\) i usporedimo ove jednadžbe s gornjom jednadžbom vala, možemo reći da je brzina:

\(c=\frac{1}{\sqrt{{{\mu }_{0}}{{\epsilon }_{0}}}}\)

\({{\mu }_{0}}\) i \({{\epsilon }_{0}}\) su magnetska propusnost i električna permeabilnost vakuuma, a obje su konstante univerzalije čije su vrijednosti \({{\mu }_{0}}=4\pi \times {{10}^{-7}}~~T\cdot m/A\) i \({{\ epsilon } 0}}=8,8542\puta {{10}^{-12}}~{{C}^{2}}/N\cdot m~\), zamjenom ovih vrijednosti, imamo da je vrijednost \(c\) \(c=299,792,458\frac{m}{s}\približno 300,000~km/s\) što je točno brzina svjetlo.

Ovom malom analizom možemo doći do tri vrlo važna zaključka:

1) Električno i magnetsko polje mogu se ponašati kao valovi, odnosno postoje elektromagnetski valovi koji se također mogu širiti kroz vakuum.

2) Svjetlost je elektromagnetski val čija brzina ovisi o magnetskoj propusnosti i permitivnosti medija kroz koji se širi, u praznom prostoru svjetlost ima brzinu od pribl 300 000 km/s.

3) Budući da su magnetska permeabilnost i električna permitivnost univerzalne konstante, tada je brzina svjetlosti je također univerzalna konstanta, ali to također implicira da njezina vrijednost ne ovisi od okvir od kojih se mjeri.

Ova posljednja izjava bila je u to vrijeme vrlo kontroverzna Kako je moguće da brzina svjetlost je ista bez obzira na kretanje osobe koja je mjeri i kretanje izvora svjetlosti. svjetlo? Brzina nečega mora biti relativna, zar ne? Pa, ovo je bila prijelomna točka za fiziku tog vremena i ova jednostavna, ali duboka činjenica dovela je do razvoja teorije posebne relativnosti Alberta Einsteina 1905. godine.