Što je Diracova jednadžba i kako se definira?

Paul Adrien Maurice Dirac (1902.-1984.) predložio je krajem 1928. jednu od jednadžbi najveće važnosti i implikacije u fizici sadašnje ere, a to je zato što ujedinjuje načela kvantne mehanike s načelima relativnost.

Citat (APA)

Evelyn Maitee Marin | kolovoz 2022
Industrijski inženjer, magistar fizike i EdD

Ova se jednadžba može izraziti na nekoliko načina, a najkompaktniji i najjednostavniji je onaj koji se smatra jednom od najestetnijih jednadžbi u znanosti:

\(\lijevo( {i\nabla - \frac{{mc}}{h}} \desno) = 0\)

Gdje:
i: imaginarna jedinica
m: masa mirovanja elektrona
ħ: Planckova reducirana konstanta
c: ubrzati svjetla
: operator zbrajanja parcijalnih derivacija
: matematička valna funkcija elektrona

Apsolutna vrijednost kvadrata valne funkcije predstavlja vjerojatnost pronaći česticu u određenom položaju, s obzirom na njenu energija, brzina, između ostalih parametara, kao i njegova evolucija u vremenu. Drugim riječima, Paul Diracova jednadžba koristi matrice koje djeluju na vektore i predstavlja evoluciju Schrödingerove jednadžbe u relativističkoj kvantnoj fizici.

Diracova jednadžba izvorno je korištena za opisivanje ponašanja elektrona bez interakcije, iako se njezina primjenjivost proteže na opis subatomskih čestica kada putuju brzinama bliskim brzini svjetlosti. Dirac je uspio na subatomskoj razini objasniti dvojno ponašanje vala i čestice koje je već bilo poznato u to vrijeme, budući da je razmatrao svojstva čestica kao što je kutni moment intrinzičan ili spin.

Još jedan od značajnih doprinosa Diracove jednadžbe je predviđanje antimaterije, čije je postojanje kasnije dokazao (1932.) Carl D. Anderson pomoću komore s oblakom s kojom je identificirao pozitron. Također uvelike objašnjava finu strukturu identificiranu u atomskim spektralnim linijama.

Slika prikazuje poznatu fotografiju snimljenu tijekom konferencije "Fotoni i elektroni" 1927. godine na kojoj su prikazani neki od najistaknutijih znanstvenika u povijesti. U nebeskom krugu je Paul Dirac.

Pozadina Diracove jednadžbe

Kako bismo razumjeli razmatranja koja je uzeo Dirac u razvoju svoje jednadžbe, kao i osnove na kojima se temeljio njegov pristup, važno je poznavati teorije prije njegove model.

Prvo, tu je poznata Schrödingerova jednadžba kvantne mehanike, objavljena 1925., koja pretvara količine u kvantne operatore. Ova jednadžba koristi valnu funkciju (), uzimajući kao početnu točku klasičnu jednadžbu od energija E = p2/2m i uključuje pravila kvantizacije za moment (p) i energiju (I):

\(ih\frac{\partial }{{\partial t}}\left( {r, t} \right) = \left[ {\frac{{{h^2}}}{{2m}}{\ nabla ^2} + V\lijevo( {r, t} \desno)} \desno]\lijevo( {r, t} \desno)\)

Parcijalna derivacija /t izražava evoluciju sustava s obzirom na vrijeme. Prvi izraz unutar uglate zagrade odnosi se na Kinetička energija (\({\nabla ^2} = \frac{\partial }{{\partial r}}\left( {r, t} \right)\)), dok se drugi izraz odnosi na potencijalna energija.

Napomena: u Einsteinovoj teoriji relativnosti, varijable prostora i vremena moraju ravnopravno ulaziti u jednadžbe, što nije slučaj u Schrödingerovoj jednadžbi, u kojoj se vrijeme pojavljuje kao derivacija, a položaj kao druga derivacija.

Stoljećima su znanstvenici pokušavali pronaći model fizike koji ujedinjuje različite teorije, au slučaju Schrödingerova jednadžba uzima u obzir masu (m) i naboj elektrona, ali ne uzima u obzir relativističke učinke koji se očituju na visokim brzine. Iz tog su razloga 1926. znanstvenici Oskar Klein i Walter Gordon predložili jednadžbu koja uzima u obzir principe relativnosti:

\({\lijevo( {ih\frac{\partial }{{\partial t}}} \right)^2} = \lijevo[ {{m^2}{c^4} + c{{\lijevo( { - ih\bar \nabla } \right)}^2}} \right]\)

Problem s Klein-Gordonovom jednadžbom je taj što se temelji na Einsteinovoj, u kojoj je energija na kvadrat, tako da ova (Klein-Gordonova) jednadžba uključuje kvadratnu derivaciju u odnosu na vrijeme, a to implicira da ima dva rješenja, dopuštajući negativne vrijednosti vremena, a to nema smisla fizički. Isto tako, ima neugodnost generiranja vrijednosti vjerojatnosti manjih od nule kao rješenja.

Pokušavajući razriješiti nedosljednosti implicirane negativnim rješenjima određenih veličina koje ne podržavaju ove rezultate, Paul Dirac je krenuo od Klein-Gordonove jednadžbe do linearizirati, au tom je postupku uveo dva parametra u obliku matrica dimenzije 4, poznatih kao Diracove ili također Paulijeve matrice, a koje su prikaz algebre vrtjeti. Ovi parametri su označeni kao  i ` (u energetskoj jednadžbi prikazani su kao E = pc + mc2):

Po onome što jest jednakost ispunjen, uvjet je da je ´2 = m2c4

Općenito, pravila kvantizacije dovode do operacija s izvedenicama koje se primjenjuju na skalarne valne funkcije, međutim, budući da parametri α i β su matrice 4x4, diferencijalni operatori interveniraju na četverodimenzionalnom vektoru (), poznatom kao spinor.

Diracova jednadžba rješava problem negativne energije predstavljen Klein-Gordonovom jednadžbom, ali se još uvijek pojavljuje rješenje negativne energije; to jest, čestice sa svojstvima sličnim onima druge otopine, ali sa suprotnim nabojem, Dirac ih je nazvao antičesticama. Nadalje, Diracovom jednadžbom je pokazano da je spin rezultat primjene relativističkih svojstava na kvantni svijet.