Što je hijerarhija operacija?

Hijerarhija operacija je matematička konvencija koja utvrđuje redoslijed kojim bi se kombinirane radnje izračuna trebale izvesti u isti matematički iskaz, odnosno kada postoji matematički iskaz u kojem postoje matematičke operacije (zbrajanje, oduzimanje, množenje, dijeljenje, potencije i korijeni) zajedno, to se mora učiniti određenim redoslijedom da bi se dobio rezultat uobičajen.

Ali zašto je potrebna hijerarhija? Da bismo odgovorili na njega, prvo moramo dobro razumjeti prirodu matematičkih operacija, koje se sastoje od transformacije koja se primjenjuje na elemente skupa. Razmislimo, na primjer, o skupu realnih brojeva, odnosno onih brojeva koje svi poznajemo. Ako uzmemo broj a i zbrojimo ga s drugim brojem b, dobit ćemo drugi broj c koji pripada istom skupu realnih brojeva, tj.

a+b = c

Osim toga, redoslijed kojim su pribrojnici prikazani ne utječe na konačni rezultat, tj a+b = b+a, ovo se svojstvo naziva komutativnost. Važno je govoriti o zbrajanju jer je to osnovna operacija iz koje se izvode sve ostale. Množenje nije ništa drugo nego niz ponovljenih zbrajanja. Ako opet imamo broj a i pomnožimo ga s brojem b, ono što radimo je ponekad zbrajanje broja b sa samim sobom, ili, alternativno, zbrajanje b puta broja a sa samim sobom. Potonje je tako budući da je množenje komutativno poput zbrajanja, to implicira da:

a⋅b = b⋅a. Gore navedeno se može izraziti kao:

To možemo lako vizualizirati na primjeru. Izvršimo množenje 5×2:

5×2 = 2×5 = 2+2+2+2+2 = 5+5 = 10

Sada, što ako moramo izvesti operaciju u kojoj smo kombinirali zbrajanje s množenjem? Na primjer: a⋅b+c. Kojim se redoslijedom moraju izvoditi zbrajanje i množenje? Kojoj operaciji moramo dati prednost? Ako prvo izvedemo množenje i razvijemo ga kao zbroj, imali bismo:

Ako bismo prvo izvršili zbrajanje, a zatim množenje, dobili bismo:

Budući da je zbrajanje komutativno, možemo pregrupirati desnu stranu jednadžbe da dobijemo:

Uspoređujući rezultate dobivene u obje situacije, lako je shvatiti da:

Zaključujemo dakle da redoslijed kojim se odlučuje za izvođenje operacija utječe na dobiveni rezultat. Isto se događa kada uključimo moći. Kada podignemo broj b na potenciju c, ono što radimo je množenje c puta broja b sa samim sobom, to jest:

Sada nastavljamo s izvođenjem sljedeće kombinirane operacije koja uključuje množenje i potenciju a⋅b^c drugačijim redoslijedom kao u prethodnom slučaju. Ako prvo damo prednost moći, imamo:

Sada, ako prvo izvedemo množenje, a zatim stepen, imali bismo:

Koristeći prednost komutativnosti množenja, možemo pregrupirati desnu stranu jednadžbe kao:

Opet, možemo usporediti rezultate dobivene izvođenjem operacija drugačijim redoslijedom kako bismo shvatili da:

I u ovom slučaju redoslijed kojim se operacije izvode utječe na dobiveni rezultat. Dakle, koji je redoslijed kojim se operacije moraju izvoditi? Hijerarhija operacija utvrđuje da su potencije na višoj razini hijerarhije od množenja, na takav način da potencije imaju prednost u matematičkom iskazu. S druge strane, množenja imaju višu razinu hijerarhije od zbrajanja.

Ali što je s oduzimanjem, dijeljenjem i korijenom? Oduzimanje je operacija suprotna od zbrajanja, kada od broja a oduzmemo broj b, dobivamo drugi broj c tako da je c+b=a. Nešto slično događa se s dijeljenjem i oduzimanjem. Podijelimo li broj a s brojem b i kao rezultat dobijemo broj c, našli smo broj takav da je b⋅c=a. I konačno, izračunavanjem korijena b broja a nalazimo broj c takav da je c^b=a. Ove ekvivalencije stavljaju oduzimanje, dijeljenje i korijen na istu hijerarhijsku razinu kao zbrajanje, množenje i stepen.

Uvježbavanje zagrada i zagrada

Sada, što se događa ako želimo dati prioritet nekim operacijama u matematičkom iskazu bez obzira na njihovu razinu hijerarhije? Da biste to učinili, koriste se zagrade i uglate zagrade. Pretpostavimo da imamo iskaz principa a⋅b+c. S onim što smo prije rekli već znamo da prvo moramo izvesti množenje, a zatim zbrajanje. No, što ako želimo da to ne bude slučaj? Da bismo to učinili, morali bismo koristiti zagrade ili uglate zagrade kako bismo odvojili zbrajanje od množenja i tako dali prednost prvom izračunavanju zbrajanja, to jest: a⋅(b+c). Zbog toga izjave odvojene zagradama i uglatim zagradama imaju najveći prioritet nad svim ostalim operacijama.

Uz sve navedeno, hijerarhija operacija, odnosno redoslijed kojim se one moraju provoditi je sljedeći:

1) Zagrade i zagrade
2) Moći i korijeni
3) Množenje i dijeljenje
4) Zbrajanje i oduzimanje

Reference

h. Behnke, F. Bachman, K. Fladt, W. Suss, H. Gerike, F. Hohenberg, G. Pickert, H. Rau & S. h. Gould. (1983). Osnove matematike: I. svezak. Cambridge, Massachusetts i London: The MIT Press.