Definicija geometrijske progresije

Niz brojeva \({{a}_{1}},~{{a}_{2}},{{a}_{3}},\ldots \); Geometrijskom progresijom naziva se ako je, počevši od drugog, svaki element dobiven množenjem prethodnog s brojem \(r\ne 0\), odnosno ako:
\({{a}_{n+1}}={{a}_{n}}r\)
Gdje:
- Broj \(r\) nazivamo omjerom geometrijske progresije.
- Element \({{a}_{1}}\) naziva se prvim elementom aritmetičke progresije.

Elementi geometrijske progresije mogu se izraziti preko prvog elementa i njegovog omjera, odnosno:
\({{a}_{1}},{{a}_{1}}r,{{a}_{1}}{{r}^{2}},{{a}_{1} }{{r}^{3}}\)

Oni su prva četiri elementa aritmetičke progresije; općenito, \(k-\)th element se izražava na sljedeći način:
\({{a}_{k}}={{a}_{1}}{{r}^{k-1}}\)

Kada \({{a}_{1}}\ne 0,~\) prethodnog izraza dobivamo:

\(\frac{{{a}_{k}}}{{{a}_{l}}}=\frac{{{a}_{1}}{{r}^{k-1}} }{{{a}_{1}}{{r}^{l-1}}}\)

\(\frac{{{a}_{k}}}{{{a}_{l}}}={{r}^{k-l}}\)

Gornji izraz je ekvivalentan sljedećem:

\({{a}_{k}}={{a}_{l}}{{r}^{k-l}}\)

Primjer/vježba 1. Pronađite razliku aritmetičke progresije: \(2,6,18,54,\ldots \) ​​​​i pronađite elemente \({{a}_{20}},~{{a}_{91}} \)

instagram story viewer

Riješenje

Budući da \(\frac{6}{2}=\frac{18}{6}=\frac{54}{18}=3\) možemo zaključiti da je omjer:

\(r=3\)

\({{a}_{20}}=2\lijevo( {{3}^{20-1}} \desno)=2{{\lijevo( 3 \desno)}^{19}}\)

\({{a}_{91}}=2\lijevo( {{3}^{91-1}} \desno)=2{{\lijevo( 3 \desno)}^{90}}\)

Primjer/vježba 2. U aritmetičkoj progresiji imamo: \({{a}_{17}}=20~\)y \({{a}_{20}}=-1280\), odredite omjer geometrijske progresije i napišite prvih 5 elemenata.

Riješenje

Nošenje

\(\frac{{{a}_{k}}}{{{a}_{l}}}={{r}^{k-l}}\)

\(\frac{{{y}_{20}}}{{{y}_{17}}}={{r}^{20-17}}\)

\(\frac{-1280}{20}={{r}^{3}}\)

\(-64={{r}^{3}}\)

\(\sqrt[3]{-64}=\sqrt[3]{{{r}^{3}}}\)

\(-4=r\)

Pronaći prvih 5 elemenata aritmetičke progresije; izračunat ćemo \({{a}_{1}}\):

\({{a}_{k}}={{a}_{1}}{{r}^{k-1}}\)

\({{a}_{17}}={{a}_{1}}{{\left( r \right)}^{17-1}}\)

\(20={{a}_{1}}{{\lijevo( -4 \desno)}^{16}}\)

\(\frac{20}{{{4}^{16}}}={{a}_{1}}\)

\(\frac{5\lijevo( 4 \desno)}{{{4}^{16}}}={{a}_{1}}\)

\(\frac{5}{{{4}^{15}}}={{a}_{1}}\)

Prvih 5 elemenata geometrijske progresije su:

\(\frac{5}{{{4}^{15}}},~\frac{5}{{{4}^{15}}}\lijevo( -4 \desno),\frac{5} {{{4}^{15}}}{{\lijevo( -4 \right)}^{2}},\frac{5}{{{4}^{15}}}{{\left( -4 \right)}^{3}},\frac{5}{{ {4}^{15}}}{{\lijevo( -4 \desno)}^{4}}\)

\(\frac{5}{{{4}^{15}}},-~\frac{5}{{{4}^{14}}},\frac{5}{{{4}^{ 13}}},-\frac{5}{{{4}^{12}}},\frac{5}{{{4}^{11}}}\)

Primjer/vježba 3. Tanko staklo upija 2% sunčeve svjetlosti koja prolazi kroz njega.

do. Koliki će postotak svjetlosti proći kroz 10 tih tankih stakala?

b. Koliki će postotak svjetlosti proći kroz 20 tih tankih stakala?

c. Odredite postotak svjetlosti koji prolazi kroz \(n\) tankih stakala istih karakteristika, postavljenih uzastopno.

Riješenje

S 1 ćemo prikazati ukupnu svjetlost; apsorpcijom 2% svjetlosti, tada 98% svjetlosti prolazi kroz staklo.

Predstavit ćemo s \({{a}_{n}}\) postotak svjetlosti koji prolazi kroz staklo \(n\) .

\({{a}_{1}}=0,98,~{{a}_{2}}=0,98\lijevo( 0,98 \desno),~{{a}_{3}}={{\lijevo( 0,98 \desno)}^{2}}\lijevo( 0,98 \desno),\)

Općenito \({{a}_{n}}={{\lijevo( 0,98 \desno)}^{n}}\)

do. \({{a}_{10}}={{\lijevo( 0,98 \desno)}^{10}}=0,81707\); što nam govori da nakon stakla 10 prolazi 81,707% svjetlosti

b. \({{a}_{20}}={{\lijevo( 0,98 \desno)}^{20}}=~0,66761\); što nam govori da nakon stakla 20 prolazi 66,761%

Zbroj prvih \(n\) elemenata geometrijske progresije

S obzirom na geometrijsku progresiju \({{a}_{1}},{{a}_{1}}r,{{a}_{1}}{{r}^{2}},{{a} 1}}{{r}^{3}}\)….

Kada je \(r\ne 1\) zbroj prvih \(n\) elemenata, zbroj:

\({{S}_{n}}={{a}_{1}}+{{a}_{1}}r+{{a}_{1}}{{r}^{2}} +{{a}_{1}}{{r}^{3}}+\ldots +{{a}_{1}}{{r}^{n-1}}\)

Može se izračunati s

\({{S}_{n}}={{a}_{1}}\frac{\lijevo( 1-{{r}^{n}} \desno)}{1-r},~r \n1\)

Primjer/vježba 4. Iz primjera 2 izračunajte \({{S}_{33}}\).

Riješenje

U ovom slučaju \({{a}_{1}}=\frac{5}{{{4}^{15}}}\) i \(r=-4\)

primjenom

\({{S}_{n}}={{a}_{1}}\frac{\lijevo( 1-{{r}^{n}} \desno)}{1-r}\)

\({{S}_{22}}=\frac{5}{{{4}^{15}}}\frac{1-{{\lijevo( -4 \desno)}^{22}}} {1-\lijevo( -4 \desno)}\)

\({{S}_{22}}=\frac{5}{{{4}^{15}}}\frac{1-{{\lijevo( -4 \desno)}^{22}}} {5}\)

\({{S}_{22}}=\frac{1-{{\left( 4 \right)}^{22}}}{{{4}^{15}}}\)

\({{S}_{22}}=\frac{1}{{{4}^{15}}}-\frac{{{\left( 4 \right)}^{22}}}{{ {4}^{15}}}\)

\({{S}_{22}}=\frac{1}{{{4}^{15}}}-{{4}^{7}}\)

Primjer/vježba 5. Pretpostavimo da osoba postavi fotografiju svog ljubimca i podijeli je s 3 svoja prijatelja na internetskoj društvenoj mreži, a za sat vremena svaki njih, podijeli fotografiju s još troje ljudi, a zatim potonji, za sat vremena, svaki od njih podijeli fotografiju s još 3 osobe narod; I tako to ide dalje; svaka osoba koja primi fotografiju podijeli je s još 3 osobe unutar sat vremena. Za 15 sati, koliko ljudi već ima fotografiju?

Riješenje

Sljedeća tablica prikazuje prve izračune
Vrijeme Ljudi koji primaju fotografiju Ljudi koji imaju fotografiju
1 3 1+3=4
2 (3)(3)=32=9 4+9=13
3 32(3)= 33=27 13+27=40

Broj ljudi koji prime fotografiju u satu \(n\) jednak je: \({{3}^{n}}\)

Broj ljudi koji već imaju fotografiju u satu jednak je:

\(3+{{3}^{2}}+{{3}^{3}}+\ltočke +{{3}^{n}}\)

primjenom

\({{S}_{n}}={{a}_{1}}\frac{\lijevo( 1-{{r}^{n}} \desno)}{1-r}\)

Uz \({{a}_{1}}=3,\) \(r=3\) i \(n=15\)

pri čemu:

\({{S}_{n}}=\frac{\lijevo( 1-{{3}^{15}} \desno)}{1-3}=7174453\)

geometrijska sredstva

Dana su dva broja \(a~\) i \(b,\) brojevi \({{a}_{2}},{{a}_{3}},\ldots ,{{a}_{k +1}}\) nazivaju se \(k\) geometrijske sredine brojeva \(a~\) i \(b\); ako je niz \(a,{{a}_{2}},{{a}_{3}},\ldots ,{{a}_{k+1}},b\) geometrijska progresija.

Da bismo znali vrijednosti \(k\) geometrijskih sredina brojeva \(a~\) i \(b\), dovoljno je znati omjer aritmetičke progresije, za to se mora uzeti u obzir sljedeće:

\(a={{a}_{1}},{{a}_{2}},{{a}_{3}},\ldots ,{{a}_{k+1}},{ {a}_{k+2}}=b,\)

Iz navedenog uspostavljamo odnos:

\(b=a{{r}^{k+1}}\)

Rješavajući za \(d\), dobivamo:

\(b=a{{r}^{k+1}}\)

\(\frac{b}{a}={{r}^{k+1}}\)

\(r=\sqrt[k+1]{\frac{b}{a}}\)

Primjer/vježba 6. Nađite 2 geometrijske sredine između brojeva -15 i 1875.

Riješenje

Prilikom prijave

\(r=\sqrt[k+1]{\frac{b}{a}}\)

uz \(b=375,~a=-15\) i \(k=2~\):

\(r=\sqrt[2+1]{\frac{1875}{-15}}\)

\(r=\sqrt[3]{-125}=-5\)

3 geometrijske sredine su:

\(75,-375\)

Primjer/vježba 7. Osoba je uložila novac i primala kamatu svaki mjesec tijekom 6 mjeseci, a njen kapital se povećao za 10%. Pod pretpostavkom da se stopa nije promijenila, kolika je bila mjesečna kamatna stopa?

Riješenje

Neka \(C\) bude uloženi kapital; konačni kapital je \(1.1C\); Da bismo riješili problem moramo postaviti 5 geometrijskih sredina, primjenom formule:

\(r=\sqrt[k+1]{\frac{b}{a}}\)

Uz \(k=5,~b=1.1C\) i \(a=C.\)

\(r=\sqrt[5+1]{\frac{1,1C}{C}}=\sqrt[6]{1,1}=1,016\)

Primljena mjesečna stopa bila je \(1,6%\)