Definicija mješovitih, jediničnih, homogenih i heterogenih frakcija

Mješoviti. Mješoviti razlomak sastoji se od cijelog broja većeg ili jednakog jedan i pravog razlomka, općeg načina pisanja razlomka mješoviti je oblika: \(a + \frac{c}{d},\) čije je kompaktno pisanje: \(a\frac{c}{d},\;\), odnosno: \(a\ razlomak{c}{d} = a + \frac{c}{d}\). Broj \(a\) naziva se cijelim dijelom mješovitog razlomka, a \(\frac{c}{d}\) njegovim razlomačkim dijelom.

homogena. Ako dva ili više razlomaka imaju isti nazivnik, kaže se da su slični razlomcima. Na primjer, razlomci \(\frac{3}{4},\) \(\frac{7}{4},\) \(\frac{1}{4},\) \(\frac{{ 10}}{4}\) su homogeni jer svi imaju isti nazivnik, koji je u ovom slučaju \(4\). Dok su razlomci \(\frac{3}{4},\) \(\frac{7}{4},\) \(\frac{1}{4},\) \(\frac{5} { 2}\) nisu homogeni razlomci budući da je nazivnik \(\frac{5}{2}\) \(2\), a nazivnik ostalih razlomaka je \(4\). Jedna od prednosti homogenih razlomaka je što su aritmetičke operacije zbrajanja i oduzimanja funkcija vrlo jednostavne.

heterogena. Ako dva ili više razlomaka, barem dva od njih nemaju isti nazivnik, tada se za te razlomke kaže da su heterogeni razlomci. Sljedeći razlomci su heterogeni: \(\frac{3}{5},\;\) \(\frac{7}{5}\), \(\frac{1}{4},\) \(\ frac{2}{5}\).

jedinstveni. Razlomak se identificira kao jedinica ako je brojnik jednak 1 \(1,\) \(2\). Sljedeći razlomci primjeri su jediničnih razlomaka: \(\frac{1}{2},\;\) \(\frac{1}{3}\), \(\frac{1}{4}\), \(\;\frac{1}{5}\).

Glagolsko izražavanje mješovitog razlomka

mješovita frakcija	Verbalno izražavanje
\(3\frac{1}{2} = \)	Tri i pol cijele
\(5\frac{3}{4} = \)	Pet cijelih brojeva i tri četvrtine
\(10\frac{1}{8} = \)	Deset cijelih brojeva s osminom

Pretvaranje mješovitog razlomka u nepravi razlomak

Mješoviti razlomci korisni su za procjenu, na primjer, lako je utvrditi:

\(5\frac{1}{{20}} > 4\frac{9}{{10}}\)

Međutim, mješoviti razlomci obično nisu praktični za izvođenje operacija kao što su množenje i dijeljenje, zbog čega je važno kako pretvoriti u mješoviti razlomak.

Prethodna slika predstavlja mješoviti razlomak \(2\frac{3}{4}\), sada je svaki cijeli broj sastavljen od četiri četvrtine, dakle u 2 cijela broja ima 8 četvrtina i njima moramo dodati ostale 3 četvrtine, tj. reći:

\(2\frac{3}{4} = \frac{{2\lijevo( 4 \desno) + 3}}{4} = \frac{{11}}{4}\)

Općenito:

\(a\frac{c}{d} = \frac{{ad + c}}{d}\)

Sljedeća tablica prikazuje druge primjere.

mješovita frakcija	Operacije koje treba izvesti	nepravi razlomak
\(3\frac{1}{2}\)	\(\frac{{3\lijevo( 2 \desno) + 1}}{2}\)	\(\frac{7}{2}\)
\(5\frac{3}{4}\)	\(\frac{{5\lijevo( 4 \desno) + 3}}{4}\)	\(\frac{{23}}{4}\)
\(10\frac{1}{8}\)	\(\frac{{10\lijevo( 8 \desno) + 1}}{8}\)	\(\frac{{{81}}{8}\)

Pretvaranje nepravog razlomka u mješoviti razlomak

Da biste nepravi razlomak pretvorili u mješoviti razlomak, izračunajte kvocijent i ostatak dijeljenja brojnika s nazivnikom. Dobiveni kvocijent bit će cijeli broj mješovitog razlomka, a pravi razlomak \(\frac{{{\rm{ostatak}}}}{{{\rm{denominator}}}}\)

Primjer

Za pretvaranje \(\frac{{25}}{7}\) u mješoviti razlomak:

Za izvršene operacije dobivamo:

Tablica u nastavku prikazuje druge primjere.

nepravi razlomak	Izračunavanje količnika i ostatka	nepravi razlomak
\(\frac{{25}}{7}\)		\(3\frac{4}{7}\)
\(\frac{{35}}{8}\)		\(4\frac{3}{8}\)
\(\frac{{46}}{5}\)		\(9\frac{1}{5}\)

Svakodnevna uporaba mješovitih i pravih razlomaka

U svakodnevnom životu moramo mjeriti, kupovati, uspoređivati ​​cijene, nuditi popuste; za mjerenje potrebne su nam mjerne jedinice, a oni ne nude uvijek cijele jedinice proizvoda i ne plaćate uvijek cijelom količinom kovanica po jedinici.

Na primjer, uobičajeno je da se određene tekućine prodaju u spremnicima čiji je sadržaj \(\frac{3}{4}\;\) od litre, pola galona ili galona i pol. Možda kada idete kupiti cijev tražite \(\frac{1}{8},\;\) \(\frac{7}{8},{\rm{\;}}\) \({ \rm {3}}\frac{1}{2}\) i ne morate reći mjernu jedinicu, što je u ovom slučaju inč.

Osnovne operacije sličnih razlomaka

Zbroj \(\frac{3}{4}\) i \(\frac{2}{4}\), prikazan je u sljedećoj shemi:

\(\frac{3}{4} + \frac{2}{4} = \frac{{3 + 2}}{4} = \frac{5}{4}\)

Dok se oduzimanje vrši na sljedeći način:

\(\frac{3}{4} – \frac{2}{4} = \frac{{{3 – 2}}{4} = \frac{1}{4}\)

Općenito, za homogene frakcije:

\(\frac{a}{d} + \frac{b}{d} = \frac{{a + b}}{d}\)

\(\frac{a}{d} – \frac{b}{d} = \frac{{{a – b}}{d}\)

Egipćani i jedinični razlomci

Egipatska kultura postigla je izuzetan tehnološki razvoj, a to se ne bi dogodilo bez razvoja koji je bio ravan matematičkom. Postoje povijesni ostaci u kojima možete pronaći zapise o korištenju razlomaka u egipatskoj kulturi, s posebnošću da su koristili samo jedinstvene razlomke.

Postoji nekoliko slučajeva u kojima je zapisivanje razlomka kao zbroja jediničnih razlomaka jednostavno

\(\frac{3}{n} = \frac{1}{n} + \frac{1}{{2n}}\)

U slučaju da je \(n = 2q + 1\), to jest neparno, imamo da je:

\(\frac{2}{n} = \frac{1}{{q + 1}} + \frac{1}{{n\lijevo( {q + 1} \desno)}}\)

To ćemo ilustrirati s dva primjera.

Za izražavanje \(\frac{2}{{11}}\); u ovom slučaju imamo \(11 = 2\lijevo( 5 \desno) + 1\), dakle:

\(\frac{2}{{11}} = \frac{1}{6} + \frac{1}{{11\lijevo( 6 \desno)}},\)

to jest,

\(\frac{2}{{11}} = \frac{1}{6} + \frac{1}{{66}}\)

Za izražavanje \(\frac{2}{{17}}\); u ovom slučaju imamo \(17 = 2\lijevo( 8 \desno) + 1\),

\(\frac{2}{{15}} = \frac{1}{8} + \frac{1}{{120}}\)

Zatim prikazujemo neke razlomke kao zbroj jediničnih razlomaka,

Frakcija	Izraz kao zbroj jediničnih razlomaka	Frakcija	Izraz kao zbroj jediničnih razlomaka
\(\frac{3}{n}\)	\(\frac{1}{n} + \frac{1}{{2n}}\)	\(\frac{5}{8}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{8}\)
\(\frac{2}{3}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{6}\)	\(\frac{7}{8}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8}\)
\(\frac{3}{4}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{4}\)	\(\frac{2}{9}\)	\(\frac{1}{5} + \frac{1}{{45}}\)
\(\frac{3}{5}\)	\(\frac{1}{5} + \frac{1}{{10}}\)	\(\frac{5}{9}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{{18}}\)
\(\frac{4}{5}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{{20}}\)	\(\frac{7}{9}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{{36}}\)
\(\frac{5}{6}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{3}\)	\(\frac{8}{9}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{{18}}\)
\(\frac{3}{7}\)	\(\frac{1}{3} + \frac{1}{{11}} + \frac{1}{{231}}\)	\(\frac{4}{9}\)	\(\frac{1}{3} + \frac{1}{9}\)
\(\frac{4}{7}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{{14}}\)	\(\frac{5}{9}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{{18}}\)
\(\frac{5}{7}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{5} + \frac{1}{{10}}\)	\(\frac{5}{9}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{{18}}\)
\(\frac{6}{7}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{{42}}\)	\(\frac{{19}}{{20}}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5}\)

Pomoću prethodne tablice možemo zbrajati razlomke i izražavati takve zbrojeve; kao zbroj jediničnih razlomaka.

Primjeri heterogenih frakcija

Primjer 1

\(\frac{2}{5} + \frac{4}{9} = \lijevo( {\frac{1}{3} + \frac{1}{{15}}} \desno) + \lijevo ( {\frac{1}{3} + \frac{1}{9}} \desno)\)

\(\frac{2}{5} + \frac{4}{9} = \frac{2}{3} + \frac{1}{{15}} + \frac{1}{9}\)

\(\frac{2}{5} + \frac{4}{9} = \lijevo( {\frac{1}{2} + \frac{1}{6}} \desno) + \frac{1 }{{15}} + \frac{1}{9}\)

Primjer 2

\(\frac{4}{7} + \frac{5}{9} = \lijevo( {\frac{1}{2} + \frac{1}{{14}}} \desno) + \lijevo ( {\frac{1}{2} + \frac{1}{{18}}} \desno)\)

\(\frac{2}{7} + \frac{5}{9} = 1 + \frac{1}{{14}} + \frac{1}{{18}}\)

Konačno, isti razlomak možemo izraziti kao zbroj jediničnih razlomaka na drugačiji način kao:

\(\frac{8}{{63}} = \frac{1}{8} + \frac{1}{{504}}\)

\(\frac{8}{{63}} = \frac{1}{9} + \frac{1}{{63}}\)

\(\frac{8}{{63}} = \frac{1}{{14}} + \frac{1}{{18}}\)