Definicija ekvivalentnih razlomaka

Za dva ili više razlomaka kaže se da su ekvivalentni ako predstavljaju istu količinu, to jest ako
\(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\;,\)
kaže se da su razlomci \(\frac{a}{b}\) i \(\frac{c}{d}\) ekvivalentni.

Ekvivalentni razlomci: Grafički prikaz

Razmotrimo kvadrat koji ćemo podijeliti na četvrtine, trećine, osmine i dvanaestine.

Iz prethodnih slika uočavamo sljedeće ekvivalencije:

Kako dobiti jedan ili više ekvivalentnih razlomaka?

Postoje dvije osnovne metode za dobivanje razlomka koji je ekvivalentan danom razlomku.

1. Pomnožite brojnik i nazivnik istim pozitivnim brojem.

Primjeri:

\(\frac{3}{4} = \frac{{3\lijevo( 5 \desno)}}{{4\lijevo( 5 \desno)}} = \frac{{15}}{{20}} \)

\(\frac{3}{4} = \frac{{3\lijevo( 7 \desno)}}{{4\lijevo( 7 \desno)}} = \frac{{21}}{{28}} \)

\(\frac{5}{8} = \frac{{5\lijevo( 6 \desno)}}{{8\lijevo( 6 \desno)}} = \frac{{30}}{{56}} \)

2. Podijeljen je istim pozitivnim zajedničkim djeliteljem brojnika i nazivnika.

\(\frac{{52}}{{56}} = \frac{{{52 ​​\div 4}}{{56 \div 4}} = \frac{{13}}{{14}}.\)

\(\frac{{80}}{{140}} = \frac{{{80 \div 20}}{{140 \div 20}} = \frac{4}{7}.\)

\(\frac{{21}}{{57}} = \frac{{{21 \div 3}}{{57 \div 3}} = \frac{7}{{19}}\)

Kada su u razlomku i brojnik i nazivnik podijeljeni istim zajedničkim djeliteljem koji nije 1, kaže se da je razlomak smanjen.

nesvodivi razlomci

Razlomak se naziva nesvodivim razlomkom ako je najveći zajednički djelitelj brojnika i nazivnika jednak 1.

Ako je \(gcd\left( {a, b} \right) = 1,\) razlomak \(\frac{a}{b}\) nazivamo nesvodivim razlomkom.

Dan je razlomak \(\frac{a}{b}\) da se dobije razlomak koji je ekvivalentan ovom razlomku i koji je također nesvodivi razlomak brojnik i brojnik podijeljeni su najvećim zajedničkim djeliteljem od \(a\;\) i od \(b.\)

Sljedeća tablica prikazuje primjere nesvodivih i svodivih razlomaka; ako je reducibilan, pokazuje kako dobiti nesvodivi ekvivalentni razlomak.

Frakcija	Najveći zajednički djelitelj	Nesvodivo	nesvodivi ekvivalentni razlomak
\(\frac{{14}}{{42}}\)	7	Ne	\(\frac{{14}}{{42}} = \frac{{{14 \div 7}}{{42 \div 7}} = \frac{2}{7}\)
\(\frac{3}{{25}}\)	1	Da	\(\frac{3}{{25}}\)
\(\frac{{21}}{{201}}\)	3	Ne	\(\frac{{21 \div 3}}{{20\;1 \div 3}} = \frac{7}{{67}}\)
\(\frac{5}{{24}}\)	1	Da	\(\frac{5}{{24}}\)
\(\frac{{72}}{{1125}}\)	9	Ne	\(\frac{{72}}{{1125}} = \frac{{72 \div 9}}{{1125 \div 9}} = \frac{8}{{125}}\)

Ekvivalentni razlomci: verbalni prikaz.

Sljedeća tablica prikazuje dva različita načina za prikaz ekvivalentnih informacija, s numeričke točke gledišta.

Verbalna fraza	Ekvivalentni izraz (numerički)	Argumentacija
Godine 1930. u Meksiku je 4 od 25 ljudi govorilo materinjim jezikom.	Godine 1930. u Meksiku je 16 ljudi od 100 ljudi govorilo materinjim jezikom.	Oba podatka su pomnožena sa 4
Godine 1960. u Meksiku je 104 ljudi od svakih 1000 ljudi govorilo materinjim jezikom.	Godine 1960. u Meksiku je 13 od 125 ljudi govorilo materinjim jezikom	Oba podatka podijeljena su s 8.

Ekvivalentni razlomci: decimalni prikaz

Donja tablica prikazuje različite decimalne brojeve i ekvivalentne razlomke koji ih predstavljaju.

Decimalni broj	Frakcija	ekvivalentni razlomak	Operacije
\(0.25\)	0,25=\(\frac{{25}}{{100}}\)	0,25=\(\frac{1}{4}\)	\(25 \div 25 = 1\) \(100 \div 25 = \)
\(1.4\)	\(1,4 = 1 + \frac{4}{{10}} = \frac{{14}}{{10}}\)	\(1,4 = \frac{7}{5}\)	\(14 \div 2 = 1\) \(10 \div 2 = 5\)
\(0.145\)	\(0,145 = \frac{{145}}{{1000}}\)	\(0,145 = \frac{{{29}}{{200}}\)	\(145 \div 5 = 29\) \(1000 \div 5 = 200\)

Ekvivalentni razlomci: prikaz u postocima

Donja tablica prikazuje različite decimalne brojeve i ekvivalentne razlomke koji ih predstavljaju.

Decimalni broj	Frakcija	ekvivalentni razlomak	Operacije
20%	\(\frac{{20}}{{100}}\)	\(\frac{1}{5}\)	\(20 \div 20 = 1\) \(100 \div 20 = 5\)
150%	\(\frac{{150}}{{100}}\)	\(\frac{3}{2}\)	\(150 \div 50 = 3\) \(100 \div 50 = 2\)
55%	\(\frac{{{55}}{{100}}\)	\(\frac{{11}}{{20}}\)	\(55 \div 11 = 5\) \(100 \div 5 = 20\)

Ekvivalentni razlomci: od heterogenih do homogenih

Zadana su dva heterogena razlomka \(\frac{a}{b}\) i \(\frac{c}{d}\), možemo pronaći dva razlomka homogeni na takav način da je jedan razlomak ekvivalentan razlomku \(\frac{a}{b}\;\), a drugi \(\frac{c}{d}\).

Zatim ćemo pokazati dva postupka za izvođenje onoga što je spomenuto u prethodnom paragrafu.

Promatrajmo:

\(\frac{a}{b} = \frac{{a\lijevo( d \desno)}}{{b\lijevo( d \desno)}}\)

\(\frac{c}{d} = {\rm{\;}}\frac{{{c\lijevo( b \desno)}}{{d\lijevo( b \desno)}}\)

Sljedeća tablica prikazuje neke primjere.

F. heterogena	Operacije	F. homogena
\(\frac{4}{5}\), \(\frac{2}{3}\)	\(\frac{{4\lijevo( 3 \desno)}}{{5\lijevo( 3 \desno)}} = \frac{{12}}{{15}}\) \(\frac{{2\lijevo( 5 \desno)}}{{3\lijevo( 5 \desno)}} = \frac{{10}}{{15}}\)	\(\frac{{12}}{{15}}\), \(\frac{{10}}{{15}}\)
\(\frac{7}{{12}}\), \(\frac{4}{{18}}\)	\(\frac{{7\lijevo( {18} \desno)}}{{12\lijevo( {18} \desno)}} = \frac{{126}}{{216}}\) \(\frac{{4\lijevo( {12} \desno)}}{{18\lijevo( {12} \desno)}} = \frac{{48}}{{216}}\)	\(\frac{{126}}{{216}},\) \(\frac{{{48}}{{216}}\)
\(\frac{7}{{10}}\), \(\frac{3}{{14}}\), \(\frac{5}{4}\)	\(\frac{{7\lijevo( {14} \desno)\lijevo( 4 \desno)}}{{10\lijevo( {14} \desno) 4}} = \frac{{392}}{{ 560}}\) \(\frac{{3\lijevo( {10} \desno)\lijevo( 4 \desno)}}{{14\lijevo( {10} \desno)\lijevo( 4 \desno)}} = \frac{ {120}}{{560}}\) \(\frac{{5\lijevo( {10} \desno)\lijevo( {14} \desno)}}{{4\lijevo( {10} \desno)\lijevo( {14} \desno)}} = \frac{{700}}{{560}}\)	\(\frac{{392}}{{560}}\), \(\frac{{120}}{{560}},\) \(\frac{{{700}}{{560}}\)

Nedostatak ove metode je da se u procesu mogu proizvesti vrlo veliki brojevi; U mnogim slučajevima to je moguće izbjeći ako se izračuna najmanji zajednički višekratnik nazivnika, a druga metoda se temelji na izračunu najmanjeg zajedničkog višekratnika.

Najmanji zajednički višekratnik u računanju razlomaka

Zatim, kroz dva primjera, kako dobiti homogene razlomke koristeći najmanji zajednički višekratnik nazivnika, koji će biti zajednički nazivnik uključenih razlomaka.

Razmotrite razlomke: \(\frac{7}{{12}}\), \(\frac{4}{{18}}.\)

Najmanji zajednički višekratnik \(12\) i \(18\) je \(36\); sada

\(36 \div 12 = 3\)

\(36 \div 18 = 2\)

\(\frac{7}{{12}} = \frac{{7\lijevo( 3 \desno)}}{{12\lijevo( 3 \desno)}} = \frac{{21}}{{36 }},\)

\(\frac{4}{{18}} = \frac{{4\lijevo( 2 \desno)}}{{18\lijevo( 2 \desno)}} = \frac{8}{{36}} \)

Sada razmotrite razlomke: \(\frac{7}{{10}}\), \(\frac{3}{{14}}\), \(\frac{5}{4}\)

Najmanji zajednički višekratnik \(10\), \(14\) i \(3\) je \(140\); sada

\(140 \div 10 = 14\)

\(140 \div 14 = 10\)

\(140 \div 4 = 35\)

\(\frac{7}{{10}} = \frac{{7\lijevo( {14} \desno)}}{{10\lijevo( {14} \desno)}} = \frac{{98} }{{140}},\)

\(\frac{3}{{14}} = \frac{{3\lijevo( {10} \desno)}}{{14\lijevo( {10} \desno)}} = \frac{{30} }{{140}}\)

\(\frac{5}{4} = \frac{{5\lijevo( {35} \desno)}}{{4\lijevo( {35} \desno)}} = \frac{{175}}{ {140}}\)

Iz prethodnih slika uočavamo sljedeću činjenicu:

\(\frac{1}{4} = \frac{3}{{12}}\)

Evo i drugih primjera.

F. heterogena	min zajednički nazivnici	Operacije	F. homogena
\(\frac{1}{{14}}\) \(\frac{1}{{18}}\)	126	\(126 \div 14 = 9\) \(\frac{1}{{14}} = \frac{{1\lijevo( 9 \desno)}}{{14\lijevo( 9 \desno)}} = \frac{9}{{126}} \) \(126 \div 18 = 7\) \(\frac{1}{{18}} = \frac{{1\lijevo( 7 \desno)}}{{18\lijevo( 7 \desno)}} = \frac{7}{{126}} \)	\(\frac{9}{{126}}\), \(\frac{7}{{126}}\)
\(\frac{5}{6}\) \(\frac{2}{{15}},\) \(\frac{4}{9}\)	90	\(90 \div 6 = 15\) \(\frac{5}{6} = \frac{{5\lijevo( {15} \desno)}}{{6\lijevo( {15} \desno)}} = \frac{{75}}{ {90}}\) \(90 \div 15 = 6\) \(\frac{2}{{15}} = \frac{{2\lijevo( {15} \desno)}}{{15\lijevo( 6 \desno)}} = \frac{{30}}{ {90}}\) \(90 \div 9 = 10\) \(\frac{4}{9} = \frac{{4\lijevo( {10} \desno)}}{{9\lijevo( {10} \desno)}} = \frac{{40}}{ {90}}\)	\(\frac{{75}}{{90}}\), \(\frac{{{30}}{{90}}\), \(\frac{{{40}}{{90}}\)