Definicija kvadratne/kvadratne jednadžbe

Jednadžba drugog stupnja ili, ako to nije moguće, kvadratna jednadžba, s obzirom na nepoznanicu, izražava se u obliku:
\(a{x^2} + bx + c = 0\)
Gdje je nepoznanica \(x\), sve dok su \(a, b\) i c realne konstante, s \(a \ne 0.\)

Postoji nekoliko tehnika za rješavanje kvadratnih jednadžbi, uključujući faktorizaciju, u kojem slučaju moramo uzeti u obzir sljedeće svojstvo prema rezoluciji:

Ako je umnožak dvaju brojeva nula, tada postoje dvije mogućnosti:

1. Oba su jednaka nuli.
2. Ako jedan nije nula, onda je drugi nula

Gore navedeno se može izraziti na sljedeći način:
Ako je \(pq = 0\), tada je \(p = 0\) ili \(q = 0\).

Praktični primjer 1: riješite jednadžbu \({x^2} – 8\)=0

\({x^2} – 8 = 0\)	Početna situacija
\({x^2} – 8 + 8 = 8\)	Dodajte 8 objema stranama jednadžbe da biste riješili \({x^2}\)
\(\sqrt {{x^2}} = \sqrt {{2^3}} = \sqrt {{2^2}2} = \sqrt {{2^2}} \sqrt 2 = 2\sqrt 2 \)	Kvadratni korijen se dobiva traženjem izolacije \(x.\) 8 je rastavljen na faktore i primijenjena su svojstva radikala i potencije.
\(\lijevo| x \desno| = 2\sqrt 2 \)	Dobivate korijen \({x^2}\)
\(x = \pm 2\sqrt 2 \)

Rješenja \({x^2} – 8\)=0 su:
\(x = – 2\sqrt 2 ,\;2\sqrt 2 \)

Praktični primjer 2: Riješite jednadžbu \({x^2} – 144\)=0

\({x^2} – 144 = 0\)	Početna situacija
\({x^2} – {12^2} = 0\)	Kvadratni korijen od 144 je 12. Identificira se razlika kvadrata.
\(\lijevo( {x + 12} \desno)\lijevo( {x – 12} \desno) = 0\)	Razlika kvadrata je faktorizirana
\(x + 12 = 0\) \(x = – 12\)	Razmotrimo mogućnost da je faktor \(x + 12\) jednak 0. Dobivena jednadžba je riješena.
\(x – 12 = 0\) \(x = 12\)	Razmotrimo mogućnost da je faktor \(x – 12\) jednak 0. Dobivena jednadžba je riješena.

Rješenja jednadžbe \({x^2} – 144 = 0\) su

\(x = – 12,\;12\)

Praktični primjer 3: riješite jednadžbu \({x^2} + 3x = 0\)

\({x^2} + 3x = 0\)	Početna situacija
\(x\lijevo( {x + 3} \desno) = 0\)	\(x\) se identificira kao zajednički faktor i faktorizacija se izvodi.
\(x = 0\)	Razmotrimo mogućnost da je faktor \(x\) jednak 0.
\(x + 3 = 0\) \(x = – 3\)	Razmotrimo mogućnost da je faktor \(x – 12\) jednak 0. Dobivena jednadžba je riješena.

Rješenja jednadžbe \({x^2} + 3x = 0\), su:
\(x = – 3,0\)

Praktični primjer 4: Riješite jednadžbu \({x^2} – 14x + 49 = 0\)

\({x^2} – 14x + 49 = 0\)	Početna situacija
\({x^2} – 14x + {7^2} = 0\)	Kvadratni korijen iz 49 je 7 i \(2x\lijevo( 7 \desno) = 14x.\) Identificiran je trinom savršenog kvadrata.
\({\lijevo( {x – 7} \desno)^2} = 0\)	Trinom savršenog kvadrata izražava se kao binom na kvadrat.
\(x – 7 = 0\) \(x = 7\)

Rješenje \({x^2} – 14x + 49 = 0\) je:
\(x = 7\)

Praktični primjer 5: Riješite jednadžbu \(10{x^2} – 23x + 12 = 0\)

\(10{x^2} – 23x + 12 = 0\)	Početna situacija
\(10{x^2} – 23x + 12 = 0\)	Umnožak \(\lijevo( {10} \desno)\lijevo( {12} \desno) = 120 = \lijevo( { – 8} \desno)\lijevo( { – 15} \desno)\)
\(\lijevo( {10{x^2} – 8x} \desno) – 15x + 12 = 0\)	Izražava se kao \( – 23x = – 18x – 15\)
\(2x\lijevo( {5x – 4} \desno) – 3\lijevo( {5x – 4} \desno) = 0\)	Identificirajte \(2x\) kao zajednički faktor u prvom pribrojniku i faktorizirajte ga. Odredite \( – 3\) kao zajednički faktor u drugom pribrojniku i rastavite ga na faktore.
\(\lijevo( {5x – 4} \desno)\lijevo( {2x – 3} \desno) = 0\)	Faktoriziraj zajednički faktor \(5x – 4\)
\(5x – 4 = 0\) \(x = \frac{4}{5}\)	Razmatramo mogućnost da faktor \(5x – 12\) bude jednak 0. Dobivena jednadžba je riješena.
\(2x – 3 = 0\) \(x = \frac{3}{2}\)	Razmotrite mogućnost da je faktor \(2x – 3\) jednak 0. Dobivena jednadžba je riješena.

Rješenja za \(10{x^2} – 23x + 12 = 0\) su:
\(x = \frac{4}{5},\;\frac{3}{2}\)

Praktični primjer 6: Riješite jednadžbu \({x^2} + 4x + 1 = 0\)

\({x^2} + 4x + 1 = 0\)	Početna situacija Trinom nije savršen kvadrat
\({x^2} + 4x + 1 – 1 = – 1\)	Dodajte -1 svakoj strani jednadžbe.
\({x^2} + 4x = – 1\)	Budući da \(\frac{1}{2}\left( 4 \desno) = 2\) dodavanjem \({2^2}\), dobivamo potpuni kvadrat.
\({x^2} + 4x + 4 = – 1 + 4\)	Dodajte \({2^2}\;\) svakoj strani jednadžbe. Lijeva strana je savršen kvadrat.
\({\lijevo( {x + 2} \desno)^2} = 3\)	Trinom savršenog kvadrata izražava se kao binom na kvadrat.
\(\sqrt {{{\lijevo( {x + 2} \desno)}^2}} = \pm \sqrt 3 \)	Izvadite kvadratni korijen svake strane jednadžbe
\(\lijevo| {x + 2} \desno| = \sqrt 3 \) \(x = – 2 \pm \sqrt 3 \)	Riješite za \(x\).

Rješenja za \({x^2} + 4x + 1 = 0\) su:
\(x = – 2 – \sqrt 3 ,\; – 2 + \sqrt 3 \)

Praktični primjer 7: Riješite jednadžbu \(5{x^2} + 3x – 1 = 0\)

\(5{x^2} + 3x – 1 = 0\)	Početna situacija Trinom nije savršen kvadrat.
\(5{x^2} + 3x – 1 + 1 = 1\)	Dodajte 1 svakoj strani jednadžbe
\(\frac{1}{5}\lijevo( {5{x^2} + 3x} \desno) = \frac{1}{5}\lijevo( 1 \desno)\)	Pomnožite sa svakom stranom jednadžbe tako da koeficijent \({x^2}\) bude jednak 1.
\({x^2} + \frac{3}{5}x = \frac{1}{5}\)	proizvod se distribuira Budući da je \(\frac{1}{2}\left( {\frac{3}{5}} \right) = \frac{3}{{10}}\), dodavanjem \({\left( { \frac{3}{{10}}} \right)^2} = \frac{9}{{100}}\) daje trinom savršenog kvadrata.
\({x^2} + \frac{3}{5}x + \frac{9}{{100}} = \frac{1}{5} + \frac{9}{{100}}\)	Dodajte 3 objema stranama jednadžbe da biste riješili \({\lijevo( {x + 2} \desno)^2}\)
\({\lijevo( {x + \frac{3}{{10}}} \desno)^2}\)=\(\frac{{29}}{{100}}\)	Trinom savršenog kvadrata izražava se kao kubni binom.
\(\sqrt {{{\lijevo( {x + \frac{3}{{10}}} \desno)}^2}} = \sqrt {\frac{{29}}{{100}}} \ )	Izvadite kvadratni korijen svake strane jednadžbe
\(x = – \frac{3}{{10}} \pm \frac{{\sqrt {29} }}{{10}}\)	Riješite za \(x\).

Rješenja \(5{x^2} + 3x – 1 = 0\) su:
\(x = – \frac{{3 + \sqrt {29} }}{{10}},\; – \frac{{3 – \sqrt {29} }}{{10}}\)

Postupak korišten u gornjoj jednadžbi koristit će se za pronalaženje onoga što se zove opća formula za kvadratna rješenja.

Opća formula jednadžbe drugog stupnja.

Opća formula kvadratnih jednadžbi

U ovom odjeljku saznat ćemo kako riješiti, na opći način, kvadratnu jednadžbu

Uz \(a \ne 0\) razmotrimo jednadžbu \(a{x^2} + bx + c = 0\).

\(a{x^2} + bx + c = a\lijevo( {{x^2} + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a}} \desno) = 0\)

Budući da je \(a \ne 0\), dovoljno je riješiti:

\({x^2} + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0\)

\({x^2} + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0\)	Početna situacija
\({x^2} + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} – \frac{c}{a} = – \frac{c}{a}\)	Dodajte \( – \frac{c}{a}\) svakoj strani jednadžbe.
\({x^2} + \frac{b}{a}x = – \frac{c}{a}\)	Budući da je \(\frac{1}{2}\left( {\frac{b}{a}} \right) = \frac{b}{{2a}}\), dodavanjem \({\left( { \frac{b}{{2a}}} \right)^2} = \frac{{{b^2}}}{{4{a^2}}}\) daje trinom savršenog kvadrata.
\({x^2} + \frac{b}{a}x + \frac{{{b^2}}}{{4{a^2}}} = \frac{{{b^2}} }{{4{a^2}}} – \frac{c}{a}\)	Lijeva strana jednadžbe je trinom savršenog kvadrata.
\({\lijevo( {x + \frac{b}{{2a}}} \desno)^2} = \frac{{{b^2} – 4{a^2}c}}{{4{ a^2}}}\)	Trinom savršenog kvadrata izražava se kao binom na kvadrat. Algebarski razlomak je gotov.
\(\sqrt {{{\lijevo( {x + \frac{b}{{2a}}} \desno)}^2}} = \sqrt {\frac{{{b^2} – 4{a^ 2}c}}{{4{a^2}}}} \)	Izvadite kvadratni korijen svake strane jednadžbe.
\(\lijevo| {x + \frac{b}{{2a}}} \desno| = \frac{{\sqrt {{b^2} – 4{a^2}c} }}{{2a} }\)	Primjenjuju se radikalna svojstva.
\(x + \frac{b}{{2a}} = \pm \frac{{\sqrt {{b^2} – 4{a^2}c} }}{{2a}}\)	Primjenjuju se svojstva apsolutne vrijednosti.
\(x + \frac{b}{{2a}} – \frac{b}{{2a}} = \pm \frac{{\sqrt {{b^2} – 4{a^2}c} } }{{2a}} – \frac{b}{{2a}}\)	Svakoj strani jednadžbe dodajte \( – \frac{b}{{2a}}\) da biste riješili \(x\)
\(x = \frac{{ – b \pm \sqrt {{b^2} – 4ac} }}{{2a}}\)	Algebarski razlomak je gotov.

Član \({b^2} – 4{a^2}c\) naziva se diskriminantom kvadratne jednadžbe \(a{x^2} + bx + c = 0\).

Kada je diskriminant gornje jednadžbe negativan, rješenja su kompleksni brojevi i nema pravih rješenja. Složena rješenja neće biti obuhvaćena ovom bilješkom.

Dana je kvadratna jednadžba \(a{x^2} + bx + c = 0\), ako je \({b^2} – 4{a^2}c \ge 0\). Tada su rješenja ove jednadžbe:

\(\alpha = \frac{{ – b + \sqrt {{b^2} – 4ac} }}{{2a}}\)

\(\beta = \frac{{ – b – \sqrt {{b^2} – 4ac} }}{{2a}}\)

Izraz:

\(x = \frac{{ – b \pm \sqrt {{b^2} – 4ac} }}{{2a}}\)

Naziva se općom formulom kvadratne jednadžbe.

Praktični primjer 8: riješite jednadžbu \(3{x^2} – 2x – 5 = 0\)

\(do\)	\(b\)	\(c\)	Diskriminirajući	stvarna rješenja
\(3\)	\( – 2\)	\( – 5\)	\({2^2} – 4\lijevo( 3 \desno)\lijevo( { – 5} \desno) = 4 + 60 = 64\)	\(x = \frac{{ – \lijevo( { – 2} \desno) \pm \sqrt {64} }}{{2\lijevo( 3 \desno)}} = \frac{{2 \pm 8} }{6}\)

Rješenja jednadžbe su:
\(\alpha = – 1,\;\beta = \frac{5}{3}\)

Praktični primjer 9: Riješite jednadžbu \( – 4{x^2} + 3x + 9 = 0\)

\(do\)	\(b\)	\(c\)	Diskriminirajući	stvarna rješenja
\( – 4\)	3	9	\({3^2} – 4\lijevo( { – 4} \desno)\lijevo( 9 \desno) = 9 + 144 = 153\) \(153 = 9\lijevo( {17} \desno)\)	\(x = \frac{{ – 3 \pm \sqrt {9\lijevo( {17} \desno)} }}{{2\lijevo( { – 4} \desno)}} = \frac{{ – 3 \pm 3\sqrt {17} }}{{ – 8}}\)

Rješenja jednadžbe su:
\(\alpha = \frac{{3 – 3\sqrt {17} }}{8},\;\beta = \frac{{{3 + 3\sqrt {17} }}{8}\)

Praktični primjer 10: Riješite jednadžbu \(5{x^2} – 4x + 1 = 0\)

\(do\)	\(b\)	\(c\)	Diskriminirajući	stvarna rješenja
\(5\)	-4	\(1\)	\({\lijevo( { – 4} \desno)^2} – 4\lijevo( 5 \desno)\lijevo( 1 \desno) = 16 – 20 = – 4\)	Nema

Razne jednadžbe

Postoje nekvadratne jednadžbe koje se mogu pretvoriti u kvadratnu jednadžbu. Vidjet ćemo dva slučaja.

Praktični primjer 11: Pronalaženje pravih rješenja jednadžbe \(6x = 5 – 13\sqrt x \)

Promjenom varijable \(y = \sqrt x \), prethodna jednadžba ostaje kao:

\(6{y^2} = 5 – 13y\)

\(6{y^2} + 13y – 5 = 0\)

\(6{y^2} + 15y – 2y – 5 = 0\)

\(3y\lijevo( {2y + 5} \desno) – \lijevo( {2y + 5} \desno) = 0\)

\(\lijevo( {2y + 5} \desno)\lijevo( {3y – 1} \desno) = 0\)

Prema tome \(y = – \frac{2}{5},\;\frac{1}{3}\).

Budući da \(\sqrt x \) označava samo pozitivne vrijednosti, razmotrit ćemo samo:

\(\sqrt x = \;\frac{1}{3}\)

Odgovor:

Jedino pravo rješenje je:
\(x = \frac{1}{9}\)

Urađeni primjer 12: Riješite jednadžbu \(\sqrt {\frac{x}{{x – 5}}} – \sqrt {\frac{{x – 5}}{x}} = \frac{5}{6 }\)

Izvršenje izmjene varijable:

\(y = \sqrt {\frac{x}{{x – 5}}} \)

Dobivamo jednadžbu:

\(y – \frac{1}{y} = \frac{5}{6}\)

\(6{y^2} – 6 = 5y\)

\(6{y^2} – 5y – 6 = 0\)

\(6{y^2} – 9y + 4y – 6 = 0\)

\(3y\lijevo( {2y – 3} \desno) + 2\lijevo( {2y – 3} \desno) = 0\)

\(\lijevo( {2y – 3} \desno)\lijevo( {3y + 2} \desno) = 0\)

Moguće vrijednosti \(y\) su:

\(y = – \frac{2}{3},\;\frac{3}{2}\)

Od gore navedenog razmotrit ćemo samo pozitivno rješenje.

\(\sqrt {\frac{x}{{{x – 5}}} = \frac{3}{2}\)

\(\frac{x}{{x – 5}} = \frac{9}{4}\)

\(4x = 9x – 45\)

\(5x = 45\)

\(x = 9.\)

Rješenja su \(x = 9.\)