Definicija eksponencijalne funkcije

Eksponencijalna funkcija modelira različite prirodne pojave te društvene i ekonomske situacije, zbog čega je važno identificirati eksponencijalne funkcije u različitim kontekstima.

Sjetimo se da je definiran broj \({a^1} = a,{a^2} = aa,\;{a^3} = aaa\), općenito imamo da za bilo koji \(n\ ) prirodni broj:

U slučaju \(a \ne 0\), imamo sljedeće: \({a^0} = 1,\;\) zapravo, kada \(a \ne 0,\) ima smisla izvršiti operaciju \ (\frac{a}{a} = 1;\) primjenom zakona eksponenata imamo:

\(\frac{a}{a} = 1\)

\({a^{1 – 1}} = 1\)

\({a^0} = 1.\)

Kada je \(a = 0\), prethodno razmišljanje nema smisla, stoga izrazu \({0^0},\) nedostaje matematičko tumačenje.

U slučaju da je \(b > 0\) i istina je da je \({b^n} = a,\), kaže se da je \(b\) n-ti korijen od \(a\) i obično je označen kao \ (b = {a^{\frac{1}{n}}},\;\) ili \(b = \sqrt[n]{a}\).

Kada \(a < 0\), ne postoji realni broj \(b\) takav da je \({b^2} = a;\) jer \({b^2} \ge 0;\;\ ) pa izrazi forme \({a^{\frac{m}{n}}}\), neće se uzeti u obzir za \(a < 0.\) U sljedećem algebarskom izrazu: \({a^n}\) \(a \ ) se zove baza, a \(n\) je koji se naziva eksponent, \({a^n}\) naziva se potencija\(\;n\) od \(a\) ili se također naziva \(a\) na potenciju \(n,\;\)se pridržavati se sljedećih zakona od eksponenata:

\({a^n}{a^m} = {a^{n + m}}\)	\(\frac{{{a^n}}}{{{a^m}}} = {a^{n – m}}\)	\({\lijevo( {{a^n}} \desno)^m} = {a^{nm}} = {\lijevo( {{a^m}} \desno)^n}\)
\(\frac{1}{{{a^n}}} = {a^{ – n}}\)	\({a^n} = \frac{1}{{{a^{ – n}}}}\)	\({\lijevo( {\frac{1}{a}} \desno)^n} = \frac{1}{{{a^n}}}\)
\({\lijevo( {ab} \desno)^n} = {a^n}{b^n}\)	\({\lijevo( {{a^{\frac{1}{n}}}} \desno)^m} = {\lijevo( {{a^m}} \desno)^{\frac{1} {n}}} = {a^{\frac{m}{n}}}\)	\({a^0} = 1\) za svaki \(a \ne 0\)

Eksponencijalna funkcija ima oblik:

\(f\lijevo( x \desno) = {a^x}\)

gdje je \(a > 0\) konstanta, a nezavisna varijabla je eksponent \(x\).

Kako bismo napravili analizu eksponencijalne funkcije, razmotrit ćemo tri slučaja

Slučaj 1. Kada je baza \(a = 1.\)

U ovom slučaju, \(a = 1,\) funkcija \(f\lijevo( x \desno) = {a^x}\) je konstantna funkcija.

Slučaj 2. Kada je baza \(a > 1\)

U ovom slučaju imamo sljedeće:

Vrijednost \(x\)
\(x < 0\)	\(0 < {a^x} < 1\)
\(x = 0\)	\({a^0} = 1\)
\(0 < x < 1\)	\(1 < {a^x} < a\)
\(x = 1\)	\({a^x} = 1\)
\(x > 1\)	\(a < {a^x}\)

Funkcija \(f\lijevo( x \desno) = {a^x}\) je strogo rastuća funkcija, to jest, ako \({x_2} > {x_1}\), tada:

\({a^{{x_2}}} > a_{}^{{x_2}}\)

\(f\lijevo( {{x_2}} \desno) > f\lijevo( {{x_1}} \desno)\)

Kada je pojava modelirana eksponencijalnom funkcijom, s \(a > 1\), kažemo da predstavlja eksponencijalni rast.

2. slučaj Kada je baza \(a < 1\).

Vrijednost \(x\)
\(x < 0\)	\({a^x} > 1\)
\(x = 0\)	\({a^0} = 1\)
\(0 < x < 1\)	\(0 < {a^x} < 1\)
\(x = 0\)	\({a^x} = 1\)
\(x > 1\)	\(0 < {a^x} < a < 1\)

Kada je \(a < 1\), funkcija \(f\lijevo( x \desno) = {a^x}\) je strogo opadajuća funkcija, to jest, ako je \({x_2} > {x_1}\ ), dakle:

\({a^{{x_2}}} < a_{}^{{x_1}}\) \(f\lijevo( {{x_2}} \desno) < f\lijevo( {{x_1}} \desno) \) Kad je neka pojava modeli s eksponencijalnom funkcijom, s \(a < 1\), kažemo da predstavlja opadanje ili smanjenje eksponencijalni. Sljedeći grafikon ilustrira ponašanje \({a^x}\), u njegova tri različita slučaja.

Primjene eksponencijalne funkcije

Primjer 1 Rast stanovništva

Označit ćemo s \({P_0}\) početnu populaciju i s \(r \ge 0\) stopu rasta populacije, ako stopa populacije ostaje konstantna tijekom vremena; funkcija

\(P\lijevo( t \desno) = {P_0}{\lijevo( {1 + r} \desno)^t};\)

Pronađite populaciju u trenutku t.

Praktičan primjer 1

Stanovništvo Meksika u 2021. godini iznosi 126 milijuna i predstavlja godišnji rast od 1,1%, Ako se ovaj rast održi, kolika će populacija biti u Meksiku 2031. godine 2021?

Riješenje

U ovom slučaju \({P_o} = 126\) i \(r = \frac{{1.1}}{{100}} = 0.011\), tako da biste trebali koristiti:

\(P\lijevo( t \desno) = {P_0}{\lijevo( {1 + .0011} \desno)^t}\)

Sljedeća tablica prikazuje rezultate

Godina	Proteklo vrijeme (\(t\))	Kalkulacija	Stanovništvo (milijuni)
2021	0	\(P\lijevo( t \desno) = 126{\lijevo( {1,0011} \desno)^0}\)	126
2031	10	\(P\lijevo( t \desno) = 126{\lijevo( {1,0011} \desno)^{10}}\)	140.57
2051	30	\(P\lijevo( t \desno) = 126{\lijevo( {1,0011} \desno)^{30}}\)	174.95

Primjer 2. Obračun složenih kamata

Banke nude godišnju kamatu, ali stvarna stopa ovisi o tome koliko mjeseci ulažete; Na primjer, ako vam se ponudi godišnja kamatna stopa od r%, stvarna mjesečna stopa je \(\frac{r}{{12}}\)%, dvomjesečna stopa je \(\frac{r}{6}\)%, kvartalno je \(\frac{r}{4}\)%, tromjesečno je \(\frac{r}{3}\)%, a semestar je \(\frac{r}{2}\)%.

Praktičan primjer 2

Pretpostavimo da uložite 10.000 u banku i ona vam ponudi sljedeće godišnje kamate:

Oročeni depoziti	Godišnja stopa	razdoblja u godini	stvarna stopa	Akumulirani novac u \(k\) mjeseci
dva mjeseca	0.55%	6	\(\frac{{0,55\% }}{6} = 0,091667{\rm{\% }}\)	\(10000{\lijevo( {1 + 0,00091667} \desno)^{\frac{k}{2}}}\)
tri mjeseca	1.87%	4	\(\frac{{1,87\% }}{4} = 0,4675{\rm{\% }}\)	\(10000{\lijevo( {1 + 0,00461667} \desno)^{\frac{k}{3}}}\)
šest mjeseci	1.56%	2	\(\frac{{1,56\% }}{4} = 0,78{\rm{\% }}\)	\(10000{\lijevo( {1 + 0,0078} \desno)^{\frac{k}{6}}}\)

Broj \(e\), Eulerov stalni i kontinuirani interes.

Sada pretpostavimo da imamo početni kapital \(C\) i da ga ulažemo po fiksnoj stopi \(r > 0\), i podijelimo godinu na \(n\) razdoblja; kapital akumuliran u godini jednak je:

\(A = \;C{\lijevo( {1 + \frac{r}{n}} \desno)^n}\)

Da bismo analizirali kako se akumulirani kapital ponaša kada \(n\), raste, prepisat ćemo akumulirani kapital, u jednoj godini:

\(A = \;C{\lijevo( {1 + \frac{r}{n}} \desno)^n}\)\(A = \;C{\lijevo( {1 + \frac{1} {{\frac{n}{r}}}} \right)^{\lijevo( {\frac{n}{r}} \right) r}},\)

radeći \(m = \frac{n}{r}\), dobivamo:

\(A = C{\lijevo( {1 + \frac{1}{m}} \desno)^{mr}}\)\(A = C{\lijevo( {{{\lijevo( {1 + \ frac{1}{m}} \right)}^m}} \right)^r}.\)

Kako \(n\) raste, tako raste i \(m = \frac{n}{r}.\)

Kako \(m = \frac{n}{r},\) raste, izraz \({\left( {1 + \frac{1}{m}} \right)^m}\) se približava onome što se naziva Eulerova konstanta ili broj:

\(e \približno 2,718281828 \ltočaka .\)

Eulerova konstanta nema konačni ili periodični decimalni izraz.

Imamo sljedeće aproksimacije

\(C{\lijevo( {{{\lijevo( {1 + \frac{1}{m}} \desno)}^m}} \desno)^r} \približno C{e^r},\) \(C{\lijevo( {1 + \frac{r}{n}} \desno)^{ns}} \približno C{e^{rs}}.\)

Na izraz:

\(A = \;C{e^r},\)

Možemo ga tumačiti na dva načina:

1.- Kao najveći iznos koji možemo akumulirati u godini kada ulažemo kapital \(C,\;\) po godišnjoj stopi \(r.\)

2.- Kao iznos koji bismo akumulirali, u godini, ako bi se naš kapital kontinuirano reinvestirao po godišnjoj stopi \(r.\)

\(T\lijevo( s \desno) = \;C{e^{rs}},\)

je iznos akumuliran ako se \(s\) godina ulaže s kontinuiranim kamatama.

Konkretan primjer 3

Sada ćemo se vratiti na dio konkretnog primjera 2, gdje je godišnja stopa 0,55% u dvomjesečnim ratama. Izračunajte kapital koji se akumulira ako je početni kapital 10.000 i reinvestira pola godine, dvije godine, 28 mjeseci.

\(10{\lijevo( {1,00091667} \desno)^{\frac{6}{2}}} = 10.{\rm{\;}}027525\)

kao što pokazuje tablica u nastavku, vrijednost \(m = \frac{n}{r},\) nije "mala" i gornja tablica pokazuje da \({\left( {1 + \frac{1}{ m}} \right)^m}\) je blizu Eulerove konstante.

Vrijeme	Broj razdoblja (\(k\))	Akumulirani kapital, u tisućama, reinvestiran svaka dva mjeseca
Pola godine	3	\(10{\lijevo( {1,00091667} \desno)^3} = 10.{\rm{\;}}027525\)
Dvije godine	12	\(10{\lijevo( {1,00091667} \desno)^{12}} = 10110.{\rm{\;}}557\)
38 mjeseci	19	\(10{\lijevo( {1,00091667} \desno)^{19}} = 10.\;175612\)

Vrijeme	Vrijeme u godinama (\(s\))	Akumulirani kapital, u tisućama, uložite uz stalne kamate
Pola godine	\(s = \frac{1}{2}\)	\(10{e^{0,0055\lijevo( {\frac{1}{2}} \desno)}} = 10.{\rm{\;}}027538\)
Dvije godine	\(s = 2\)	\(10{\lijevo( {1,00091667} \desno)^{0,0055\lijevo( 2 \desno)}} = 10110.{\rm{\;}}607\)
38 mjeseci	\(s = \frac{{19}}{6}\)	\(10{\lijevo( {1,00091667} \desno)^{\frac{{19}}{6}}} = 10.\;175692\)

Primjer 2 Amortizacija

Praktičan primjer 1

Računalo deprecira 30% svake godine, ako računalo košta 20 000 dolara, odredite cijenu računala za \(t = 1,12,\;14,\;38\) mjeseci.

U ovom slučaju ima se:

\(P\lijevo( t \desno) = 20000{\rm{\;}}{\lijevo( {1 – 0,30} \desno)^t}\)

Uz \(t\) u godinama, zamjena \(t\) u sljedećoj tablici daje

vrijeme u mjesecima	vrijeme u godinama	kalkulacije	Numerička vrijednost
1	\(\frac{1}{{12}}\)	\(P\lijevo( t \desno) = 20000{\rm{\;}}{\lijevo( {1 – .30} \desno)^{\frac{1}{{12}}}}\)	19414.289
12	1	\(P\lijevo( t \desno) = 20000{\rm{\;}}{\lijevo( {1 – .30} \desno)^1}\)	14000
14	\(\frac{7}{6}\)	\(P\lijevo( t \desno) = 20000{\rm{\;}}{\lijevo( {1 – .30} \desno)^{\frac{7}{6}}}\)	13192.012
38	\(\frac{{19}}{6}\)	\(P\lijevo( t \desno) = 20000{\rm{\;}}{\lijevo( {1 – .30} \desno)^{\frac{7}{6}}}\)	6464.0859