Kako je definiran Thalesov teorem?

Prema Thalesovom teoremu, s obzirom na nekoliko paralelnih pravaca, kaže se da je pravac \(T\) transverzalan na paralelne pravce ako siječe svaki od paralelnih pravaca.

Na slici 1, pravci \({T_1}\) i \({T_2}\) su transverzalni na paralelne pravce \({L_1}\) i \({L_2}.\)

Thalesov teorem (slaba verzija)
Ako nekoliko paralela određuje sukladne segmente (koji mjere isto) u jednoj od svoje dvije transverzale, one će također odrediti sukladne segmente u ostalim transverzalama.

Na slici 2, crne linije su paralelne i morate:
\({A_1}{A_2} = {A_2}{A_3} = {A_3}{A_4}.\)
Možemo osigurati sljedeće:
\({B_1}{B_2} = {B_2}{B_3} = {B_3}{B_4}.\)

Rečeno je da je mudri Thales iz Mileta izmjerio visinu Keopsove piramide, za to je koristio sjene i primjenu svojstava sličnosti trokuta. Thalesov teorem temeljan je za razvoj koncepta sličnosti trokuta.

Omjeri i svojstva proporcija

Jedan omjer je kvocijent dvaju brojeva, s djeliteljem koji nije nula; to jest:

\(\frac{a}{b}\;{\rm{s\;}}b \ne 0\)

Proporcija je jednakost dva omjera, tj.

\(\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = k,\)

\(k\) se također naziva konstanta proporcionalnosti.

Svojstva proporcija

Ako je \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = k\) tada za \(m \ne 0:\;\)

\(\frac{{ma}}{{mb}} = \frac{a}{b} = \frac{c}{d} = k\)

\(\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{{a + c}}{{b + d}} = \frac{{a – c}}{{b – d}} = k\)

\(\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{f}{g} = \frac{{a + c + f}}{{b + d + g}} = k\)

\(\frac{{a \pm b}}{b} = \frac{{{c \pm d}}{d}\)

primjeri

\(\frac{9}{{24}} = \frac{{15}}{{40}} = \frac{{9 + 15}}{{24 + 40}} = \frac{{24}} {{64}}\)

\(\frac{9}{{24}} = \frac{{15}}{{40}} = \frac{{15 – 9}}{{40 – 24}} = \frac{6}{{ 16}}\)

\(\frac{{9 + 24}}{{24}} = \frac{{{15 + 40}}{{40}}\)\(\frac{{33}}{{24}} = \frac {{55}}{{40}}\)

Kaže se da je par odsječaka \(\overline {AB} \) i \(\overline {CD} \) proporcionalan odsječcima \(\overline {EF} \) i \(\overline {GH} \) ako je udio ispunjen:

\(\frac{{AB}}{{CD}} = \frac{{EF}}{{GH}}\)

Gdje \(AB\;\) označava duljinu segmenta \(\overline {AB} .\)

Thalesov teorem

Vraćajući se na definiciju, nekoliko paralela određuje proporcionalne odgovarajuće segmente u svojim transverzalnim pravcima.

Na slici 3, ravne linije su paralelne i možemo osigurati:

\(\frac{{{A_1}{A_2}}}{{{A_2}{A_3}}} = \frac{{{B_1}{B_2}}}{{{B_2}{B_3}}}\)\ (\frac{{{A_2}{A_3}}}{{{A_3}{A_4}}} = \frac{{{B_2}{B_3}}}{{{B_3}{B_4}}}\)\( \frac{{{A_2}{A_4}}}{{{A_2}{A_3}}} = \frac{{{B_2}{B_4}}}{{{B_2}{B_3}}}\)\(\frac{{{A_1}{A_2}}}{{{A_3}{A_4}}} = \frac{{{B_1}{B_2}}}{{{B_3}{B_4}}}\)\(\frac{{{A_1}{A_3}}}{{{A_1}{A_2}}} = \frac{{{B_1}{B_3}}}{{{B_1}{B_2}}}\)

Napomenimo da su prve dvije prethodne proporcije ekvivalentne sljedećim proporcijama:

\(\frac{{{A_1}{A_2}}}{{{B_1}{B_2}}} = \frac{{{A_2}{A_3}}}{{{B_2}{B_3}}}\)\ (\frac{{{A_2}{A_3}}}{{{B_2}{B_3}}} = \frac{{{A_3}{A_4}}}{{{B_3}{B_4}}}\)Od gore dobivamo:

\(\frac{{{A_1}{A_2}}}{{{B_1}{B_2}}} = \frac{{{A_2}{A_3}}}{{{B_2}{B_3}}} = \frac {{{A_3}{A_4}}}{{{B_3}{B_4}}} = \frac{{{A_1}{A_2} + {A_2}{A_3} + {A_3}{A_4}}}{{{B_1}{B_2} + {B_2}{B_3} + {B_3}{B_4}}} = \frac{{{A_1}{A_4}}}{{{B_1}{B_4}}}\)

U mnogim slučajevima bolje je raditi s prethodnim omjerima, au ovom slučaju:

\(\frac{{{A_i}{A_j}}}{{{B_i}{B_j}}} = k\)

Suprotno Thalesovom teoremu

Ako više pravaca u svojim poprečnim pravcima određuje proporcionalne odgovarajuće odsječke, onda su ti pravci paralelni

Ako je na slici 4 ispunjeno

\(\frac{{{A_1}{A_2}}}{{{A_2}{A_3}}} = \frac{{{B_1}{B_2}}}{{{B_2}{B_3}}}\)

Tada možemo potvrditi da: \({L_1}\parallel {L_2}\parallel {L_3}.\)

Zapis \({L_1}\parallel {L_2}\), čitan \({L_1}\) je paralelan s \({L_2}\).

Iz prethodnog omjera dobivamo:

\(\frac{{{A_1}{A_2}}}{{{B_1}{B_2}}} = \frac{{{A_2}{A_3}}}{{{B_2}{B_3}}} = \frac {{{A_1}{A_2} + {A_2}{A_3}}}{{{B_1}{B_2} + {B_2}{B_3}}} = \frac{{{A_1}{A_3}}}{{{ B_1}{B_3}}}\)

Podjela segmenta na više dijelova jednake duljine

Na konkretnom primjeru ćemo ilustrirati kako segment podijeliti na dijelove jednake duljine.

Podijelite segment \(\overline {AB} \) na 7 segmenta jednake duljine

Početna situacija

Nacrtajte pomoćnu liniju koja prolazi kroz jedan od krajeva segmenta

Uz pomoć šestara, na pomoćnoj liniji nacrtano je 7 odsječaka jednakih duljina

Nacrtajte crtu koja spaja krajeve zadnjeg nacrtanog segmenta i drugi kraj segmenta koji želite podijeliti

Crtaju se usporedno s posljednjom upravo nacrtanom linijom koja prolazi kroz točke u kojima se lukovi kružnice sijeku s pomoćnom linijom.

Za dan segment \(\overline {AB} \), kaže se da točka \(P\) segmenta dijeli segment \(\overline {AB} \), u omjeru \(\frac{{AP} } {{PB}}.\)

Podjela segmenta u zadanom omjeru

Dat je segment \(\overline {AB} \) i dva pozitivna cijela broja \(a, b\); točka \(P\) koja dijeli segment u omjeru \(\frac{a}{b};\;\) može se pronaći na sljedeći način:

1. Podijelite segment \(\overline {AB} \) na \(a + b\) segmente jednake duljine.
2. Uzmite \(a\) segmente računajući od točke \(A\).

primjeri

Podjela segmenta \(\overline {AB} \) u omjeru \(\frac{a}{b}\)

Razlog	Broj dijelova na koje je segment podijeljen	Položaj točke \(P\)
\(\frac{{AP}}{{PB}} = \frac{4}{3}\)	\(4 + 3 = 7\)
\(\frac{{AP}}{{PB}} = 6 = \frac{6}{1}\)	\(6 + 1 = 7\)
\(\frac{{AP}}{{PB}} = \frac{2}{3}\)	\(2 + 3 = 5\)
\(\frac{{AP}}{{PB}} = \frac{3}{2}\)	\(3 + 2 = 5\)

Primijenjeni primjeri Thalesovog teorema

primjena 1: Tri parcele protežu se od ulice Sol do ulice Luna, kao što je prikazano na slici 5.

Bočne granice su segmenti okomiti na Luna Street. Ako ukupno pročelje parcela u ulici Sol iznosi 120 metara, odredite pročelje svake parcele u toj ulici, ako je također poznato:

\({A_1}{A_2} = 10{\rm{m}},\;{A_2}{A_3} = 40{\rm{m}},\;{A_3}{A_4} = 20{\rm{ m}},\;{A_4}{A_5} = 30{\rm{m}}.\)

Iskaz problema

Budući da su linije okomite na Luna Street, onda su međusobno paralelne, primjenom Thalesovog teorema možemo potvrditi:

\(\frac{{{A_1}{A_2}}}{{{A_2}{A_3}}} = \frac{{{B_1}{B_2}}}{{{B_2}{B_3}}},\; \;\frac{{{A_1}{A_2}}}{{{A_1}{A_4}}} = \frac{{{B_1}{B_2}}}{{{B_1}{B_4}}}\;,\;\;\frac{{{A_1}{A_2}}}{{{A_1}{A_5}} } = \frac{{{B_1}{B_2}}}{{{B_1}{B_5}}}\)Od gore navedenog možemo zaključiti:

\(k = \frac{{{A_1}{A_2}}}{{{B_1}{B_2}}} = \frac{{{A_1}{A_4}}}{{{B_1}{B_4}}} = \frac{{{A_1}{A_5}}}{{{B_1}{B_5}}}\;\)

Slično možemo zaključiti:

\(k = \frac{{{A_1}{A_2}}}{{{B_1}{B_2}}} = \frac{{{A_2}{A_3}}}{{{B_2}{B_3}}} = \frac{{{A_3}{A_4}}}{{{B_3}{B_4}}} = \frac{{{A_4}{A_5}}}{{{B_4}{B_5}}}\)

Riješenje

Za određivanje konstante proporcionalnosti \(k,\) koristit ćemo svojstva proporcija:

\(k = \frac{{{A_1}{A_2}}}{{{B_1}{B_2}}} = \frac{{{A_2}{A_3}}}{{{B_2}{B_3}}} = \frac{{{A_3}{A_4}}}{{{B_3}{B_4}}} = \frac{{{A_4}{A_5}}}{{{B_4}{B_5}}} = \frac{{{A_1}{A_2} + {A_2}{A_3} + {A_3}{A_4} + {A_4}{A_5}}}{{{B_1}{B_2} + {B_2}{B_3} + { B_3}{B_4} + {B_4}{B_5}}} = \frac{{{A_1}{A_5}}}{{{B_1}{B_5}}} = \frac{{100}}{{120}} = \frac{5}{6}\)

Iz navedenog dobivamo:
\(\frac{{{A_1}{A_2}}}{{{B_1}{B_2}}} = \frac{5}{6}\)\(\frac{{{B_1}{B_2}}}{ {{A_1}{A_2}}} = \frac{6}{5}\)\({B_1}{B_2} = \frac{6}{5}{A_1}{A_2} = \frac{6}{ 5}\lijevo( {10} \desno) = 12.\)

Analogno tome:

\({B_2}{B_3} = \frac{6}{5}{A_2}{A_3} = \frac{6}{5}\lijevo( {40} \desno) = 48\)\({B_3} {B_4} = \frac{6}{5}{A_3}{A_4} = \frac{6}{5}\lijevo( {20} \desno) = 24\)\({B_4}{B_5} = \frac{6}{5}{A_4}{A_5} = \frac{6 }{5}\lijevo( {30} \desno) = 36\)

Odgovor

Segment	\({B_1}{B_2}\)	\({B_2}{B_3}\)	\({B_3}{B_4}\)	\({B_4}{B_5}\)
Duljina	12m	48m	24m	36m

primjena 2: Grafički dizajner dizajnirao je policu u obliku paralelograma i postavit će 3 police kako je prikazano na Slika 6, točke E i F su središta stranica \(\overline {AD} \) i \(\overline {BC} ,\) odnosno. Morate napraviti rezove u policama da biste mogli napraviti sklopove. U kojem dijelu polica treba napraviti rezove?

Izjava zadatka: Zbog uvjeta zadanih u zadatku ispunjeno je sljedeće:

\(ED = EA = CF = BF\)

Kao pomoćne konstrukcije proširit ćemo stranice \(\overline {CB} \) i \(\overline {DA} \). Kroz točku A povučen je pravac kroz \(A\) i paralelan sa stranicom \(\overline {EB} \) i kroz točku \(C\;\) povučen je pravac paralelan sa stranicom \(\overline {DF} \).

Koristit ćemo se obratom Thalesovog teorema da pokažemo da su segmenti \(\overline {EB} \) i \(\overline {DF} \) paralelni kako bismo primijenili Thalesov teorem.

Riješenje

Po konstrukciji četverokut \(EAIB\) je paralelogram pa imamo da je EA=BI, jer su suprotne stranice paralelograma. Sada:

\(\frac{{DE}}{{EA}} = \frac{{BF}}{{BI}} = 1\)

Primjenom recipročne vrijednosti recipročne vrijednosti Thalesovog teorema možemo zaključiti:

\(\overline {AI} \parallel \overline {EB} \parallel \overline {DF} \parallel \overline {JC} \)

Uzimajući segmente \(\overline {AI} \parallel \overline {EB} \parallel \overline {DF} \parallel \overline {JC} \) i segmente BC i CI kao njihove transverzale; kao:

\(FC = BF = BI\)\(CH = HG = GA\)

Uzimajući \(\overline {AD} \parallel \overline {BC} \) i segmente \(\overline {AC} \) i \(\overline {EB} \) kao njihove transverzale imat ćemo:

\(\frac{{EG}}{{GB}} = \frac{{AG}}{{GC}} = \frac{{AG}}{{CH + HG}} = \frac{{AG}} {{2\lijevo( {AG} \desno)}} = \frac{1}{2}\)

Slično, pokazano je da:

\(\frac{{DH}}{{HF}} = 2\)

Odgovori

Dijagonalni rezovi \(\overline {AC} \) moraju se napraviti u točkama \(G\;\) i \(H\), tako da:

\(\frac{{AG}}{{AC}} = \frac{{AH}}{{AC}} = \frac{1}{3}\)

Isto vrijedi i za police \(\overline {EB} \) i \(\overline {DF} \).