Definicija racionalizacije radikala (matematika)

Racionalizacija radikala je matematički proces koji se provodi kada postoji kvocijent s radikalima ili korijenima u nazivniku. Na taj način se mogu olakšati matematičke operacije gdje su uključeni kvocijenti s radikalima i druge vrste matematičkih objekata.

Vrste kvocijenata s radikalima

Važno je spomenuti neke vrste kvocijenata s radikalima koji se mogu racionalizirati. Međutim, prije nego što u potpunosti uđete u proces racionalizacije, potrebno je zapamtiti nekoliko važnih koncepata. Prvo, pretpostavimo da imamo sljedeći izraz: \(\sqrt[m]{n}\). Ovo je korijen \(m\) broja \(n\), to jest, rezultat navedene operacije je broj takav da nam podizanje na potenciju \(m\) daje broj \(n\) kao rezultat). Stepen i korijen su inverzne operacije, na takav način da je: \(\sqrt[m]{{{n^m}}} = n\).
S druge strane, vrijedno je spomenuti da je umnožak dva jednaka korijena jednak korijenu umnoška, ​​odnosno da je: \(\sqrt[m]{n}\sqrt[m]{p} = \sqrt[m ]{{np}}\). Ove dvije nekretnine bit će naši najbolji saveznici pri racionalizaciji.

Najčešći i najjednostavniji tip kvocijenta s radikalom koji možemo pronaći je sljedeći:

\(\frac{a}{{b\sqrt c }}\)

Gdje \(a\), \(b\) i \(c\) mogu biti bilo koji realni brojevi. Proces racionalizacije u ovom slučaju sastoji se od pronalaženja načina da se u kvocijentu dobije izraz \(\sqrt {{c^2}} = c\) kako bi se riješio radikala. U ovom slučaju dovoljno je pomnožiti s \(\sqrt c \) i brojnik i nazivnik:

\(\frac{a}{{b\sqrt c }} = \frac{a}{{b\sqrt c }}\frac{{\sqrt c }}{{\sqrt c }} = \frac{{ a\sqrt c }}{{b\sqrt c \sqrt c }}\)

Sjećajući se gore navedenog, znamo da \(\sqrt c \sqrt c = \sqrt {{c^2}} = c\). Stoga konačno dobivamo da je:
\(\frac{a}{{b\sqrt c }} = \frac{a}{{bc}}\sqrt c \)

Na ovaj način smo racionalizirali prethodni izraz. Ovaj izraz nije ništa drugo nego poseban slučaj općeg izraza koji je sljedeći:

\(\frac{a}{{b\sqrt[n]{{{c^m}}}}}\)

Gdje su \(a\), \(b\), \(c\) bilo koji realni brojevi, a \(n\), \(m\) pozitivne potencije. Racionalizacija ovog izraza temelji se na istom principu kao i prethodni, odnosno dobivanje izraza \(\sqrt[n]{{{c^n}}} = c\) u nazivniku. To možemo postići množenjem s \(\sqrt[n]{{{c^{n – m}}}}\) i brojnika i nazivnika:

\(\frac{a}{{b\sqrt[n]{{{c^m}}}}} = \frac{a}{{b\sqrt[n]{{{c^m}}}}} }\frac{{\sqrt[n]{{{c^{n – m}}}}}}{{\sqrt[n]{{{c^{n – m}}}}}}} = \frac{{{a\sqrt[n]{{{c^{n – m}}}}}}{{b\sqrt[n]{{{c^m}}}\sqrt[n]{{{c^{n – m}}}}}}}\)

Umnožak radikala u nazivniku možemo razviti na sljedeći način: \(\sqrt[n]{{{c^m}}}\sqrt[n]{{{c^{n – m}}}} = \sqrt[n]{{{c^m}{c^ {n – m}}}} = \sqrt[n]{{{c^{m + \lijevo( {n – m} \desno)}}}} = \sqrt[n]{{{c^n}}} = c\). Stoga racionalizirani kvocijent ostaje kao:

\(\frac{a}{{b\sqrt[n]{{{c^m}}}}}} = \frac{a}{{bc}}\sqrt[n]{{{c^{n – m}}}}\)

Druga vrsta kvocijenta s radikalima koji se može racionalizirati je ona u kojoj imamo binom s kvadratnim korijenom u nazivniku:

\(\frac{a}{{b\sqrt c \pm d\sqrt e }}\)

Gdje su \(a\), \(b\), \(c\), \(d\) i \(e\;\) bilo koji realni brojevi. Simbol \( ± \) označava da predznak može biti pozitivan ili negativan. Binom nazivnika može imati oba korijena ili samo jedan, međutim, ovaj slučaj koristimo da dobijemo općenitiji rezultat. Središnja ideja provođenja procesa racionalizacije u ovom slučaju je ista kao iu prethodnim slučajevima, samo to u ovom slučaju pomnožit ćemo i brojnik i nazivnik s konjugatom binoma koji se nalazi u nazivnik. Konjugat binoma je binom koji ima iste članove, ali čiji je središnji simbol suprotan izvornom binomu. Na primjer, konjugat binoma \(ux + vy\) je \(ux – vy\). Uz to, tada imamo:

\(\frac{a}{{b\sqrt c \pm d\sqrt e }} = \frac{a}{{b\sqrt c \pm d\sqrt e }}\frac{{b\sqrt c \ mp d\sqrt e }}{{b\sqrt c \mp d\sqrt e }} = \frac{{a\lijevo( {b\sqrt c \mp d\sqrt e } \desno)}}{{\lijevo( {b\sqrt c \pm d\sqrt e } \desno)\lijevo( {b \sqrt c \mp d\sqrt e } \right)}}\)

Simbol \( \mp \) označava da predznak može biti pozitivan ili negativan, ali mora biti suprotan simbolu nazivnika da bi binomi bili konjugirani. Razvijanjem množenja binoma nazivnika dobivamo da je:

\(\frac{a}{{b\sqrt c \pm d\sqrt e }} = \frac{{a\lijevo( {b\sqrt c \mp d\sqrt e } \desno)}}{{{ b^2}\sqrt {{c^2}} + bd\sqrt {ce} – bd\sqrt {ce} – {d^2}\sqrt {{e^2}} }}\)

Na kraju dobivamo da:

\(\frac{a}{{b\sqrt c \pm d\sqrt e }} = \frac{a}{{{b^2}c – {d^2}e}}\lijevo( {b\ sqrt c \mp d\sqrt e } \desno)\)

Time smo racionalizirali kvocijent s radikalom. Ovi kvocijenti s radikalima su oni koji se općenito mogu racionalizirati. Zatim ćemo vidjeti neke primjere racionalizacije radikala.

primjeri

Pogledajmo neke primjere racionalizacije s kvocijentima s radikalima gore spomenutog tipa. Prvo pretpostavimo da imamo sljedeći kvocijent:

\(\frac{3}{{7\sqrt 2 }}\)

U ovom slučaju dovoljno je brojnik i nazivnik pomnožiti s \(\sqrt 2 \)

\(\frac{3}{{7\sqrt 2 }} = \frac{3}{{7\sqrt 2 }}\frac{{\sqrt 2 }}{{\sqrt 2 }} = \frac{3 }{{7\sqrt 2 \sqrt 2 }}\sqrt 2 = \frac{3}{{7\sqrt 4 }}\sqrt 2 = \frac{3}{{14}}\sqrt 2 \)

Sada, pretpostavimo da imamo sljedeći kvocijent s radikalom:

\(\frac{2}{{3\sqrt[6]{{{4^3}}}}}\)

U ovom slučaju imamo šesti korijen kubične potencije. U prethodnom smo odjeljku spomenuli da ako imamo radikal oblika \(\sqrt[n]{{{c^m}}}\) u nazivnik, možemo racionalizirati kvocijent množenjem brojnika i nazivnika s \(\sqrt[n]{{{c^{n –m}}}}\). Uspoređujući ovo s ovdje predstavljenim slučajem, možemo shvatiti da \(n = 6\), \(c = 4\) i \(m = 3\), dakle Stoga možemo racionalizirati prethodni kvocijent množenjem brojnika i nazivnika s \(\sqrt[6]{{{4^3}}}\):

\(\frac{2}{{3\sqrt[6]{{{4^3}}}}} = \frac{2}{{3\sqrt[6]{{{4^3}}}} }\frac{{\sqrt[6]{{{4^3}}}}}{{\sqrt[6]{{{4^3}}}}} = \frac{2}{{3\sqrt[6]{{{4^3}}}\sqrt[6]{{{4^3}}}}}\sqrt[6]{{{4^3} }} = \frac{2}{{3\sqrt[6]{{{4^6}}}}}\sqrt[6]{{{4^3}}} = \frac{{\sqrt[6]{{{4^3}}}}}{6}\)

Konačno, pretpostavimo da imamo sljedeću funkciju:

\(\frac{1}{{x + \sqrt x }}\)

Kao što je prikazano u prethodnom odjeljku, da biste ovu vrstu kvocijenta racionalizirali s radikalima, morate pomnožiti brojnik i nazivnik s konjugatom nazivnika. U ovom bi slučaju konjugat nazivnika bio \(x – \sqrt x \). Stoga bi izraz bio sljedeći:

\(\frac{1}{{x + \sqrt x }}\frac{{{x – \sqrt x }}{{x – \sqrt x }} = \frac{1}{{\left( {x + \sqrt x } \desno)\lijevo( {x – \sqrt x } \desno)}}\lijevo( {x – \sqrt x } \desno)\)

Razvijajući množenje konjugiranih binoma nazivnika, konačno dobivamo da je:

\(\frac{1}{{x + \sqrt x }} = \frac{{x – \sqrt x }}{{{x^2} – x}}\)

Reference

Aguilar Arturo, Bravo Fabián, Gallegos Herman, Cerón Miguel i Reyes Ricardo. (2009). Aritmetika. Meksiko: Pearson Education.