Definicija Bernoullijevog principa/jednadžbe

Bernoullijev princip, koji se često naziva i Bernoullijeva jednadžba, jedan je od najvažnijih pojmova u hidrodinamici i mehanici fluida. Formulirao ga je švicarski fizičar i matematičar Daniel Bernoulli 1738. godine kao dio svog rada "hidrodinamika” i dio očuvanja energije u idealnom fluidu u gibanju.

Zamislimo sljedeću situaciju: Imamo crijevo kroz koje teče voda, koja izlazi iz crijeva određenom brzinom i određenim pritiskom. Zatim nastavljamo djelomično pokrivati ​​izlaznu rupu crijeva prstom; radeći ovo vidimo kako voda sada izlazi većom brzinom. Ovo je primjer Bernoullijevog principa na djelu.

Idealne tekućine u kretanju

Bernoullijev princip primjenjuje se na idealne fluide u gibanju, pa prije nego što krenemo s objašnjenjem ovog principa, važno je spomenuti što podrazumijevamo pod idealnim fluidom. Idealna tekućina je pojednostavljenje stvarne tekućine, to je učinjeno zbog opisa tekućine ideal je matematički jednostavniji i daje nam korisne rezultate koji se kasnije mogu proširiti na slučaj fluida stvaran.

Postoje četiri pretpostavke na temelju kojih se tekućina smatra idealnom i sve one imaju veze s protokom:

• Ravnomjerno strujanje: Ravnomjerno strujanje je ono u kojem je brzina kojom se tekućina kreće ista u bilo kojoj točki prostora. Drugim riječima, pretpostavljamo da tekućina ne prolazi kroz turbulenciju.

• Nestlačivost: Također se pretpostavlja da je idealna tekućina nestlačiva, odnosno da ima konstantnu gustoću u svakom trenutku.

• Neviskoznost: Viskoznost je svojstvo tekućina koje, općenito govoreći, predstavlja otpor koji tekućina pruža kretanju. Viskoznost se može smatrati analognom mehaničkom trenju.

• Irotacijski tok: Ovom pretpostavkom se pozivamo na činjenicu da tekućina koja se kreće ne izvodi nikakvu vrstu kružnog kretanja oko bilo koje točke svoje staze.

Donošenjem ovih pretpostavki i posjedovanjem idealne tekućine uvelike pojednostavljujemo matematičku obradu i također osiguravamo očuvanje energije, što je polazište prema načelu Bernoulli.

Objašnjenje Bernoullijeve jednadžbe

Razmotrimo idealan fluid koji se kreće kroz cijev kao što je prikazano na sljedećoj slici:

Sada ćemo koristiti teorem o radu i kinetičkoj energiji, koji je još jedan način izražavanja zakona održanja energije, koji nam govori da:

\(W = {\rm{\Delta }}K\)

Gdje je \(W\) ukupni mehanički rad, a \({\rm{\Delta }}K\) promjena kinetičke energije između dvije točke. U ovom sustavu imamo dvije vrste mehaničkog rada, jedan koji se vrši silom gravitacije na tekućinu i drugi koji je rezultat pritiska tekućine. Neka \({W_g}\) bude mehanički rad koji obavlja gravitacija, a \({W_p}\) mehanički rad koji vrši pritisak, tada možemo reći da:

\({W_g} + {W_p} = {\rm{\Delta }}K\)

Budući da je gravitacija konzervativna sila, njezin mehanički rad bit će jednak razlici gravitacijske potencijalne energije između dviju točaka. Početna visina na kojoj se nalazi tekućina je \({y_1}\), a konačna visina je \({y_2}\), stoga imamo:

\({W_g} = – {\rm{\Delta }}mg{\rm{\Delta }}y = – {\rm{\Delta }}mg\lijevo( {{y_2} – {y_1}} \desno )\)

Gdje je \({\rm{\Delta }}m\) udio mase tekućine koji prolazi kroz određenu točku, a \(g\) je ubrzanje gravitacije. Budući da je idealni fluid nestlačiv, tada \({\rm{\Delta }}m = \rho {\rm{\Delta }}V\). Gdje je \(\rho \) gustoća tekućine, a \({\rm{\Delta }}V\) je dio volumena koji teče kroz točku. Zamjenom ovoga u gornju jednadžbu dobivamo:

\({W_g} = – \rho g{\rm{\Delta }}V\lijevo( {{y_2} – {y_1}} \desno)\)

Razmotrimo sada mehanički rad koji vrši pritisak tekućine. Tlak je sila koja djeluje po jedinici površine, to jest \(F = PA\). S druge strane, mehanički rad je definiran kao \(W = F{\rm{\Delta }}x\) gdje je \(F\) primijenjena sila i \({\rm{\Delta }}x\) je pomak izvršen u ovom slučaju na x-osi. U ovom kontekstu možemo zamisliti \({\rm{\Delta }}x\) kao duljinu dijela tekućine koja teče kroz određenu točku. Kombinirajući obje jednadžbe dobivamo \(W = PA{\rm{\Delta }}x\). Možemo shvatiti da je \(A{\rm{\Delta }}x = {\rm{\Delta }}V\), to jest, to je dio volumena koji teče kroz tu točku. Prema tome, imamo \(W = P{\rm{\Delta }}V\).

U početnoj točki, na sustavu se vrši mehanički rad jednak \({P_1}{\rm{\Delta }}V\) a na krajnjoj točki sustav vrši mehanički rad na okolini jednak \({P_2}{\rm{\Delta }}V\). Mehanički rad zbog pritiska fluida tada će biti rad obavljen na sustavu minus rad koji on izvrši na svojoj okolini, što znači da:

\({W_p} = {P_1}{\rm{\Delta }}V – {P_2}{\rm{\Delta }}V = \lijevo( {{P_1} – {P_2}} \desno){\rm {\Delta }}V\)

Konačno, razlika u kinetičkoj energiji \({\rm{\Delta }}K\) bit će jednaka kinetičkoj energiji na krajnjoj točki minus kinetička energija na početnoj točki. To je:

\({\rm{\Delta }}K = \frac{1}{2}{\rm{\Delta }}mv_2^2 – \frac{1}{2}{\rm{\Delta }}mv_1^ 2 = \frac{1}{2}{\rm{\Delta }}m\lijevo( {v_2^2 – v_1^2} \desno)\)

Iz gornjeg znamo da \({\rm{\Delta }}m = \rho {\rm{\Delta }}V\). Gornja jednadžba tada glasi:

\({\rm{\Delta }}K = \frac{1}{2}\rho {\rm{\Delta }}V\lijevo( {v_2^2 – v_1^2} \desno)\)

Zamjenom svih dobivenih rezultata u jednadžbu očuvanja energije, dobiva se da je:

\(\lijevo( {{P_1} – {P_2}} \desno){\rm{\Delta }}V – \rho {\rm{\Delta }}V\lijevo( {{y_2} – {y_1}} \desno) = \frac{1}{2}\rho {\rm{\Delta }}V\lijevo( {v_2^2 – v_1^2} \desno)\)

Možemo faktorizirati izraz \({\rm{\Delta }}V\) na obje strane jednadžbe, što dovodi do:

\({P_1} – {P_2} – \rho g\lijevo( {{y_2} – {y_1}} \desno) = \frac{1}{2}\rho \lijevo( {v_2^2 – v_1^2 } \desno)\)

Razvijajući proizvode koji nedostaju moramo:

\({P_1} – {P_2} – \rho g{y_2} + \rho g{y_1} = \frac{1}{2}\rho v_2^2 – \frac{1}{2}\rho v_1^ 2\)

Preuređivanjem svih članova na obje strane jednadžbe dobivamo sljedeće:

\({P_1} + \rho g{y_1} + \frac{1}{2}\rho v_1^2 = {P_2} + \rho g{y_2} + \frac{1}{2}\rho v_2^ 2\)

Ova jednadžba je odnos između početnog stanja i konačnog stanja našeg sustava. Konačno možemo reći da:

\(P + \rho gy + \frac{1}{2}\rho {v^2} = konstanta\)

Ova posljednja jednadžba je Bernoullijeva jednadžba iz koje je izvedeno njeno načelo. Bernoullijev princip je zakon očuvanja idealnog fluida u gibanju.

Reference

David Halliday, Robert Resnick i Jearl Walker. (2011). Osnove fizike. Sjedinjene Države: John Wiley & Sons, Inc.