Mi a műveleti hierarchia?

A műveletek hierarchiája egy matematikai konvenció, amely meghatározza a kombinált számítási műveletek végrehajtásának sorrendjét. ugyanaz a matematikai állítás, vagyis ha van olyan matematikai állítás, ahol matematikai műveletek (összeadás, kivonás, szorzás, osztás, hatványok és gyökök) kombinálva, ezeket meghatározott sorrendben kell elvégezni az eredmény eléréséhez gyakori.

De miért van szükség hierarchiára? Ahhoz, hogy megválaszolhassuk, először is jól meg kell értenünk a matematikai műveletek természetét, amely egy halmaz elemeire alkalmazott transzformációból áll. Gondoljunk például a valós számok halmazára, vagyis azokra a számokra, amelyeket mindannyian ismerünk. Ha veszünk egy a számot és összeadjuk egy másik b számmal, akkor egy másik c számot kapunk, amely ugyanahhoz a valós számhalmazhoz tartozik, azaz:

a+b = c

Ráadásul a kiegészítések bemutatásának sorrendje nem befolyásolja a végeredményt, vagyis azt a+b = b+a, ezt a tulajdonságot kommutativitásnak nevezzük. Azért fontos beszélni az összeadásról, mert ez az alapművelet, amelyből az összes többi származik. A szorzás nem más, mint ismételt összeadások sorozata. Ha ismét van egy a számunk, és megszorozzuk egy b számmal, akkor olykor a b számot összeadjuk önmagával, vagy pedig b-szer hozzáadjuk önmagához az a számot. Ez utóbbi igaz, mivel a szorzás kommutatív, mint az összeadás, ez azt jelenti, hogy:

a⋅b = b⋅a. A fentiek a következőképpen fejezhetők ki:

Ezt egy példával könnyen vizualizálhatjuk. Végezzük el az 5×2-es szorzást:

5×2 = 2×5 = 2+2+2+2+2 = 5+5 = 10

Mi van akkor, ha olyan műveletet kell végrehajtanunk, ahol az összeadást a szorzással kombináltuk? Például: a⋅b+c. Milyen sorrendben kell összeadást és szorzást végrehajtani? Melyik műveletet kell előnyben részesítenünk? Ha először végrehajtjuk a szorzást és összegként alakítjuk ki, akkor a következőt kapnánk:

Ha most először az összeadást, majd a szorzást végeznénk el, akkor a következőt kapnánk:

Mivel az összeadás kommutatív, átcsoportosíthatjuk az egyenlet jobb oldalát, így kapjuk:

A két helyzetben kapott eredményeket összehasonlítva könnyen belátható, hogy:

Ebből arra a következtetésre jutunk, hogy a műveletek végrehajtásának sorrendje befolyásolja a kapott eredményt. Ugyanez történik, ha hatalmakat vonunk be. Amikor egy b számot c hatványra emelünk, akkor azt csináljuk, hogy c-t megszorozzuk önmagával a b számmal, azaz:

Most folytatjuk a következő kombinált művelet végrehajtását, amely magában foglalja a szorzást és a⋅b hatványt^c más sorrendben, mint az előző esetben. Ha elsőbbséget adunk a hatalomnak, akkor:

Ha most először a szorzást, majd a hatványt hajtjuk végre, akkor a következőt kapjuk:

A szorzás kommutativitását kihasználva átcsoportosíthatjuk az egyenlet jobb oldalát a következőképpen:

Ismét összehasonlíthatjuk a műveletek más sorrendben történő végrehajtásával kapott eredményeket, hogy felismerjük, hogy:

Ebben az esetben is a műveletek végrehajtásának sorrendje befolyásolja a kapott eredményt. Tehát milyen sorrendben kell végrehajtani a műveleteket? A műveleti hierarchia azt állapítja meg, hogy a hatványok a szorzásoknál magasabb hierarchia szinten vannak, oly módon, hogy a matematikai állításban a hatványok elsőbbséget élveznek. A szorzásoknak viszont magasabb a hierarchia szintje, mint az összeadásoknak.

De mi a helyzet a kivonással, az osztással és a gyökökkel? A kivonás az összeadás ellentétes művelete, amikor egy b számot kivonunk egy a számból, akkor egy másik c számot kapunk úgy, hogy c+b=a. Valami hasonló történik az osztással és a kivonással. Ha egy a számot elosztunk egy b számmal, és egy c számot kapunk, akkor olyan számot kapunk, hogy b⋅c=a. Végül pedig egy a szám b gyökének kiszámításával olyan c számot találunk, amelyre c^b=a. Ezek az ekvivalenciák a kivonást, osztást és gyökérzést ugyanarra a hierarchiaszintre teszik, mint az összeadás, szorzás és hatvány.

Zárójelek és zárójelek gyakorlata

Nos, mi történik, ha egy matematikai utasításban bizonyos műveleteknek prioritást akarunk adni, függetlenül azok hierarchia szintjétől? Ehhez zárójeleket és szögletes zárójeleket használnak. Tegyük fel, hogy megvan az a⋅b+c elv állítása. A korábban elmondottak alapján már tudjuk, hogy először a szorzást, majd az összeadást kell végrehajtanunk. De mi van, ha azt akarjuk, hogy ez ne így legyen? Ehhez zárójelben vagy szögletes zárójelben kell elválasztani az összeadást a szorzástól, így elsőbbséget kell adni az összeadás kiszámításának, azaz: a⋅(b+c). Emiatt a zárójelekkel és szögletes zárójelekkel elválasztott utasítások a legmagasabb prioritást élvezik az összes többi művelettel szemben.

A fentiekkel együtt a műveletek hierarchiája, illetve végrehajtásuk sorrendje a következő:

1) Zárójelek és zárójelek
2) Hatalmak és gyökerek
3) Szorzások és osztások
4) Összeadás és kivonás

Hivatkozások

h. Behnke, F. Bachman, K. Fladt, W. Suss, H. Gerike, F. Hohenberg, G. Pickert, H. Rau & S. h. Gould. (1983). A matematika alapjai: I. kötet. Cambridge, Massachusetts és London: The MIT Press.