Geometriai haladás definíciója

Egy számsorozat \({{a}_{1}},~{{a}_{2}},{{a}_{3}},\ldots \); Geometriai progressziónak nevezzük, ha a másodiktól kezdve minden elemet az előző \(r\ne 0\) számmal való szorzásából kapunk, vagyis ha:
\({{a}_{n+1}}={{a}_{n}}r\)
Ahol:
- Az \(r\) számot a geometriai progresszió arányának nevezzük.
- A \({{a}_{1}}\) elemet az aritmetikai sorozat első elemének nevezzük.

A geometriai progresszió elemei az első elemmel és annak arányával fejezhetők ki, azaz:
\({{a}_{1}},{{a}_{1}}r,{{a}_{1}}{{r}^{2}},{{a}_{1} }{{r}^{3}}\)

Ezek az aritmetikai sorozat első négy eleme; általában a \(k-\)-edik elemet a következőképpen fejezzük ki:
\({{a}_{k}}={{a}_{1}}{{r}^{k-1}}\)

Amikor az előző kifejezés \({{a}_{1}}\ne 0,~\)értékét kapjuk:

\(\frac{{{a}_{k}}}{{{a}_{l}}}=\frac{{{a}_{1}}{{r}^{k-1}} }{{{a}_{1}}{{r}^{l-1}}}\)

\(\frac{{{a}_{k}}}{{{a}_{l}}}={{r}^{k-l}}\)

A fenti kifejezés egyenértékű a következővel:

\({{a}_{k}}={{a}_{l}}{{r}^{k-l}}\)

1. példa/gyakorlat. Keresse meg az aritmetikai progresszió különbségét: \(2,6,18,54,\ldots \) és az elemeket \({{a}_{20}},~{{a}_{91}} \)

instagram story viewer

Megoldás

Mivel \(\frac{6}{2}=\frac{18}{6}=\frac{54}{18}=3\), arra a következtetésre juthatunk, hogy az arány:

\(r=3\)

\({{a}_{20}}=2\left( {{3}^{20-1}} \right)=2{{\left( 3 \right)}^{19}}\)

\({{a}_{91}}=2\left( {{3}^{91-1}} \right)=2{{\left( 3 \right)}^{90}}\)

Példa/gyakorlat 2. Egy aritmetikai sorozatban a következőket kapjuk: \({{a}_{17}}=20~\)y \({{a}_{20}}=-1280\), határozza meg a geometriai progresszió arányát, és írja be az első 5 elem.

Megoldás

Fárasztó

\(\frac{{{a}_{k}}}{{{a}_{l}}}={{r}^{k-l}}\)

\(\frac{{{y}_{20}}}{{{y}_{17}}}={{r}^{20-17}}\)

\(\frac{-1280}{20}={{r}^{3}}\)

\(-64={{r}^{3}}\)

\(\sqrt[3]{-64}=\sqrt[3]{{{r}^{3}}}\)

\(-4=r\)

Megtalálni az aritmetikai sorozat első 5 elemét; kiszámítjuk a \({{a}_{1}}\):

\({{a}_{k}}={{a}_{1}}{{r}^{k-1}}\)

\({{a}_{17}}={{a}_{1}}{{\left( r \right)}^{17-1}}\)

\(20={{a}_{1}}{{\left( -4 \right)}^{16}}\)

\(\frac{20}{{{4}^{16}}}={{a}_{1}}\)

\(\frac{5\left( 4 \right)}{{{4}^{16}}}={{a}_{1}}\)

\(\frac{5}{{{4}^{15}}}={{a}_{1}}\)

A geometriai progresszió első 5 eleme:

\(\frac{5}{{{4}^{15}}},~\frac{5}{{{4}^{15}}}\left( -4 \right),\frac{5} {{{4}^{15}}}{{\left( -4 \right)}^{2}},\frac{5}{{{4}^{15}}}{{\left( -4 \right)}^{3}},\frac{5}{{ {4}^{15}}}{{\left( -4 \jobbra)}^{4}}\)

\(\frac{5}{{{4}^{15}}},-~\frac{5}{{{4}^{14}}},\frac{5}{{{4}^{ 13}}},-\frac{5}{{{4}^{12}}},\frac{5}{{{4}^{11}}}\)

Példa/gyakorlat 3. Egy vékony üveg a rajta áthaladó napfény 2%-át nyeli el.

nak nek. A fény hány százaléka megy át 10 vékony üvegen?

b. A fény hány százaléka megy át 20 vékony üvegen?

c. Határozza meg a fény százalékos arányát, amely \(n\) vékony, azonos jellemzőkkel rendelkező, egymás után elhelyezett üvegeken halad át.

Megoldás

1-gyel ábrázoljuk a teljes fényt; a fény 2%-át elnyeli, majd a fény 98%-a átmegy az üvegen.

A \({{a}_{n}}\)-vel ábrázoljuk az üvegen áthaladó fény százalékos arányát \(n\) .

\({{a}_{1}}=0,98,~{{a}_{2}}=0,98\left( 0,98 \right),~{{a}_{3}}={{\left( 0,98 \jobbra)}^{2}}\left( 0,98 \jobbra),\)

Általában \({{a}_{n}}={{\left( 0,98 \right)}^{n}}\)

nak nek. \({{a}_{10}}={{\left( 0,98 \right)}^{10}}=0,81707\); ami azt mondja, hogy az üveg 10 után a fény 81,707%-a áthalad

b. \({{a}_{20}}={{\left( 0,98 \right)}^{20}}=~0,66761\); ami azt mondja, hogy a 20-as üveg után 66,761%

Egy geometriai sorozat első \(n\) elemeinek összege

Adott a geometriai progresszió \({{a}_{1}},{{a}_{1}}r,{{a}_{1}}{{r}^{2}},{{a} 1}}{{r}^{3}}\)….

Ha \(r\ne 1\) az első \(n\) elemek összege, az összeg:

\({{S}_{n}}={{a}_{1}}+{{a}_{1}}r+{{a}_{1}}{{r}^{2}} +{{a}_{1}}{{r}^{3}}+\ldots +{{a}_{1}}{{r}^{n-1}}\)

Ezzel lehet számolni

\({{S}_{n}}={{a}_{1}}\frac{\left( 1-{{r}^{n}} \right)}{1-r},~r \n1\)

Példa/gyakorlat 4. A 2. példából számítsa ki \({{S}_{33}}\).

Megoldás

Ebben az esetben \({{a}_{1}}=\frac{5}{{{4}^{15}}}\) és \(r=-4\)

jelentkezését

\({{S}_{n}}={{a}_{1}}\frac{\left( 1-{{r}^{n}} \right)}{1-r}\)

\({{S}_{22}}=\frac{5}{{{4}^{15}}}\frac{1-{{\left( -4 \right)}^{22}}} {1-\left( -4 \right)}\)

\({{S}_{22}}=\frac{5}{{{4}^{15}}}\frac{1-{{\left( -4 \right)}^{22}}} {5}\)

\({{S}_{22}}=\frac{1-{{\left( 4 \right)}^{22}}}{{{4}^{15}}}\)

\({{S}_{22}}=\frac{1}{{{4}^{15}}}-\frac{{{\left( 4 \right)}^{22}}}{{ {4}^{15}}}\)

\({{S}_{22}}=\frac{1}{{{4}^{15}}}-{{4}^{7}}\)

Példa/gyakorlat 5. Tegyük fel, hogy egy személy feltölt egy fényképet kedvencéről, és megosztja azt 3 barátjával egy internetes közösségi hálózaton, és egy óra múlva megosztja a fényképet három másik személlyel, majd az utóbbi egy órán belül megosztja a fényképet 3 másik személlyel emberek; És így megy tovább; minden személy, aki megkapja a fényképet, egy órán belül megosztja 3 másik személlyel. 15 óra múlva hány embernél van már a fénykép?

Megoldás

A következő táblázat az első számításokat mutatja be
Idő Emberek, akik megkapják a fényképet Emberek, akik rendelkeznek a fényképpel
1 3 1+3=4
2 (3)(3)=32=9 4+9=13
3 32(3)= 33=27 13+27=40

Azon személyek száma, akik megkapják a fényképet \(n\) órában, egyenlő: \({{3}^{n}}\)

Azon személyek száma, akiknek már megvan a fényképe egy órán belül:

\(3+{{3}^{2}}+{{3}^{3}}+\lpont +{{3}^{n}}\)

jelentkezését

\({{S}_{n}}={{a}_{1}}\frac{\left( 1-{{r}^{n}} \right)}{1-r}\)

\({{a}_{1}}=3,\) \(r=3\) és \(n=15\)

Ahol:

\({{S}_{n}}=\frac{\left( 1-{{3}^{15}} \right)}{1-3}=7174453\)

geometriai eszközök

Adott két szám \(a~\) és \(b,\) a \({{a}_{2}},{{a}_{3}},\ldots ,{{a}_{k +1}}\) az \(a~\) és \(b\) számok \(k\) geometriai középértékeinek nevezzük; ha a \(a,{{a}_{2}},{{a}_{3}},\ldots ,{{a}_{k+1}},b\) sorozat geometriai progresszió.

Az \(a~\) és \(b\) számok \(k\) geometriai középértékeinek ismeretéhez elegendő ismerni a számtani progresszió arányát, ehhez a következőket kell figyelembe venni:

\(a={{a}_{1}},{{a}_{2}},{{a}_{3}},\ldots ,{{a}_{k+1}},{ {a}_{k+2}}=b,\)

A fentiek alapján megállapítjuk a kapcsolatot:

\(b=a{{r}^{k+1}}\)

Megoldva \(d\) a következőt kapjuk:

\(b=a{{r}^{k+1}}\)

\(\frac{b}{a}={{r}^{k+1}}\)

\(r=\sqrt[k+1]{\frac{b}{a}}\)

Példa/gyakorlat 6. Keress két geometriai átlagot a -15 és 1875 között.

Megoldás

A jelentkezéskor

\(r=\sqrt[k+1]{\frac{b}{a}}\)

\(b=375,~a=-15\) és \(k=2~\):

\(r=\sqrt[2+1]{\frac{1875}{-15}}\)

\(r=\sqrt[3]{-125}=-5\)

A 3 geometriai átlag:

\(75,-375\)

7. példa/gyakorlat. Egy személy 6 hónapon keresztül havonta pénzt fektetett be és kamatot kapott, és tőkéje 10%-kal nőtt. Ha a kamatláb nem változott, mennyi volt a havi kamat?

Megoldás

Legyen \(C\) a befektetett tőke; a végső tőke \(1,1C\); A probléma megoldásához 5 geometriai eszközt kell elhelyeznünk a képlet alkalmazásával:

\(r=\sqrt[k+1]{\frac{b}{a}}\)

\(k=5,~b=1,1C\) és \(a=C.\)

\(r=\sqrt[5+1]{\frac{1,1C}{C}}=\sqrt[6]{1,1}=1,016\)

A kapott havi díj \(1,6%\)