Vegyes, egységnyi, homogén és heterogén törtek meghatározása

Vegyes. A vegyes tört egynél nagyobb vagy egyenlő egész számból és egy megfelelő törtből, a tört általános helyesírásából áll vegyes a következő formátumú: \(a + \frac{c}{d},\), amelynek tömör írása: \(a\frac{c}{d},\;\), azaz: \(a\ tört{c}{d} = a + \frac{c}{d}\). Az \(a\) számot a vegyes tört egész részének, a \(\frac{c}{d}\) számot pedig tört részének nevezzük.

homogén. Ha két vagy több törtnek ugyanaz a nevezője, akkor azt mondjuk, hogy olyan, mint a tört. Például a \(\frac{3}{4},\) \(\frac{7}{4},\) \(\frac{1}{4},\) \(\frac{{ 10}}{4}\) homogének, mert mindegyiknek ugyanaz a nevezője, ami ebben az esetben \(4\). Míg a \(\frac{3}{4},\) \(\frac{7}{4},\) \(\frac{1}{4},\) \(\frac{5} { 2}\) nem homogén törtek, mivel a \(\frac{5}{2}\) nevezője \(2\) és a többi tört nevezője értéke \(4\). A homogén törtek egyik előnye, hogy a függvények összeadásának és kivonásának számtani műveletei nagyon egyszerűek.

heterogén. Ha két vagy több tört, közülük legalább kettőnek nem ugyanaz a nevezője, akkor ezeket a törteket heterogén törteknek nevezzük. A következő törtek heterogének: \(\frac{3}{5},\;\) \(\frac{7}{5}\), \(\frac{1}{4},\) \(\ frac{2}{5}\).

egységes. A tört egységnek minősül, ha a számláló egyenlő 1 \(1,\) \(2\). A következő törtek példák az egységtörtekre: \(\frac{1}{2},\;\) \(\frac{1}{3}\), \(\frac{1}{4}\), \(\;\frac{1}{5}\).

Vegyes tört szóbeli kifejezése

vegyes frakció	Verbális kifejezés
\(3\frac{1}{2} = \)	Három és fél egész
\(5\frac{3}{4} = \)	Öt egész szám és három negyed
\(10\frac{1}{8} = \)	Tíz egész szám nyolcaddal

Vegyes tört átalakítása nem megfelelő törtté

A vegyes frakciók hasznosak a becsléshez, például könnyen megállapítható:

\(5\frac{1}{{20}} > 4\frac{9}{{10}}\)

A vegyes törtek azonban általában nem praktikusak olyan műveletek végrehajtására, mint a szorzás és az osztás, ezért fontos, hogyan konvertáljunk vegyes törtté.

Az előző ábra a \(2\tört{3}{4}\) vegyes törtet mutatja, most minden egész szám a következőből áll: négy negyed, tehát 2 egész számban 8 negyed van és ezekhez hozzá kell adni a másik 3 negyedet, azaz mond:

\(2\frac{3}{4} = \frac{{2\left( 4 \right) + 3}}{4} = \frac{{11}}{4}\)

Általában:

\(a\frac{c}{d} = \frac{{ad + c}}{d}\)

A következő táblázat további példákat mutat be.

vegyes frakció	Elvégzendő műveletek	helytelen tört
\(3\frac{1}{2}\)	\(\frac{{3\left( 2 \right) + 1}}{2}\)	\(\frac{7}{2}\)
\(5\frac{3}{4}\)	\(\frac{{5\left( 4 \right) + 3}}{4}\)	\(\frac{{23}}{4}\)
\(10\frac{1}{8}\)	\(\frac{{10\left( 8 \right) + 1}}{8}\)	\(\frac{{81}}{8}\)

Helytelen tört átalakítása vegyes törtté

Egy helytelen tört vegyes törtté alakításához számítsa ki a hányadost és a számlálónak a nevezővel való elosztásának maradékát. A kapott hányados a vegyes tört egész része, a megfelelő tört pedig \(\frac{{{\rm{remainder}}}}{{{\rm{nevező}}}}\)

Példa

A \(\frac{{25}}{7}\) vegyes törtté alakítása:

Az elvégzett műveletekhez a következőket kapjuk:

Az alábbi táblázat további példákat mutat be.

helytelen tört	A hányados és a maradék kiszámítása	helytelen tört
\(\frac{{25}}{7}\)		\(3\frac{4}{7}\)
\(\frac{{35}}{8}\)		\(4\frac{3}{8}\)
\(\frac{{46}}{5}\)		\(9\frac{1}{5}\)

Vegyes és megfelelő frakciók mindennapi használata

A mindennapi életben mérnünk, vásárolnunk, árakat kell összehasonlítanunk, árengedményeket kell kínálnunk; a méréshez mértékegységekre van szükségünk, és nem mindig kínálják a termékek teljes egységeit, és nem mindig egy egységnyi érmével kell fizetni.

Például gyakran előfordul, hogy bizonyos folyadékokat olyan tartályokban árulnak, amelyek tartalma \(\frac{3}{4}\;\) liter, fél gallon vagy másfél gallon. Lehetséges, hogy amikor csövet akar vásárolni, a következőt kéri: \(\frac{1}{8},\;\) \(\frac{7}{8},{\rm{\;}}\) \({ \rm {3}}\frac{1}{2}\), és nem kell megadnia a mértékegységet, amely ebben az esetben a hüvelyk.

Hasonló törtek alapvető műveletei

A \(\frac{3}{4}\) és \(\frac{2}{4}\) összegét a következő séma szemlélteti:

\(\frac{3}{4} + \frac{2}{4} = \frac{{3 + 2}}{4} = \frac{5}{4}\)

Miközben a kivonás a következőképpen történik:

\(\frac{3}{4} – \frac{2}{4} = \frac{{3 – 2}}{4} = \frac{1}{4}\)

Általánosságban a homogén frakciók esetében:

\(\frac{a}{d} + \frac{b}{d} = \frac{{a + b}}{d}\)

\(\frac{a}{d} – \frac{b}{d} = \frac{{a – b}}{d}\)

Az egyiptomiak és az egységtörtek

Az egyiptomi kultúra figyelemre méltó technológiai fejlődést ért el, és ez nem történt volna meg a matematikával egyenrangú fejlődés nélkül. Vannak történelmi leletek, ahol feljegyzések találhatók az egyiptomi kultúra törthasználatáról, egy sajátossággal, csak egységes törteket használtak.

Számos olyan eset van, amikor egy tört egységnyi törtek összegeként való írása olyan egyszerű, mint

\(\frac{3}{n} = \frac{1}{n} + \frac{1}{{2n}}\)

Abban az esetben, ha \(n = 2q + 1\), azaz páratlan, akkor a következőt kapjuk:

\(\frac{2}{n} = \frac{1}{{q + 1}} + \frac{1}{{n\left( {q + 1} \right)}}\)

Ezt két példával illusztráljuk.

A \(\frac{2}{{11}}\); ebben az esetben \(11 = 2\left( 5 \right) + 1\, ezért:

\(\frac{2}{{11}} = \frac{1}{6} + \frac{1}{{11\left( 6 \right)}},\)

vagyis,

\(\frac{2}{{11}} = \frac{1}{6} + \frac{1}{{66}}\)

A \(\frac{2}{{17}}\); ebben az esetben \(17 = 2\left( 8 \right) + 1\),

\(\frac{2}{{15}} = \frac{1}{8} + \frac{1}{{120}}\)

Ezután megmutatunk néhány törtet egységtörtek összegeként,

Töredék	Kifejezés egységtörtek összegeként	Töredék	Kifejezés egységtörtek összegeként
\(\frac{3}{n}\)	\(\frac{1}{n} + \frac{1}{{2n}}\)	\(\frac{5}{8}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{8}\)
\(\frac{2}{3}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{6}\)	\(\frac{7}{8}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8}\)
\(\frac{3}{4}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{4}\)	\(\frac{2}{9}\)	\(\frac{1}{5} + \frac{1}{{45}}\)
\(\frac{3}{5}\)	\(\frac{1}{5} + \frac{1}{{10}}\)	\(\frac{5}{9}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{{18}}\)
\(\frac{4}{5}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{{20}}\)	\(\frac{7}{9}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{{36}}\)
\(\frac{5}{6}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{3}\)	\(\frac{8}{9}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{{18}}\)
\(\frac{3}{7}\)	\(\frac{1}{3} + \frac{1}{{11}} + \frac{1}{{231}}\)	\(\frac{4}{9}\)	\(\frac{1}{3} + \frac{1}{9}\)
\(\frac{4}{7}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{{14}}\)	\(\frac{5}{9}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{{18}}\)
\(\frac{5}{7}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{5} + \frac{1}{{10}}\)	\(\frac{5}{9}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{{18}}\)
\(\frac{6}{7}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{{42}}\)	\(\frac{{19}}{{20}}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5}\)

Az előző táblázat segítségével törteket adhatunk össze és ilyen összegeket fejezhetünk ki; egységtörtek összegeként.

Példák a heterogén frakciókra

1. példa

\(\frac{2}{5} + \frac{4}{9} = \left( {\frac{1}{3} + \frac{1}{{15}}} \right) + \bal ( {\frac{1}{3} + \frac{1}{9}} \right)\)

\(\frac{2}{5} + \frac{4}{9} = \frac{2}{3} + \frac{1}{{15}} + \frac{1}{9}\)

\(\frac{2}{5} + \frac{4}{9} = \left( {\frac{1}{2} + \frac{1}{6}} \right) + \frac{1 }{{15}} + \frac{1}{9}\)

2. példa

\(\frac{4}{7} + \frac{5}{9} = \left( {\frac{1}{2} + \frac{1}{{14}}} \right) + \bal ( {\frac{1}{2} + \frac{1}{{18}}} \right)\)

\(\frac{2}{7} + \frac{5}{9} = 1 + \frac{1}{{14}} + \frac{1}{{18}}\)

Végül ugyanazt a törtet kifejezhetjük egységtörtek összegeként, más módon:

\(\frac{8}{{63}} = \frac{1}{8} + \frac{1}{{504}}\)

\(\frac{8}{{63}} = \frac{1}{9} + \frac{1}{{63}}\)

\(\frac{8}{{63}} = \frac{1}{{14}} + \frac{1}{{18}}\)