Az egyenértékű törtek meghatározása

Két vagy több törtet egyenértékűnek mondunk, ha ugyanazt a mennyiséget képviselik, vagyis ha
\(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\;,\)
a \(\frac{a}{b}\) és \(\frac{c}{d}\) törteket egyenértékűnek mondjuk.

Egyenértékű törtek: Grafikus ábrázolás

Tekintsük a négyzetet, amelyet negyedekre, harmadokra, nyolcadokra és tizenkettedekre osztunk.

Az előző ábrákból a következő egyenértékűségeket vettük észre:

Hogyan lehet egy vagy több egyenértékű frakciót szerezni?

Két alapvető módszer létezik egy adott törtnek megfelelő tört meghatározására.

1. Szorozzuk meg a számlálót és a nevezőt ugyanazzal a pozitív számmal.

Példák:

\(\frac{3}{4} = \frac{{3\left( 5 \right)}}{{4\left( 5 \right)}} = \frac{{15}}{{20}} \)

\(\frac{3}{4} = \frac{{3\left( 7 \right)}}{{4\left( 7 \right)}} = \frac{{21}}{{28}} \)

\(\frac{5}{8} = \frac{{5\left( 6 \right)}}{{8\left( 6 \right)}} = \frac{{30}}{{56}} \)

2. A számláló és a nevező azonos pozitív közös osztójával van osztva.

\(\frac{{52}}{{56}} = \frac{{52 \div 4}}{{56 \div 4}} = \frac{{13}}{{14}}.\)

\(\frac{{80}}{{140}} = \frac{{80 \div 20}}{{140 \div 20}} = \frac{4}{7}.\)

\(\frac{{21}}{{57}} = \frac{{21 \div 3}}{{57 \div 3}} = \frac{7}{{19}}\)

Ha egy törtben a számlálót és a nevezőt is ugyanazzal a közös osztóval osztjuk, amely nem 1, akkor azt mondjuk, hogy a tört csökkent.

redukálhatatlan törtek

Egy törtet akkor nevezünk redukálhatatlan törtnek, ha a számláló és a nevező legnagyobb közös osztója 1.

Ha \(gcd\left( {a, b} \right) = 1,\) a \(\frac{a}{b}\) törtet irreducibilis törtnek nevezzük.

Adott egy \(\frac{a}{b}\) tört, hogy ezzel a törttel egyenértékű törtet kapjunk, amely szintén egy irreducibilis tört, a számlálót és a számlálót elosztjuk \(a\;\) és a legnagyobb közös osztójával \(b.\)

Az alábbi táblázat példákat mutat be az irreducibilis és redukálható törtekre; ha redukálható, megmutatja, hogyan lehet egy irreducibilis ekvivalens törtet kapni.

Töredék	Legnagyobb közös osztó	Nem csökkenthető	irreducibilis ekvivalens tört
\(\frac{{14}}{{42}}\)	7	Nem	\(\frac{{14}}{{42}} = \frac{{14 \div 7}}{{42 \div 7}} = \frac{2}{7}\)
\(\frac{3}{{25}}\)	1	Igen	\(\frac{3}{{25}}\)
\(\frac{{21}}{{201}}\)	3	Nem	\(\frac{{21 \div 3}}{{20\;1 \div 3}} = \frac{7}{{67}}\)
\(\frac{5}{{24}}\)	1	Igen	\(\frac{5}{{24}}\)
\(\frac{{72}}{{1125}}\)	9	Nem	\(\frac{{72}}{{1125}} = \frac{{72 \div 9}}{{1125 \div 9}} = \frac{8}{{125}}\)

Egyenértékű törtek: verbális ábrázolás.

A következő táblázat két különböző módot mutat be az egyenértékű információk számszerű megjelenítésére.

Verbális kifejezés	Egyenértékű kifejezés (numerikusan)	Érvelés
1930-ban Mexikóban 25 emberből 4 beszélt anyanyelvet.	1930-ban Mexikóban 100 emberből 16 beszélt anyanyelvet.	Mindkét adatot megszoroztuk 4-gyel
1960-ban Mexikóban minden 1000 emberből 104 beszélt anyanyelvet.	1960-ban Mexikóban 125 emberből 13 beszélt anyanyelvet.	Mindkét adatot elosztottuk 8-cal.

Egyenértékű törtek: Tizedesábrázolás

Az alábbi táblázat különböző tizedes számokat és az azokat reprezentáló törteket mutatja be.

Decimális szám	Töredék	egyenértékű tört	Tevékenységek
\(0.25\)	0,25=\(\frac{{25}}{{100}}\)	0,25=\(\frac{1}{4}\)	\(25 \div 25 = 1\) \(100 \div 25 = \)
\(1.4\)	\(1,4 = 1 + \frac{4}{{10}} = \frac{{14}}{{10}}\)	\(1,4 = \frac{7}{5}\)	\(14 \div 2 = 1\) \(10 \div 2 = 5\)
\(0.145\)	\(0,145 = \frac{{145}}{{1000}}\)	\(0,145 = \frac{{29}}{{200}}\)	\(145 \div 5 = 29\) \(1000 \div 5 = 200\)

Egyenértékű törtek: Százalékos ábrázolás

Az alábbi táblázat különböző tizedes számokat és az azokat reprezentáló törteket mutatja be.

Decimális szám	Töredék	egyenértékű tört	Tevékenységek
20%	\(\frac{{20}}{{100}}\)	\(\frac{1}{5}\)	\(20 \div 20 = 1\) \(100 \div 20 = 5\)
150%	\(\frac{{150}}{{100}}\)	\(\frac{3}{2}\)	\(150 \div 50 = 3\) \(100 \div 50 = 2\)
55%	\(\frac{{55}}{{100}}\)	\(\frac{{11}}{{20}}\)	\(55 \div 11 = 5\) \(100 \div 5 = 20\)

Egyenértékű törtek: Heterogéntől homogénig

Adott két heterogén tört \(\frac{a}{b}\) és \(\frac{c}{d}\), két törtet találhatunk homogén oly módon, hogy az egyik tört egyenértékű a \(\frac{a}{b}\;\) törttel, a másik pedig \(\frac{c}{d}\).

Ezután két eljárást mutatunk be az előző bekezdésben említettek végrehajtására.

Figyeljük meg:

\(\frac{a}{b} = \frac{{a\left( d \right)}}{{b\left( d \right)}}\)

\(\frac{c}{d} = {\rm{\;}}\frac{{c\left( b \right)}}{{d\left( b \right)}}\)

Az alábbi táblázat néhány példát mutat be.

F. heterogén	Tevékenységek	F. homogén
\(\frac{4}{5}\), \(\frac{2}{3}\)	\(\frac{{4\left( 3 \right)}}{{5\left( 3 \right)}} = \frac{{12}}{{15}}\) \(\frac{{2\left( 5 \right)}}{{3\left( 5 \right)}} = \frac{{10}}{{15}}\)	\(\frac{{12}}{{15}}\), \(\frac{{10}}{{15}}\)
\(\frac{7}{{12}}\), \(\frac{4}{{18}}\)	\(\frac{{7\left( {18} \right)}}{{12\left( {18} \right)}} = \frac{{126}}{{216}}\) \(\frac{{4\left( {12} \right)}}{{18\left( {12} \right)}} = \frac{{48}}{{216}}\)	\(\frac{{126}}{{216}},\) \(\frac{{48}}{{216}}\)
\(\frac{7}{{10}}\), \(\frac{3}{{14}}\), \(\frac{5}{4}\)	\(\frac{{7\left( {14} \right)\left( 4 \right)}}{{10\left( {14} \right) 4}} = \frac{{392}}{{ 560}}\) \(\frac{{3\left( {10} \right)\left( 4 \right)}}{{14\left( {10} \right)\left( 4 \right)}} = \frac{ {120}{{560}}\) \(\frac{{5\left( {10} \right)\left( {14} \right)}}{{4\left( {10} \right)\left( {14} \right)}} = \frac{{700}}{{560}}\)	\(\frac{{392}}{{560}}\), \(\frac{{120}}{{560}},\) \(\frac{{700}}{{560}}\)

Ennek a módszernek az a hátránya, hogy az eljárás során nagyon nagy számok állíthatók elő; Sok esetben elkerülhető, ha a nevezők legkisebb közös többszörösét számítjuk ki, és a második módszer a legkisebb közös többszörös számításán alapul.

A legkisebb közös többszörös a törtek számításakor

Ezután két példán keresztül, hogyan kaphatunk homogén törteket a nevezők legkisebb közös többszörösével, amely az érintett törtek közös nevezője lesz.

Tekintsük a törteket: \(\frac{7}{{12}}\), \(\frac{4}{{18}}.\)

\(12\) és \(18\) legkisebb közös többszöröse \(36\); Most

\(36 \div 12 = 3\)

\(36 \div 18 = 2\)

\(\frac{7}{{12}} = \frac{{7\left( 3 \right)}}{{12\left( 3 \right)}} = \frac{{21}}{{36 }},\)

\(\frac{4}{{18}} = \frac{{4\left( 2 \right)}}{{18\left( 2 \right)}} = \frac{8}{{36}} \)

Most vegyük figyelembe a törteket: \(\frac{7}{{10}}\), \(\frac{3}{{14}}\), \(\frac{5}{4}\)

A \(10\), \(14\) és \(3\) legkisebb közös többszöröse \(140\); Most

\(140 \div 10 = 14\)

\(140 \div 14 = 10\)

\(140 \div 4 = 35\)

\(\frac{7}{{10}} = \frac{{7\left( {14} \right)}}{{10\left( {14} \right)}} = \frac{{98} }{{140}},\)

\(\frac{3}{{14}} = \frac{{3\left( {10} \right)}}{{14\left( {10} \right)}} = \frac{{30} }{{140}}\)

\(\frac{5}{4} = \frac{{5\left( {35} \right)}}{{4\left( {35} \right)}} = \frac{{175}}{ {140}}\)

Az előző ábrákból a következő tényt vehetjük észre:

\(\frac{1}{4} = \frac{3}{{12}}\)

Íme további példák.

F. heterogén	min közös nevezők	Tevékenységek	F. homogén
\(\frac{1}{{14}}\) \(\frac{1}{{18}}\)	126	\(126 \div 14 = 9\) \(\frac{1}{{14}} = \frac{{1\left( 9 \right)}}{{14\left( 9 \right)}} = \frac{9}{{126}} \) \(126 \div 18 = 7\) \(\frac{1}{{18}} = \frac{{1\left( 7 \right)}}{{18\left( 7 \right)}} = \frac{7}{{126}} \)	\(\frac{9}{{126}}\), \(\frac{7}{{126}}\)
\(\frac{5}{6}\) \(\frac{2}{{15}},\) \(\frac{4}{9}\)	90	\(90 \div 6 = 15\) \(\frac{5}{6} = \frac{{5\left( {15} \right)}}{{6\left( {15} \right)}} = \frac{{75}}{ {90}}\) \(90 \div 15 = 6\) \(\frac{2}{{15}} = \frac{{2\left( {15} \right)}}{{15\left( 6 \right)}} = \frac{{30}}{ {90}}\) \(90 \div 9 = 10\) \(\frac{4}{9} = \frac{{4\left( {10} \right)}}{{9\left( {10} \right)}} = \frac{{40}}{ {90}}\)	\(\frac{{75}}{{90}}\), \(\frac{{30}}{{90}}\), \(\frac{{40}}{{90}}\)