Másodfokú/kvartikus egyenlet meghatározása

Egy másodfokú egyenlet, vagy ennek hiányában egy másodfokú egyenlet egy ismeretlenre vonatkoztatva a következő formában fejezhető ki:
\(a{x^2} + bx + c = 0\)
Ahol az ismeretlen \(x\), mindaddig, amíg \(a, b\) és c valós állandók, és \(a \ne 0.\)

A másodfokú egyenletek megoldására többféle technika létezik, beleértve a faktorizálást is, mely esetben a felbontás szerint a következő tulajdonságot kell figyelembe vennünk:

Ha két szám szorzata nulla, akkor két lehetőség van:

1. Mindkettő egyenlő nullával.
2. Ha az egyik nem nulla, akkor a másik nulla

A fentiek a következőképpen fejezhetők ki:
Ha \(pq = 0\), akkor \(p = 0\) vagy \(q = 0\).

1. gyakorlati példa: oldja meg a \({x^2} – 8\)=0 egyenletet

\({x^2} – 8 = 0\)	Kiinduló helyzet
\({x^2} – 8 + 8 = 8\)	Adjon hozzá 8-at az egyenlet mindkét oldalához a \({x^2}\) megoldásához
\(\sqrt {{x^2}} = \sqrt {{2^3}} = \sqrt {{2^2}2} = \sqrt {{2^2}} \sqrt 2 = 2\sqrt 2 \)	A négyzetgyök a \(x.\) izolálását keresi. 8-at faktorozzuk, és alkalmazzuk a gyökök és hatványok tulajdonságait.
\(\left| x \right| = 2\sqrt 2 \)	Megkapja a \({x^2}\) gyökerét
\(x = \pm 2\sqrt 2 \)

A \({x^2} – 8\)=0 megoldásai a következők:
\(x = – 2\sqrt 2 ,\;2\sqrt 2 \)

2. gyakorlati példa: Oldja meg a \({x^2} – 144\)=0 egyenletet

\({x^2} – 144 = 0\)	Kiinduló helyzet
\({x^2} – {12^2} = 0\)	A 144 négyzetgyöke 12. A négyzetek különbségét azonosítjuk.
\(\left( {x + 12} \right)\left( {x – 12} \right) = 0\)	A négyzetek különbségét figyelembe veszik
\(x + 12 = 0\) \(x = – 12\)	Tekintsük annak lehetőségét, hogy az \(x + 12\) tényező egyenlő 0-val. A kapott egyenletet megoldjuk.
\(x – 12 = 0\) \(x = 12\)	Tekintsük annak lehetőségét, hogy az \(x – 12\) tényező egyenlő 0-val. A kapott egyenletet megoldjuk.

A \({x^2} – 144 = 0\) egyenlet megoldásai a következők

\(x = – 12,\;12\)

3. gyakorlati példa: oldja meg a \({x^2} + 3x = 0\) egyenletet

\({x^2} + 3x = 0\)	Kiinduló helyzet
\(x\left( {x + 3} \right) = 0\)	Az \(x\)-t közös tényezőként azonosítjuk, és végrehajtjuk a faktorizálást.
\(x = 0\)	Tekintsük annak lehetőségét, hogy az \(x\) tényező egyenlő 0-val.
\(x + 3 = 0\) \(x = – 3\)	Tekintsük annak lehetőségét, hogy az \(x – 12\) tényező egyenlő 0-val. A kapott egyenletet megoldjuk.

A \({x^2} + 3x = 0\) egyenlet megoldásai a következők:
\(x = – 3,0\)

4. gyakorlati példa: Oldja meg a \({x^2} – 14x + 49 = 0\) egyenletet

\({x^2} – 14x + 49 = 0\)	Kiinduló helyzet
\({x^2} – 14x + {7^2} = 0\)	A 49 négyzetgyöke 7 és \(2x\left( 7 \right) = 14x.\) Egy tökéletes négyzetes trinomit azonosítunk.
\({\left( {x – 7} \right)^2} = 0\)	A tökéletes négyzetes trinomit négyzetes binomiális formában fejezzük ki.
\(x – 7 = 0\) \(x = 7\)

A \({x^2} – 14x + 49 = 0\) megoldása a következő:
\(x = 7\)

5. gyakorlati példa: Oldja meg a \(10{x^2} – 23x + 12 = 0\) egyenletet

\(10{x^2} – 23x + 12 = 0\)	Kiinduló helyzet
\(10{x^2} – 23x + 12 = 0\)	A termék \(\left( {10} \right)\left( {12} \right) = 120 = \left( { – 8} \right)\left( { – 15} \right)\)
\(\bal( {10{x^2} – 8x} \jobb) – 15x + 12 = 0\)	Ezt a következőképpen fejezzük ki: \( – 23x = – 18x – 15\)
\(2x\bal( {5x – 4} \jobbra) – 3\bal( {5x – 4} \jobbra) = 0\)	Határozza meg a \(2x\)-t közös tényezőként az első összeadásban, és vegye figyelembe. Határozza meg a \( – 3\) általános tényezőt a második összeadásban, és faktorozza azt.
\(\bal( {5x – 4} \jobbra)\bal( {2x – 3} \jobbra) = 0\)	A közös tényező tényezője \(5x – 4\)
\(5x – 4 = 0\) \(x = \frac{4}{5}\)	Tekintsük annak lehetőségét, hogy az \(5x – 12\) tényező egyenlő 0-val. A kapott egyenletet megoldjuk.
\(2x – 3 = 0\) \(x = \frac{3}{2}\)	Tekintsük annak lehetőségét, hogy a \(2x – 3\) tényező egyenlő 0-val. A kapott egyenletet megoldjuk.

A \(10{x^2} – 23x + 12 = 0\) megoldásai a következők:
\(x = \frac{4}{5},\;\frac{3}{2}\)

6. gyakorlati példa: Oldja meg a \({x^2} + 4x + 1 = 0\) egyenletet

\({x^2} + 4x + 1 = 0\)	Kiinduló helyzet A trinomiális nem tökéletes négyzet
\({x^2} + 4x + 1 – 1 = – 1\)	Adjunk hozzá -1-et az egyenlet mindkét oldalához.
\({x^2} + 4x = – 1\)	Mivel \(\frac{1}{2}\left( 4 \right) = 2\) \({2^2}\) hozzáadásával tökéletes négyzetet kapunk.
\({x^2} + 4x + 4 = – 1 + 4\)	Adja hozzá a \({2^2}\;\) karaktert az egyenlet mindkét oldalához. A bal oldal tökéletes négyzet.
\({\left( {x + 2} \right)^2} = 3\)	A tökéletes négyzetes trinomit négyzetes binomiális formában fejezzük ki.
\(\sqrt {{{\left( {x + 2} \right)}^2}} = \pm \sqrt 3 \)	Vegyük az egyenlet mindkét oldalának négyzetgyökét
\(\left| {x + 2} \right| = \sqrt 3 \) \(x = – 2 \pm \sqrt 3 \)	\(x\) megoldása.

A \({x^2} + 4x + 1 = 0\) megoldásai a következők:
\(x = – 2 – \sqrt 3 ,\; – 2 + \sqrt 3 \)

7. gyakorlati példa: Oldja meg a \(5{x^2} + 3x – 1 = 0\) egyenletet

\(5{x^2} + 3x – 1 = 0\)	Kiinduló helyzet A trinomiális nem tökéletes négyzet.
\(5{x^2} + 3x – 1 + 1 = 1\)	Adjunk hozzá 1-et az egyenlet mindkét oldalához
\(\frac{1}{5}\left( {5{x^2} + 3x} \right) = \frac{1}{5}\left( 1 \right)\)	Szorozzuk meg az egyenlet mindkét oldalával úgy, hogy \({x^2}\) együtthatója 1 legyen.
\({x^2} + \frac{3}{5}x = \frac{1}{5}\)	terméket forgalmazzák Mivel \(\frac{1}{2}\left( {\frac{3}{5}} \right) = \frac{3}{{10}}\), a \({\left( {) \frac{3}{{10}}} \right)^2} = \frac{9}{{100}}\) tökéletes négyzetes trinomikus.
\({x^2} + \frac{3}{5}x + \frac{9}{{100}} = \frac{1}{5} + \frac{9}{{100}}\)	Adjon hozzá 3-at az egyenlet mindkét oldalához a \({\left( {x + 2} \right)^2}\) megoldásához
\({\left( {x + \frac{3}{{10}}} \right)^2}\)=\(\frac{{29}}{{100}}\)	A tökéletes négyzetes trinomit kocka binomiálisként fejezzük ki.
\(\sqrt {{{\left( {x + \frac{3}{{10}}} \right)}^2}} = \sqrt {\frac{{29}}{{100}}} \ )	Vegyük az egyenlet mindkét oldalának négyzetgyökét
\(x = – \frac{3}{{10}} \pm \frac{{\sqrt {29} }}{{10}}\)	\(x\) megoldása.

A \(5{x^2} + 3x – 1 = 0\) megoldásai a következők:
\(x = – \frac{{3 + \sqrt {29} }}{{10}},\; – \frac{{3 – \sqrt {29} }}{{10}}\)

A fenti egyenletben használt eljárást arra használjuk, hogy megtaláljuk a másodfokú megoldások általános képletét.

A másodfokú egyenlet általános képlete.

Másodfokú egyenletek általános képlete

Ebben a részben megtudjuk, hogyan lehet általánosan megoldani egy másodfokú egyenletet

\(a \ne 0\) esetén tekintsük az \(a{x^2} + bx + c = 0\) egyenletet.

\(a{x^2} + bx + c = a\left( {{x^2} + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a}} \right) = 0\)

Mivel \(a \ne 0\) elég megoldani:

\({x^2} + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0\)

\({x^2} + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0\)	Kiinduló helyzet
\({x^2} + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} – \frac{c}{a} = – \frac{c}{a}\)	Adja hozzá a \( – \frac{c}{a}\) karakterláncot az egyenlet mindkét oldalához.
\({x^2} + \frac{b}{a}x = – \frac{c}{a}\)	Mivel \(\frac{1}{2}\left( {\frac{b}{a}} \right) = \frac{b}{{2a}}\), a \({\left( {) \frac{b}{{2a}}} \right)^2} = \frac{{{b^2}}}{{4{a^2}}}\) tökéletes négyzetes trinomit eredményez.
\({x^2} + \frac{b}{a}x + \frac{{{b^2}}}{{4{a^2}}} = \frac{{{b^2}} }{{4{a^2}}} – \frac{c}{a}\)	Az egyenlet bal oldala egy tökéletes négyzetháromtag.
\({\left( {x + \frac{b}{{2a}}} \right)^2} = \frac{{{b^2} – 4{a^2}c}}{{4{ a^2}}}\)	A tökéletes négyzetes trinomit négyzetes binomiális formában fejezzük ki. Az algebrai tört kész.
\(\sqrt {{{\left( {x + \frac{b}{{2a}}} \right)}^2}} = \sqrt {\frac{{{b^2} – 4{a^ 2}c}}{{4{a^2}}}} \)	Vegyük az egyenlet mindkét oldalának négyzetgyökét.
\(\left| {x + \frac{b}{{2a}}} \right| = \frac{{\sqrt {{b^2} – 4{a^2}c} }}{{2a} }\)	Radikális tulajdonságok érvényesek.
\(x + \frac{b}{{2a}} = \pm \frac{{\sqrt {{b^2} – 4{a^2}c} }}{{2a}}\)	Az abszolút értékű tulajdonságok érvényesek.
\(x + \frac{b}{{2a}} – \frac{b}{{2a}} = \pm \frac{{\sqrt {{b^2} – 4{a^2}c} } }{{2a}} – \frac{b}{{2a}}\)	Az egyenlet mindkét oldalához add hozzá a \( – \frac{b}{{2a}}\) karakterláncot a \(x\) megoldásához.
\(x = \frac{{ – b \pm \sqrt {{b^2} – 4ac} }}{{2a}}\)	Az algebrai tört kész.

A \({b^2} – 4{a^2}c\) kifejezést a \(a{x^2} + bx + c = 0\) másodfokú egyenlet diszkriminánsának nevezzük.

Ha a fenti egyenlet diszkriminánsa negatív, akkor a megoldások komplex számok, és nincsenek valódi megoldások. Ez a megjegyzés nem tárgyalja az összetett megoldásokat.

Adott a \(a{x^2} + bx + c = 0\) másodfokú egyenlet, ha \({b^2} – 4{a^2}c \ge 0\). Ekkor ennek az egyenletnek a megoldásai:

\(\alpha = \frac{{ – b + \sqrt {{b^2} – 4ac} }}{{2a}}\)

\(\beta = \frac{{ – b – \sqrt {{b^2} – 4ac} }}{{2a}}\)

A kifejezés:

\(x = \frac{{ – b \pm \sqrt {{b^2} – 4ac} }}{{2a}}\)

Ezt a másodfokú egyenlet általános képletének nevezik.

8. gyakorlati példa: oldja meg a \(3{x^2} – 2x – 5 = 0\) egyenletet

\(nak nek\)	\(b\)	\(c\)	Megkülönböztető	valódi megoldások
\(3\)	\( – 2\)	\( – 5\)	\({2^2} – 4\left( 3 \right)\left( { – 5} \right) = 4 + 60 = 64\)	\(x = \frac{{ – \left( { – 2} \right) \pm \sqrt {64} }}{{2\left( 3 \right)}} = \frac{{2 \pm 8} }{6}\)

Az egyenlet megoldásai a következők:
\(\alpha = – 1,\;\beta = \frac{5}{3}\)

9. gyakorlati példa: Oldja meg a \( – 4{x^2} + 3x + 9 = 0\) egyenletet

\(nak nek\)	\(b\)	\(c\)	Megkülönböztető	valódi megoldások
\( – 4\)	3	9	\({3^2} – 4\bal( { – 4} \jobbra)\bal( 9 \jobbra) = 9 + 144 = 153\) \(153 = 9\bal( {17} \jobb)\)	\(x = \frac{{ – 3 \pm \sqrt {9\left( {17} \right)} }}{{2\left( { – 4} \right)}} = \frac{{ – 3 \pm 3\sqrt {17} }}{{ – 8}}\)

Az egyenlet megoldásai a következők:
\(\alpha = \frac{{3 – 3\sqrt {17} }}{8},\;\beta = \frac{{3 + 3\sqrt {17} }}{8}\)

10. gyakorlati példa: Oldja meg a \(5{x^2} – 4x + 1 = 0\) egyenletet

\(nak nek\)	\(b\)	\(c\)	Megkülönböztető	valódi megoldások
\(5\)	-4	\(1\)	\({\left( { – 4} \right)^2} – 4\left( 5 \right)\left( 1 \right) = 16 – 20 = – 4\)	Nem rendelkezik

Vegyes egyenletek

Vannak nem másodfokú egyenletek, amelyek másodfokú egyenletté alakíthatók, két esetet fogunk látni.

11. gyakorlati példa: A \(6x = 5 – 13\sqrt x \) egyenlet valós megoldásainak megkeresése

Az \(y = \sqrt x \) változó változtatásával az előző egyenlet a következőképpen marad:

\(6{y^2} = 5–13 év\)

\(6{y^2} + 13 év – 5 = 0\)

\(6{y^2} + 15 év – 2 év – 5 = 0\)

\(3y\bal( {2y + 5} \right) – \left( {2y + 5} \right) = 0\)

\(\left( {2y + 5} \right)\left( {3y – 1} \right) = 0\)

Ezért \(y = – \frac{2}{5},\;\frac{1}{3}\).

Mivel a \(\sqrt x \) csak pozitív értékeket jelöl, csak a következőket vesszük figyelembe:

\(\sqrt x = \;\frac{1}{3}\)

Válasz:

Az egyetlen igazi megoldás:
\(x = \frac{1}{9}\)

12. működő példa: Oldja meg a \(\sqrt {\frac{x}{{x – 5}}} – \sqrt {\frac{{x – 5}}{x}} = \frac{5}{6 }\)

A változó módosítása:

\(y = \sqrt {\frac{x}{{x – 5}}} \)

Kapjuk az egyenletet:

\(y – \frac{1}{y} = \frac{5}{6}\)

\(6{y^2} – 6 = 5y\)

\(6{y^2} – 5y – 6 = 0\)

\(6{y^2} – 9 év + 4 év – 6 = 0\)

\(3y\bal( {2y – 3} \jobbra) + 2\bal( {2y – 3} \jobbra) = 0\)

\(\left( {2y – 3} \right)\left( {3y + 2} \right) = 0\)

A \(y\) lehetséges értékei a következők:

\(y = – \frac{2}{3},\;\frac{3}{2}\)

A fentiek közül csak a pozitív megoldást vesszük figyelembe.

\(\sqrt {\frac{x}{{x – 5}}} = \frac{3}{2}\)

\(\frac{x}{{x – 5}} = \frac{9}{4}\)

\(4x = 9x – 45\)

\(5x = 45\)

\(x = 9.\)

A megoldások \(x = 9.\)