Az aritmetikai progresszió definíciója

A \({a_1},\;{a_2},{a_3}, \ldots \) ​​számsorozatot aritmetikai sorozatnak nevezzük, ha két egymást követő szám különbsége azonos számmal \(d\), ez igen:

\({a_{n + 1}} - {a_n} = d\)

A \(d\) számot az aritmetikai progresszió különbségének nevezzük.

A \({a_1}\) elemet az aritmetikai sorozat első elemének nevezzük.

Az aritmetikai sorozat elemei az első elemmel és annak különbségével fejezhetők ki, azaz:

\({a_1},{a_1} + d,{a_1} + 2d,{a_1} + 3d\)

Ezek az aritmetikai sorozat első négy eleme; Általában a \(k – \)-edik elemet a következőképpen fejezzük ki:

\({a_k} = {a_1} + \left( {k – 1} \jobbra) d\)

A fenti kifejezésből a következőket kapjuk:

\({a_k} – {a_l} = {a_1} + \left( {k – 1} \right) d – \left( {{a_1} + \left( {l – 1} \right) d} \jobb )\)

\({a_k} – {a_l} = \left( {k – l} \jobbra) d\)

A fenti kifejezés egyenértékű a következővel:

\({a_k} = {a_l} + \left( {k – l} \jobbra) d\)

Példák az aritmetikai progresszióhoz

1. Keresse meg az aritmetikai progresszió különbségét: \(3,8,13,18, \ldots \) ​​​​és az elemeket \({a_{20}},\;{a_{99}}\)

Megoldás

Mivel \(5 = 8 – 3 = 13 – 8 = 18 – 3\), megállapíthatjuk, hogy a különbség:

\(d = 5\)

\({a_{20}} = {a_1} + \bal( {20 – 1} \jobbra) d = 3 + 19\bal( 5 \jobbra) = 98\)

\({a_{99}} = {a_1} + \bal( {99 – 1} \jobbra) d = 3 + 98\bal( 5 \jobbra) = 493\)

2. Egy aritmetikai sorozatban a következőkre van szükségünk: \({a_{17}} = 20\;\) és \({a_{29}} = – 130\), határozzuk meg az aritmetikai sorozat különbségét, és írjuk fel az első 5 elemet.

Megoldás

Fárasztó

\({a_k} – {a_l} = \left( {k – l} \jobbra) d\)

\({a_{29}} – {a_{17}} = \left( {29 – 17} \right) d\)

\( – 130 – 20 = \bal( {12} \jobb) d\)

\( – 150 = \bal( {12} \jobb) d\)

\(12d = – 150\)

\(d = – \frac{{150}}{{12}} = – \frac{{25}}{2}\)

Az első 5 elem megtalálása; kiszámoljuk \({a_1}\):

\({a_k} = {a_1} + \left( {k – 1} \jobbra) d\)

\({a_{17}} = {a_1} + \bal( {17 – 1} \jobbra)\bal( { – \frac{{25}}{2}} \jobbra)\)

\(20 = {a_1} + \left( {16} \right)\left( { – \frac{{25}}{2}} \right)\)

\(20 = {a_1} – 200\)

\({a_1} = 20 + 200 = 220\)

Az első 5 elem a következő:

\(220,220 + \left( { – \frac{{25}}{2}} \right),220 + 2\left( { – \frac{{25}}{2}} \right),220 + 3 \left( { – \frac{{25}}{2}} \right),220 + 4\left( { – \frac{{25}}{2}} \right)\)

\(220,\frac{{415}}{2},195,\frac{{365}}{2},170\)

Sokszögszámok és egy aritmetikai sorozat első \(n\) elemeinek összege

háromszög számok

A \({T_n}\;\) háromszögszámok az aritmetikai sorozatból származnak: \(1,2,3,4 \ldots \); a következő módon.

\({T_1} = 1\)

\({T_2} = 1 + 2 = 3\)

\({T_3} = 1 + 2 + 3 = 6\)

\({T_4} = 1 + 2 + 3 + 4 = 10\)

négyzetszámok

A \({C_n}\;\) négyzetszámok az aritmetikai sorozatból származnak: \(1,3,5,7 \ldots \); alábbiak szerint

\({C_1} = 1\)

\({C_2} = 1 + 3 = 4\)

\({C_3} = 1 + 3 + 5 = 9\)

\(C{\;_4} = 1 + 3 + 5 + 7 = 16\)

ötszögletű számok

A \({P_n}\;\) négyzetszámok az aritmetikai sorozatból származnak: \(1,3,5,7 \ldots \); alábbiak szerint

\({P_1} = 1\)

\({P_2} = 1 + 4 = 5\)

\({P_3} = 1 + 4 + 7 = 12\)

\({P_4} = 1 + 4 + 7 + 10 = 22\)

Ezután megmutatjuk a képletet, amellyel megkereshetjük egy aritmetikai sorozat első \(n\) elemeinek összegét.

Adott az aritmetikai progresszió, \({a_1},{a_2} = {a_1} + d,{a_3} + 2d, \ldots .,{a_n} = {a_1} + \left( {n – 1} \right) d\). A \({S_n} = {a_1} + {a_2} + {a_3} + \ldots + {a_n};\) összeg kiszámításához használhatja a következő képletet:

\({S_n} = \frac{{n\left( {{a_1} + {a_n}} \right)}}{2}\)

ami egyenértékű azzal

\({S_n} = \frac{{n\left( {2{a_1} + \left( {n – 1} \right) d} \right)}}{2}\)

Az előző képlet alkalmazásával megkapjuk a háromszög-, négyzet- és ötszögszámok kiszámításához szükséges képleteket; amelyeket a következő táblázat mutat be.

sokszögű szám	\({a_1}\)	\(d\)	Képlet
Háromszög \(n – \)th	1	1	\({T_n} = \frac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2}\)
Négyzet \(n – \)th	1	2	\({C_n} = {n^2}\)
Ötszögletű \(n – \)th	1	3	\({P_n} = \frac{{n\left( {3n – 1} \right)}}{2}\)

Példa sokszögű számokra

3. A 2. példából számítsa ki \({S_{33}}\).

Megoldás

Ebben az esetben \({a_1} = 200\) és \(d = – \frac{{25}}{2}\)

jelentkezését

\({S_n} = \frac{{n\left( {2{a_1} + \left( {n – 1} \right) d} \right)}}{2}\)

\({S_{33}} = \frac{{34\left( {2\left( {200} \right) + \left( {33 – 1} \right)\left( { – \frac{{25 }}{2}} \jobbra)} \jobbra)}}{2}\)

\({S_{33}} = 17\left( {400 + 16\left( { – 25} \right)} \right) = 17\left( 0 \right) = 0\)

számtani jelenti

Adott két szám \(a\;\) és \(b,\) a \({a_2},{a_3}, \ldots ,{a_{k + 1}}\) számok \(k\) jelentése számtani számok \(a\;\) és \(b\); ha a \(a,{a_2},{a_3}, \ldots ,{a_{k + 1}},b\) sorozat egy aritmetikai sorozat.

Az \(a\;\) és \(b\) számok \(k\) számtani középértékeinek ismeretéhez elegendő ismerni a számtani progresszió különbségét, ehhez a következőket kell tenni figyelembe vett:

\(a = {a_1},{a_2},{a_3}, \ldots ,{a_{k + 1}},{a_{k + 2}} = b,\)

A fentiek alapján megállapítjuk a kapcsolatot:

\(b = a + \left( {k + 2 – 1} \jobb) d\)

Megoldva \(d\) a következőt kapjuk:

\(d = \frac{{b – a}}{{k + 1}}\)

példák

4. Keress 7 számtani átlagot a -5 és 25 számok között!

Megoldás

A jelentkezéskor

\(d = \frac{{b – a}}{{k + 1}}\)

\(b = 25,\;a = – 5\) és \(k = 7\;\):

\(d = \frac{{25 – \left( { – 5} \right)}}{{7 + 1}} = \frac{{30}}{8} = \frac{{15}}{4 }\)

A 7 számtani átlag a következő:

\( – \frac{5}{4},\;\frac{5}{2},\;\frac{{25}}{4},10,\frac{{55}}{4},\ frac{{35}}{2},\frac{{85}}{4}\)

9. Egy személy 2000 dollárt adott előlegként egy hűtőszekrény megvásárlására, a többit pedig hitelkártyájával fizette 18 hónapig kamat nélkül. Havi 550 dollárt kell fizetnie, hogy kiegyenlítse az adósságát, amelyet azért szerzett, hogy kifizesse a hűtőszekrényét.

nak nek. Mennyibe kerül a hűtőszekrény?

b. Ha a többit 12 hónapon keresztül kamat nélkül fizeti, mennyi lenne a havi törlesztőrészlet?

Megoldás

nak nek. Ebben az esetben:

\({a_{19}} = 2000 + 18\bal( {550} \jobb)\)

\({a_{19}} = 2000 + 9900 = 11900\)

b. A 2000 és 11900 számok között 11 számtani átlagot kell találnunk, amelyekre:

\(d = \frac{{11900 – 2000}}{{12}} = 825\)

5. A \(7,\;22,\;45,\;76,115,162\) sorozat alapján keresse meg a következő 3 elemet és a \(n\) elem általános kifejezését.

Megoldás

A szóban forgó sorozat nem aritmetikai progresszió, mivel \(22 – 7 \ne 45 – 22\), de alkothatunk egy sorozat két egymást követő elem különbségével és a következő táblázat mutatja a eredmények:

A sorozat elemei \({b_n}\)	Sorozat \(\;{c_n} = {b_n} – {b_{n – 1}}\)	\(d = {c_{n + 1}} – {c_n}\)
\({b_1} = 7\)	\({c_1} = {b_1}\)
\({b_2} = 22\)	\({c_2} = {b_2} – {b_1} = 15\)	\({c_2} – {c_1} = 8\)
\({b_3} = 45\)	\({c_3} = {b_3} – {b_2} = \)23	\({c_3} – {c_2} = 8\)
\({b_4} = 76\)	\({c_4} = {b_4} – {b_3} = 31\)	\({c_4} – {c_3} = 8\)
\({b_5} = 115\)	\({c_5} = {b_5} – {b_4} = 39\)	\({c_5} – {c_4} = 8\)
\({b_6} = 162\)	\({c_6} = {b_6} – {b_5} = 47\)	\({c_6} – {c_5} = 8\)

A fenti táblázat harmadik oszlopa azt mondja, hogy a sorozat \(15,\;23,31,39,\;47, \ldots .\); egy számtani sorozat, amelynek különbsége \(d = 8\).

Ezután a \({b_n}\) sorozat elemeit a \({c_n},\) sorozatnak megfelelően írjuk fel.

\({b_1} = {c_1}\)

\({b_2} = {c_1} + {c_2}\)

\({b_3} = {b_2} + {c_3} = {c_1} + {c_2} + {c_3}\)

\({b_4} = {b_3} + {c_4} = {c_1} + {c_2} + {c_3} + {c_4}\)

Általában a következőkkel rendelkezik:

\({b_n} = {c_1} + {c_2} + {c_3} + \ldots + {c_n}\;\)

A jelentkezéskor

\({S_n} = \frac{{n\left( {2{c_1} + \left( {n – 1} \right) d} \right)}}{2}\)

\({c_1} = 7\) és \(d = 8,\) a következőket kapjuk:

\({b_n} = \frac{{n\left( {14 + \left( {n – 1} \right) 8} \right)}}{2}\)

\({b_n} = n\bal( {7 + 4\bal( {n – 1} \jobb)} \jobbra)\)

\({b_n} = n\bal( {4n + 3} \jobbra)\)

Az előző képlet alkalmazásával: \({b_7} = 217,\;{b_8} = 280,\;{b_9} = 351\)