A gyökök racionalizálásának definíciója (matematika)

A gyökök racionalizálása egy matematikai folyamat, amelyet akkor hajtanak végre, ha a nevezőben gyökökből vagy gyökekből álló hányados van. Ily módon megkönnyíthetők azok a matematikai műveletek, amelyekben gyökök hányadosai és más típusú matematikai objektumok szerepelnek.

Hányadosok típusai gyökökkel

Fontos megemlíteni néhány racionalizálható gyökös hányadostípust. Mielőtt azonban teljesen belevágnánk az egyszerűsítési folyamatba, emlékeznünk kell néhány fontos fogalmra. Először is tegyük fel, hogy a következő kifejezésünk van: \(\sqrt[m]{n}\). Ez a \(n\) szám \(m\) gyöke, vagyis az említett művelet eredménye egy olyan szám, amelyet \(m\) hatványra emelve a \(n\) számot kapjuk. ennek eredményeként). A hatvány és a gyök inverz műveletek, oly módon, hogy: \(\sqrt[m]{{{n^m}}} = n\).
Másrészt érdemes megemlíteni, hogy két egyenlő gyök szorzata egyenlő a szorzat gyökével, azaz: \(\sqrt[m]{n}\sqrt[m]{p} = \sqrt[m ]{{np}}\). Ez a két ingatlan lesz a legjobb szövetségesünk a racionalizálás során.

A legelterjedtebb és legegyszerűbb gyökös hányados, amelyet megtalálhatunk, a következő:

\(\frac{a}{{b\sqrt c }}\)

Ahol \(a\), \(b\) és \(c\) bármilyen valós szám lehet. A racionalizálási folyamat ebben az esetben abból áll, hogy megtaláljuk a módját, hogy a hányadosban megkapjuk a \(\sqrt {{c^2}} = c\) kifejezést, hogy megszabaduljunk a gyöktől. Ebben az esetben elég a számlálót és a nevezőt is megszorozni \(\sqrt c \)-vel:

\(\frac{a}{{b\sqrt c }} = \frac{a}{{b\sqrt c }}\frac{{\sqrt c }}{{\sqrt c }} = \frac{{ a\sqrt c }}{{b\sqrt c \sqrt c }}\)

Emlékezve a fent említettekre, tudjuk, hogy \(\sqrt c \sqrt c = \sqrt {{c^2}} = c\). Így végül azt kapjuk, hogy:
\(\frac{a}{{b\sqrt c }} = \frac{a}{{bc}}\sqrt c \)

Ily módon racionalizáltuk az előző kifejezést. Ez a kifejezés nem más, mint egy általános kifejezés konkrét esete, amely a következő:

\(\frac{a}{{b\sqrt[n]{{{c^m}}}}}\)

Ahol \(a\), \(b\), \(c\) bármely valós szám, \(n\), \(m\) pedig pozitív hatványok. Ennek a kifejezésnek a racionalizálása ugyanazon az elven alapul, mint az előző, vagyis a nevezőben a \(\sqrt[n]{{{c^n}}} = c\) kifejezést kapjuk. Ezt úgy érhetjük el, hogy a számlálót és a nevezőt is megszorozzuk \(\sqrt[n]{{{c^{n – m}}}}\)-vel:

\(\frac{a}{{b\sqrt[n]{{{c^m}}}}} = \frac{a}{{b\sqrt[n]{{{c^m}}}} }\frac{{\sqrt[n]{{{c^{n – m}}}}}}{{\sqrt[n]{{{c^{n – m}}}}}} = \frac{{a\sqrt[n]{{{c^{n – m}}}}}}{{b\sqrt[n]{{{c^m}}}\sqrt[n]{{{c^{n – m}}}}}}\)

A nevezőben lévő gyökök szorzatát a következőképpen alakíthatjuk ki: \(\sqrt[n]{{{c^m}}}\sqrt[n]{{{c^{n – m}}}} = \sqrt[n]{{{c^m}{c^ {n – m}}}} = \sqrt[n]{{{c^{m + \left( {n – m} \right)}}}} = \sqrt[n]{{{c^n}}} = c\). Ezért a racionalizált hányados így marad:

\(\frac{a}{{b\sqrt[n]{{{c^m}}}}} = \frac{a}{{bc}}\sqrt[n]{{{c^{n – m}}}}\)

A gyökök egy másik ésszerűsíthető hányadosa az, amelyben négyzetgyökű binomiális van a nevezőben:

\(\frac{a}{{b\sqrt c \pm d\sqrt e }}\)

Ahol \(a\), \(b\), \(c\), \(d\) és \(e\;\) bármely valós szám. A \(± \) szimbólum azt jelzi, hogy az előjel lehet pozitív vagy negatív. A nevező binomiálisnak lehet mindkét gyöke vagy csak az egyik, azonban ezt az esetet használjuk általánosabb eredmény eléréséhez. A racionalizálási folyamat végrehajtásának központi gondolata ebben az esetben ugyanaz, mint az előző esetekben, csak ez ebben az esetben a számlálót és a nevezőt is megszorozzuk a binomiális konjugáltjával. névadó. A binomiális konjugált olyan binomiális, amelynek ugyanazok a feltételei, de amelynek központi szimbóluma az eredeti binomiálissal ellentétes. Például az \(ux + vy\) binomiális konjugátuma \(ux – vy\). Ennek ellenére a következőkkel rendelkezünk:

\(\frac{a}{{b\sqrt c \pm d\sqrt e }} = \frac{a}{{b\sqrt c \pm d\sqrt e }}\frac{{b\sqrt c \ mp d\sqrt e }}{{b\sqrt c \mp d\sqrt e }} = \frac{{a\left( {b\sqrt c \mp d\sqrt e } \right)}}{{\left( {b\sqrt c \pm d\sqrt e } \right)\left( {b \sqrt c \mp d\sqrt e } \right)}}\)

A \(\mp \) szimbólum azt jelzi, hogy az előjel lehet pozitív vagy negatív, de a nevező szimbólumával ellentétesnek kell lennie ahhoz, hogy a binomiálisokat konjugálni lehessen. A nevező binomiálisainak szorzásának kidolgozásával azt kapjuk, hogy:

\(\frac{a}{{b\sqrt c \pm d\sqrt e }} = \frac{{a\left( {b\sqrt c \mp d\sqrt e } \right)}}{{{ b^2}\sqrt {{c^2}} + bd\sqrt {ce} – bd\sqrt {ce} – {d^2}\sqrt {{e^2}} }}\)

Végül ezt kapjuk:

\(\frac{a}{{b\sqrt c \pm d\sqrt e }} = \frac{a}{{{b^2}c – {d^2}e}}\left( {b\ sqrt c \mp d\sqrt e } \jobbra)\)

Ezzel a hányadost radikálissal racionalizáltuk. Ezek a gyökök hányadosai azok, amelyek általában racionalizálhatók. A következőkben néhány példát fogunk látni a gyökök racionalizálására.

példák

Nézzünk néhány példát a fent említett típusú gyökök hányadosával történő racionalizálásra. Először tegyük fel, hogy a következő hányadosunk van:

\(\frac{3}{{7\sqrt 2 }}\)

Ebben az esetben elegendő a számlálót és a nevezőt megszorozni \(\sqrt 2 \)-vel.

\(\frac{3}{{7\sqrt 2 }} = \frac{3}{{7\sqrt 2 }}\frac{{\sqrt 2 }}{{\sqrt 2 }} = \frac{3 }{{7\sqrt 2 \sqrt 2 }}\sqrt 2 = \frac{3}{{7\sqrt 4 }}\sqrt 2 = \frac{3}{{14}}\sqrt 2 \)

Tegyük fel, hogy a következő hányadosunk van a radikálissal:

\(\frac{2}{{3\sqrt[6]{{{4^3}}}}\)

Ebben az esetben van egy köbhatvány hatodik gyöke. Az előző részben említettük, hogy ha van egy \(\sqrt[n]{{{c^m}}}\) alakú gyök a nevező, a hányadost úgy racionalizálhatjuk, hogy a számlálót és a nevezőt megszorozzuk a következővel: \(\sqrt[n]{{{c^{n –m}}}}\). Összehasonlítva ezt az itt bemutatott esettel megállapíthatjuk, hogy \(n = 6\), \(c = 4\) és \(m = 3\), ezért Ezért az előző hányadost úgy racionalizálhatjuk, hogy a számlálót és a nevezőt megszorozzuk \(\sqrt[6]{{{4^3}}}\):

\(\frac{2}{{3\sqrt[6]{{{4^3}}}}} = \frac{2}{{3\sqrt[6]{{{4^3}}}} }\frac{{\sqrt[6]{{{4^3}}}}{{\sqrt[6]{{{4^3}}}}} = \frac{2}{{3\sqrt[6]{{{4^3}}}\sqrt[6]{{{4^3}}}}\sqrt[6]{{{4^3} }} = \frac{2}{{3\sqrt[6]{{{4^6}}}}}\sqrt[6]{{{4^3}}} = \frac{{\sqrt[6]{{{4^3}}}}}{6}\)

Végül tegyük fel, hogy a következő függvényünk van:

\(\frac{1}{{x + \sqrt x }}\)

Amint az előző részben látható, az ilyen típusú hányados gyökökkel való racionalizálásához meg kell szorozni a számlálót és a nevezőt a nevező konjugáltjával. Ebben az esetben a nevező konjugátuma \(x – \sqrt x \) lenne. Ezért a kifejezés a következő lenne:

\(\frac{1}{{x + \sqrt x }}\frac{{x – \sqrt x }}{{x – \sqrt x }} = \frac{1}{{\left( {x + \sqrt x } \right)\left( {x – \sqrt x } \right)}}\left( {x – \sqrt x } \right)\)

A nevező konjugált binomiálisainak szorzását kidolgozva végül azt kapjuk, hogy:

\(\frac{1}{{x + \sqrt x }} = \frac{{x – \sqrt x }}{{{x^2} – x}}\)

Hivatkozások

Aguilar Arturo, Bravo Fabián, Gallegos Herman, Cerón Miguel és Reyes Ricardo. (2009). Számtan. Mexikó: Pearson oktatás.