A Bernoulli-elv/egyenlet definíciója

A Bernoulli-elv, amelyet gyakran Bernoulli-egyenletnek is neveznek, a hidrodinamika és a folyadékmechanika egyik legfontosabb fogalma. Daniel Bernoulli svájci fizikus és matematikus fogalmazta meg 1738-ban munkája részeként.hidrodinamika” és része az energiamegmaradásnak egy ideális, mozgásban lévő folyadékban.

Képzeljük el a következő helyzetet: Van egy tömlőnk, amelyen át folyik a víz, amely bizonyos sebességgel és bizonyos nyomással hagyja el a tömlőt. Ezután egy ujjal részben lefedjük a tömlő kimeneti nyílását; ezzel látjuk, hogy a víz most nagyobb sebességgel jön ki. Ez a Bernoulli-elv gyakorlati példája.

Ideális folyadékok mozgás közben

A Bernoulli-elv a mozgásban lévő ideális folyadékokra vonatkozik, ezért mielőtt továbbfejtenénk ezt az elvet, fontos megemlíteni, hogy mit értünk ideális folyadékon. Az ideális folyadék egy valódi folyadék leegyszerűsítése, ez a folyadék leírása miatt történik Az ideális matematikailag egyszerűbb, és hasznos eredményeket ad, amelyeket később kiterjeszthetünk a fluid esetre is igazi.

Négy feltevés létezik, amelyek a folyadékot ideálisnak tekintik, és mindegyik az áramlással kapcsolatos:

• Állandó áramlás: Az állandó áramlás az, amelyben a folyadék mozgási sebessége a tér bármely pontján azonos. Más szavakkal, feltételezzük, hogy a folyadék nem megy turbulencián.

• Összenyomhatatlanság: Feltételezzük azt is, hogy egy ideális folyadék összenyomhatatlan, azaz állandó sűrűségű.

• Nem viszkozitás: A viszkozitás a folyadékok olyan tulajdonsága, amely általánosságban azt az ellenállást jelenti, amellyel a folyadék a mozgással szemben ellenáll. A viszkozitás a mechanikai súrlódáshoz hasonlónak tekinthető.

• Irrotációs áramlás: Ezzel a feltételezéssel arra utalunk, hogy a mozgó folyadék semmilyen körkörös mozgást nem végez útja egyetlen pontja körül sem.

Ezen feltevésekkel és ideális folyadékkal nagyban leegyszerűsítjük a matematikai kezelést és biztosítjuk az energia megtakarítást is, ami a kiindulópont az elve felé Bernoulli.

Bernoulli egyenlete megmagyarázta

Tekintsünk egy ideális folyadékot, amely egy csövön keresztül mozog az alábbi ábrán látható módon:

Most a munka és kinetikus energia tételt fogjuk használni, amely egy másik módja az energia megmaradás törvényének kifejezésére, és ez azt mondja nekünk, hogy:

\(W = {\rm{\Delta }}K\)

Ahol \(W\) a teljes mechanikai munka, és \({\rm{\Delta }}K\) a kinetikus energia változása két pont között. Ebben a rendszerben kétféle mechanikai munkánk van, az egyiket a folyadékra ható gravitációs erő, a másikat pedig a folyadék nyomása okozza. Legyen \({W_g}\) a gravitáció által végzett mechanikai munka, és \({W_p}\) a nyomás által végzett mechanikai munka, akkor azt mondhatjuk, hogy:

\({W_g} + {W_p} = {\rm{\Delta }}K\)

Mivel a gravitáció konzervatív erő, az általa végzett mechanikai munka egyenlő a két pont közötti gravitációs potenciális energia különbségével. A kezdeti magasság, amelyen a folyadék megtalálható, \({y_1}\), a végső magasság pedig \({y_2}\), ezért a következőket kapjuk:

\({W_g} = – {\rm{\Delta }}mg{\rm{\Delta }}y = – {\rm{\Delta }}mg\bal( {{y_2} – {y_1}} \jobb )\)

Ahol \({\rm{\Delta }}m\) a folyadéktömeg azon része, amely áthalad egy bizonyos ponton, és \(g\) a gravitáció okozta gyorsulás. Mivel az ideális folyadék összenyomhatatlan, akkor \({\rm{\Delta }}m = \rho {\rm{\Delta }}V\). Ahol \(\rho \) a folyadék sűrűsége, \({\rm{\Delta }}V\) pedig az a térfogatrész, amely egy ponton átáramlik. Ha ezt behelyettesítjük a fenti egyenletbe, a következőt kapjuk:

\({W_g} = – \rho g{\rm{\Delta }}V\left( {{y_2} – {y_1}} \jobbra)\)

Tekintsük most a folyadék nyomása által végzett mechanikai munkát. A nyomás az egységnyi területre kifejtett erő, azaz \(F = PA\). Másrészt a mechanikai munka a következőképpen definiálható: \(W = F{\rm{\Delta }}x\), ahol \(F\) az alkalmazott erő, és \({\rm{\Delta }}x\) az ebben az esetben végrehajtott elmozdulás az x tengelyen. Ebben az összefüggésben a \({\rm{\Delta }}x\)-t úgy tekinthetjük, mint annak a folyadékrésznek a hosszát, amely egy bizonyos ponton átáramlik. A két egyenletet kombinálva azt kapjuk, hogy \(W = PA{\rm{\Delta }}x\). Felismerhetjük, hogy \(A{\rm{\Delta }}x = {\rm{\Delta }}V\), vagyis ez a térfogat azon része, amely átfolyik az adott ponton. Ezért van, hogy \(W = P{\rm{\Delta }}V\).

A kezdeti ponton mechanikai munka történik a rendszeren \({P_1}{\rm{\Delta }}V\) és a végponton a rendszer mechanikai munkát végez a környezeten egyenlő \({P_2}{\rm{\Delta }}V\). A folyadék nyomása miatti mechanikai munka ekkor a rendszeren végzett munka mínusz a környezetén végzett munka, azaz:

\({W_p} = {P_1}{\rm{\Delta }}V – {P_2}{\rm{\Delta }}V = \bal( {{P_1} – {P_2}} \jobb){\rm {\Delta }}V\)

Végül a kinetikus energia különbsége \({\rm{\Delta }}K\) egyenlő lesz a végponti kinetikus energiával, mínusz a kinetikus energiával a kezdőpontban. Azaz:

\({\rm{\Delta }}K = \frac{1}{2}{\rm{\Delta }}mv_2^2 – \frac{1}{2}{\rm{\Delta }}mv_1^ 2 = \frac{1}{2}{\rm{\Delta }}m\left( {v_2^2 – v_1^2} \jobbra)\)

A fentiekből tudjuk, hogy \({\rm{\Delta }}m = \rho {\rm{\Delta }}V\). Ekkor a fenti egyenlet a következő:

\({\rm{\Delta }}K = \frac{1}{2}\rho {\rm{\Delta }}V\left( {v_2^2 – v_1^2} \jobbra)\)

Az energiamegmaradási egyenletben kapott összes eredményt behelyettesítve azt kapjuk, hogy:

\(\left( {{P_1} – {P_2}} \right){\rm{\Delta }}V – \rho {\rm{\Delta }}V\left( {{y_2} – {y_1}} \right) = \frac{1}{2}\rho {\rm{\Delta }}V\left( {v_2^2 – v_1^2} \jobbra)\)

A \({\rm{\Delta }}V\) kifejezést az egyenlet mindkét oldalán figyelembe vehetjük, ami a következőkhöz vezet:

\({P_1} – {P_2} – \rho g\left( {{y_2} – {y_1}} \right) = \frac{1}{2}\rho \left( {v_2^2 – v_1^2 } \jobb)\)

A hiányzó termékek fejlesztése során a következőket kell teljesítenünk:

\({P_1} – {P_2} – \rho g{y_2} + \rho g{y_1} = \frac{1}{2}\rho v_2^2 – \frac{1}{2}\rho v_1^ 2\)

Az egyenlet mindkét oldalán lévő összes tagot átrendezve azt kapjuk, hogy:

\({P_1} + \rho g{y_1} + \frac{1}{2}\rho v_1^2 = {P_2} + \rho g{y_2} + \frac{1}{2}\rho v_2^ 2\)

Ez az egyenlet rendszerünk kezdeti állapota és végső állapota közötti összefüggés. Végre elmondhatjuk, hogy:

\(P + \rho gy + \frac{1}{2}\rho {v^2} = állandó\)

Ez az utolsó egyenlet a Bernoulli-egyenlet, amelyből az elve származik. A Bernoulli-elv a mozgásban lévő ideális folyadék megmaradási törvénye.

Hivatkozások

David Halliday, Robert Resnick és Jearl Walker. (2011). A fizika alapjai. Egyesült Államok: John Wiley & Sons, Inc.