A középponti erő definíciója

A centripetális erő olyan erő, amely egy íves úton mozgó tárgyra hat. Ennek az erőnek az iránya mindig a görbe közepe felé irányul, és ez az, ami az objektumot ezen az úton tartja, megakadályozva, hogy egyenes vonalban folytassa a mozgását.

Görbe vonalú mozgás és centripetális erő

Tegyük fel, hogy van egy tárgyunk, amely körpályán mozog. Ennek a testnek a görbe vonalú mozgásának leírására szög- és lineáris változókat használnak. A szögváltozók azok, amelyek leírják az objektum mozgását a szögben, amelyet az útja mentén „söpör”. Másrészt a lineáris változók azok, amelyek használnak helyzetét a forgásponthoz képest és sebességét a tangenciális irányban ív.

A pályán mozgó objektum által tapasztalt centripetális gyorsulás \({a_c}\) kör alakú tangenciális sebességgel \(v\) és \(r\) távolságra a forgásponttól által adott:

\({a_c} = \frac{{{v^2}}}{r}\)

A centripetális gyorsulás egy lineáris változó, amelyet a görbe vonalú mozgás leírására használnak, és az ívelt út közepe felé irányul. Másrészt az objektum ω szögsebessége, azaz a söpört szög változási sebessége (radiánban) egységnyi idő alatt a következőképpen adódik:

\(\omega = \frac{v}{r}\)

Vagy megoldhatjuk a \(v\):

\(v = \omega r\)

Ez az összefüggés a lineáris sebesség és a szögsebesség között. Ha ezt beillesztjük a centripetális gyorsulás kifejezésébe, a következőt kapjuk:

\({a_c} = {\omega ^2}r\)

Newton második törvénye azt mondja, hogy egy test gyorsulása egyenesen arányos a rá kifejtett erővel és fordítottan arányos a tömegével. Vagy a legismertebb formájában:

\(F = ma\)

Ahol \(F\) az erő, \(m\) a tárgy tömege és \(a\) a gyorsulás. Görbe vonalú mozgás esetén, ha van centripetális gyorsulás, akkor erőnek is kell lennie centripetális \({F_c}\), amely a \(m\) tömegű testre hat, és amely a \({a_c}\) centripetális gyorsulást okozza, a mond:

\({F_c} = m{a_c}\)

Az előző kifejezéseket behelyettesítve a centripetális gyorsulásra a következőt kapjuk:

\({F_c} = \frac{{m{v^2}}}{r} = m{\omega ^2}r\)

A centripetális erő a görbevonalú pálya közepe felé irányul, és felelős azért folyamatosan változtatja a tárgy mozgási irányát, hogy mozgásban maradjon ívelt.

A gravitáció mint centripetális erő és Kepler harmadik törvénye

Kepler bolygó mozgásának harmadik törvénye kimondja, hogy a keringési periódus négyzete, azaz az idő Az az idő, amely alatt egy bolygó egy Nap körüli pályát megtesz, arányos a bolygó félnagytengelyének kockájával. pálya. Azaz:

\({T^2} = C{r^3}\)

Ahol \(T\) a keringési periódus \(C\), ez egy állandó, és \(r\) a félnagy tengely, vagyis a bolygó és a Nap közötti maximális távolság a keringési pályán.

Az egyszerűség kedvéért vegyünk egy \(m\) tömegű bolygót, amely körpályán mozog a Nap körül, bár ez az elemzés kiterjeszthető egy elliptikus pálya esetére is, és ugyanazt kaphatjuk eredmény. A bolygót a pályán tartó erő a gravitáció, ami a következő lesz:

\({F_g} = \frac{{G{M_S}m}}{{{r^2}}}\)

Ahol \({F_g}\) a gravitációs erő, \({M_S}\) a Nap tömege, \(G\) az egyetemes gravitációs állandó és \(r\) a bolygó távolsága és a nap. Ha azonban a bolygó körpályán mozog, centripetális erőt tapasztal \({F_c}\), amely az említett pályán tartja, és a szögsebesség szempontjából \(\omega \) lesz által adott:

\({F_c} = m{\omega ^2}r\)

A furcsaság az, hogy ebben az esetben a gravitáció az a centripetális erő, amely a bolygót a pályáján tartja, néhány szóban \({F_g} = {F_c}\), ezért kijelenthetjük, hogy:

\(\frac{{G{M_S}m}}{{{r^2}}} = m{\omega ^2}r\)

Amit így leegyszerűsíthetünk:

\(G{M_S} = {\omega ^2}{r^3}\)

A szögsebesség a következőképpen kapcsolódik a keringési periódushoz:

\(\omega = \frac{{2\pi }}{T}\)

Ha ezt behelyettesítjük az előző egyenletbe, azt kapjuk, hogy:

\(G{M_S} = \frac{{4{\pi ^2}}}{{{T^2}}}{r^3}\)

A kifejezéseket átrendezve végül azt kapjuk, hogy:

\({T^2} = \frac{{4{\pi ^2}}}{{G{M_S}}}{r^3}\)

Ez utóbbi pontosan Kepler harmadik törvénye, amelyet korábban bemutattunk, és ha összehasonlítjuk az arányossági állandót, akkor ez \(C = 4{\pi ^2}/G{M_S}\).

Mi a helyzet a centrifugális erővel?

Gyakrabban fordul elő, hogy ez a fajta mozgás „centrifugális erőről” beszél a centripetális erő helyett. Mindenekelőtt azért, mert láthatóan ezt érezzük, amikor ezt tapasztaljuk. A centrifugális erő azonban a tehetetlenségből eredő fiktív erő.

Képzeljük el, hogy egy bizonyos sebességgel haladó és hirtelen fékező autóban ülünk. Amikor ez megtörténik, olyan erőt fogunk érezni, amely előre lök minket, de ez a látszólagos erő, amit érezünk, saját testünk tehetetlensége, amely meg akarja őrizni mozgásállapotát.

Görbe vonalú mozgás esetén a centrifugális erő annak a testnek a tehetetlensége, amely meg akarja tartani a mozgását. egyenes vonalú mozgás, de egy centripetális erőnek van kitéve, amely az íves pályán tartja.

Hivatkozások

David Halliday, Robert Resnick és Jearl Walker. (2011). A fizika alapjai. Egyesült Államok: John Wiley & Sons, Inc.