Teljes tér példa

A matematikai elemzés a matematikai tudományok azon ága, amely a tanulmányozással foglalkozik teljes hely, amely a metrikus tér egy típusa.

A metrikus tér pontpárokból és a köztük lévő távolság függvényéből áll; ezekben a terekben meghatározható egy Cauchy-szekvencia, amelyet a két pont közötti egyre kisebb távolságok alkotnak. Amikor a metrikus térben már nem lehet kisebb távolságot találni a sorozatban, akkor a teljes hely. A zárt numerikus halmazok, vagyis azok, amelyekben van határ, teljes szóközök.

Példa a teljes területre:

A természetes számok halmaza, beleértve a 0-t is, egy teljes tér, mivel ezt a halmazt a 0 vége zárja le. Ennek a számkészletnek a reprezentációja: N= [0, 1, 2,… n}.

Vegyünk bármelyik két pontot ennek a halmaznak két eleme, például a 4. és a 8. között, amelyeket a következő p = képvisel (4, 8), a két függvény távolságfüggvénye egyenlő 4-vel, a Cauchy-szekvenciát a {4, 3, 2, 1, 0} szekvencia adja, amely 0.

Egy másik példa a pozitív valós számok halmaza, amelyet a (z) {0} karakterrel alakítottunk ki, amely a következőképpen jelenik meg:

ÉS⁺= [0, 1, 2, 3, 4,…. N}, mivel adott két pont ebben a térben, a Cauchy-szekvencia akkor konvergál, ha a távolság 0

A racionális számok halmaza nem teljes tér, mivel a 0 távolság (a 0 szám számként nem létezik ebben a halmazban), ami miatt a Cauchy-szekvencia ennek egyetlen pontján sem konvergens készlet.

A természetes számok bármely zárt intervalluma teljes tér.