Példa a legkevesebb közös többszörösre

Két vagy több szám legkisebb közös többszöröse, amelyet az m.c.m rövidítés képvisel, az említett számok közös többszörösei közül a legkisebb, a nulla kivételével. A m.c.m megtalálásának legegyszerűbb módja A két vagy több szám közül az egyes számokat fő tényezőkre bontja. Tehát a legkevésbé közös többszörös megegyezik az összes közös és ritka tényező szorzatával, a legnagyobb kitevővel. Az ötlet tisztázása érdekében elemezzük a legkevésbé gyakori többszörös alábbi példáját:
1) Két hajó induljon együtt Mexikóvárosból. Az egyik tizenkét (12), a másik negyven (40) napon belül indul újra. A kérdés az, hány nap kell ahhoz, hogy mindkét hajó együtt induljon?
Ebben a példában azt kell tennünk, hogy megtaláljuk a 12 és 40 legkisebb közös többszörösét. Ehhez ezeket a számokat lebontjuk elsődleges tényezőire.
Nem. Fő tényezők
12 2
6 2
3 3
1
Nem. Fő tényezők
40 2
20 2
10 2
5 5
1
A példában egy szám prímtényezőkre bontása azt jelenti, hogy mindegyiket elosztjuk a legkisebb prímszámmal, amely pontosan osztja. Tehát a következő következtetésekre jutunk:

12 = 2 x 2 x 3, vagy ami azonos 12 = 2 négyzet (2) x3 y
40 = 2 x 2 x 2 x 5, vagy ami ugyanaz 40 = 2 kockás (3) x5
A legkevesebb közös többszöröse a gyakori és nem gyakori tényezők szorzata a legnagyobb kitevőjükkel, vagyis az m.c.m. 12 és 40 = 2 emelt kockás x 3 x 5, m.c.m 12 és 40 = 120, tehát a helyes válasz erre a példára az, hogy a hajók 120-on belül újra kijönnek napok.

Egy másik példa a legkevésbé gyakori többszörösre:

2) Két profi kerékpáros versenyzést folytat a velodrom pályáján. Az első 32 másodpercet vesz igénybe a teljes kör teljesítéséhez, a második pedig 48 másodpercet vesz igénybe. Milyen gyakran, másodpercek alatt találkoznak a kiindulási ponton?
A példa hasonló az előzőhöz, így a 32. és 48. számot kell lebontanunk elsődleges tényezőikre.
No. elsődleges tényezők
32 2
16 2
8 2
4 2
2 2
1
No. elsődleges tényezők
48 2
24 2
12 2
6 2
3 3
1
Ezért 32 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2, azaz 32 = 2 az ötödikre (5) és 48 = 2 x 2 x 2 x 2 x 3, azaz 48 = 2 a negyedikre (4) x 3 .
Mivel a legkevesebb közös többszörös megegyezik a közös és nem gyakori tényezők legnagyobb exponensével, ezért a 32 és 48 = 2 m.c.m értéke az ötödik x 3-ra emelkedett. A legkevésbé gyakori többszöröse 32 és 48 = 96, ezért erre a példára az a válasz, hogy a két kerékpáros újra találkozik a kiindulási pontnál, 96 másodpercnél.
3) Egy bankházban a biztonsági riasztásokat hatékonyan programozzák. Az első 10 másodpercenként, a második 15 másodpercenként, az utolsó pedig 20 másodpercenként szólal meg. Hány másodpercig működnek együtt a riasztások?
Az érvelés hasonló az előző példákhoz, ki kell számolnunk a 10, 15 és 20 legkisebb közös többszörösét. Ehhez elvégezzük a lebontás elsődleges tényezője a három szám.
No. elsődleges tényezők
10 2
5 5
1
No. elsődleges tényezők
15 3
5 5
1
No. elsődleges tényezők
20 2
10 2
5 5
1
Megvan, hogy 10 = 2 x 5, hogy 15 = 3 x 5 és hogy 20 = 2 négyzet (2) x 5. A 10, 15 és 20 legkisebb közös többszöröse = 2 négyzet (2) x 3 x 5 = 60. A válasz erre a példára az, hogy mindhárom riasztás 60 másodperc (egy perc) múlva együtt szólal meg.
Ne feledje, hogy a prímszámok azok a számok, amelyek csak az egység (1) és önmaguk között oszthatók meg.