Definisi Geometri Non-Euclidean

Pada dasarnya, geometri non-Euclidean adalah geometri yang muncul dari pertanyaan tentang apa yang disebut Postulat ke-5 Euclid, oleh karena itu karakterisasi umum karya Euclid adalah penting, yang adalah seorang ahli matematika dan geometri Yunani, yang karyanya paradigmatik untuk Geometri, untuk dianggap sebagai salah satu pendirinya. Itu diketahui dengan pasti keamanan yang tinggal di kota Alexandria, pusat budaya kuno, sekitar tahun 300 SM. C.

Dia bekerja Elemen itu dimulai dengan serangkaian "prinsip", terdiri dari daftar 23 definisi; diikuti oleh 5 postulat, mengacu pada angka-angka khusus geometris; dan 5 aksioma umum, umum untuk disiplin matematika lainnya. Selanjutnya, setelah prinsip, Euclid memperkenalkan "proposisi", dari dua jenis: masalah, mengacu pada

bangunan angka dengan aturan dan kompas; dan teorema, mengacu pada demonstrasi sifat-sifat yang beberapa angka geometris.

Postulat kelima Euclid

Dia menyatakan bahwa “Jika sebuah garis lurus yang jatuh pada dua garis lurus lainnya membuat sudut dalam dari sisi yang sama lebih kecil dari dua garis lurus, maka, jika dua garis diperpanjang tanpa batas, mereka bertemu di sisi yang sudutnya kurang dari dua lurus”. Jika sudut-sudutnya siku-siku, maka garis-garis seperti itu, menurut definisi no. 23, akan sejajar ("Garis sejajar adalah garis yang jika berada pada bidang yang sama dan diperpanjang tanpa batas, tidak bertemu ke segala arah.”).

Postulat ini, lebih kompleks dari yang sebelumnya, tidak dengan sendirinya tidak dapat disangkal: tidak jelas bahwa, memperpanjang garis tanpa batas, mereka akan berpotongan di sisi di mana sudutnya kurang dari dua sudut siku-siku, karena tidak mungkin untuk membuktikannya dengan bangunan. Kemudian, kemungkinan bahwa garis-garis itu saling mendekat tanpa batas tanpa pernah berpotongan dibiarkan terbuka.

Upaya untuk membuktikan postulat kelima

Karena alasan inilah, dari Zaman Kuno hingga pertengahan abad ke-19, ada serangkaian upaya yang gagal untuk membuktikan postulat kelima: sebuah bukti selalu dicapai; tetapi memperkenalkan beberapa postulat tambahan lainnya (secara logis setara dengan yang kelima), berbeda dari Euclid. Artinya, postulat kelima tidak dapat dibuktikan, tetapi digantikan oleh postulat yang setara.

Contohnya adalah postulat John Playfair (s. XVIII): “Sebuah titik yang sejajar dengan garis tersebut melalui sebuah titik di luar garis yang berada pada bidang yang sama." (dikenal sebagai "postulat paralel”). Geometri non-Euclidean muncul justru dari upaya yang gagal untuk membuktikan postulat kelima dari sistem Euclidean.

Tes absurditas Saccheri

Pada tahun 1733, matematikawan Italia Girolamo Saccheri berusaha membuktikan absurditas postulat kelima Euclid. Untuk melakukan ini, ia membangun segi empat (dikenal sebagai "segi empat Saccheri”, di mana satu pasang sudut siku-siku) dan menyatakan bahwa postulat kelima setara dengan proposisi bahwa sudut karakteristik (yang berhadapan dengan pasangan sudut siku-siku) dari segi empat itu juga merupakan sudut siku-siku. maka ada tiga hipotesa mungkin, saling eksklusif: bahwa dua sudut karakteristik siku-siku, lancip atau tumpul. Untuk membuktikan postulat kelima dengan absurd, perlu dibuktikan (tanpa menggunakan yang kelima mendalilkan) bahwa hipotesis dari sudut tumpul dan sudut lancip menyiratkan kontradiksi dan, oleh karena itu, adalah Salah.

Saccheri berhasil membuktikan bahwa hipotesis sudut tumpul bertentangan, tetapi ia tidak berhasil dalam kasus sudut lancip. Sebaliknya, ia menyimpulkan serangkaian teorema yang konsisten dengan dan tidak sesuai dengan geometri Euclidean. Akhirnya, dia menyimpulkan bahwa, mengingat keanehan teorema ini, hipotesisnya pasti salah. Akibatnya, dia percaya bahwa dia telah membuktikan postulat kelima tidak masuk akal; namun, apa yang dia lakukan adalah secara tidak sengaja membuktikan seperangkat teorema penting dari geometri non-Euclidean.

Penemuan "simultan" dari geometri non-Euclidean

Carl F. Gauss, pada abad kesembilan belas, adalah orang pertama yang menduga bahwa postulat kelima tidak dapat dibuktikan dari empat lainnya (yaitu, bahwa postulat kelima tidak dapat dibuktikan dari empat lainnya. independen) dan dalam memahami kemungkinan geometri non-Euclidean yang didasarkan pada empat postulat Euclidean dan pada negasi dari kelima. Dia tidak pernah mempublikasikan penemuannya: ini dianggap sebagai kasus penemuan simultan, karena ia memiliki tiga referen independen (Gauss sendiri, János Bolyai dan Nikolai Lobachevsky).

Penolakan untuk kelima hukum Euclidean menyiratkan dua kemungkinan (mengambil formulasi setara Playfair): melalui titik di luar garis lurus, baik tidak ada lintasan paralel, atau lebih dari satu lintasan paralel. Di antara geometri non-Euclidean yang kita temukan, misalnya, geometri "imajiner” oleh Lobachevsky, —kemudian dikenal sebagai “hiperbolis"- berdasarkan, "Diberikan titik luar pada suatu garis, garis berpotongan tak hingga, garis tak berpotongan tak hingga, dan hanya dua garis sejajar yang melalui titik tersebut.”, tidak seperti paralel Euclidean yang unik; atau geometri elips Bernhard Riemann, yang menyatakan bahwa "Melalui suatu titik di luar suatu garis, tidak ada garis yang melewati garis tersebut.”.

Aplikasi dan implikasi dari penemuan

Saat ini diketahui bahwa dalam ruang lokal, kedua geometri memberikan hasil yang mendekati. Perbedaan muncul ketika ruang fisik dijelaskan oleh satu geometri atau yang lain, mengingat jarak yang jauh. Meskipun kita terus menggunakan geometri Euclidean, karena geometri ini yang paling sederhana menggambarkan ruang kita pada skala lokal, penemuan geometri non-Euclidean sangat menentukan sejauh itu berarti transformasi radikal dari pemahaman kebenaran ilmiah.

Sampai saat itu, geometri Euclidean dianggap benar-benar menggambarkan ruang. Ketika membuktikan kemungkinan menggambarkannya melalui geometri lain, dengan postulat lain, perlu untuk memikirkan kembali kriteria yang memungkinkan untuk mengasumsikan satu penjelasan atau lainnya seperti "benar”.

Bibliografi

MARTINEZ LORCA, A. (1980) “Etika Socrates dan pengaruhnya pada pikiran Barat”, dalam Revista Baética: Estudios de Arte, Geografi dan Sejarah, 3, 317-334. Universitas Malaga.

Topik dalam Geometri Non-Euclidean