Apa itu Hirarki Operasi?

Hierarki operasi adalah konvensi matematika yang menetapkan urutan di mana tindakan perhitungan gabungan harus dilakukan pernyataan matematika yang sama, yaitu ketika ada pernyataan matematika yang terdapat operasi matematika (penjumlahan, pengurangan, perkalian, pembagian, pangkat, dan akar) digabungkan, ini harus dilakukan dalam urutan tertentu untuk sampai pada suatu hasil umum.

Tetapi mengapa hierarki dibutuhkan? Untuk menjawabnya, pertama-tama kita harus memahami dengan baik sifat operasi matematika, yang terdiri dari transformasi yang diterapkan pada elemen-elemen suatu himpunan. Mari kita pikirkan, misalnya, tentang himpunan bilangan real, yaitu bilangan yang kita semua tahu. Jika kita mengambil bilangan a dan menjumlahkannya dengan bilangan lain b, kita akan memperoleh bilangan c lain yang termasuk dalam himpunan bilangan real yang sama, yaitu:

a+b = c

Selain itu, urutan penambahan yang disajikan tidak mempengaruhi hasil akhir, yaitu a+b = b+a

, sifat ini disebut komutatif. Penting untuk berbicara tentang penjumlahan karena ini adalah operasi dasar dari mana semua yang lain berasal. Perkalian tidak lebih dari serangkaian penjumlahan berulang. Jika kita memiliki angka a lagi dan kita mengalikannya dengan angka b, yang kita lakukan terkadang adalah menjumlahkan angka b dengan dirinya sendiri, atau sebagai alternatif, menjumlahkan b dengan angka a dengan dirinya sendiri. Yang terakhir adalah karena perkalian bersifat komutatif seperti penjumlahan, ini menyiratkan bahwa: a⋅b = b⋅a. Hal tersebut di atas dapat dinyatakan sebagai:

Kita dapat dengan mudah memvisualisasikan ini dengan sebuah contoh. Ayo lakukan perkalian 5×2:

5×2 = 2×5 = 2+2+2+2+2 = 5+5 = 10

Sekarang, bagaimana jika kita harus melakukan operasi di mana kita menggabungkan penjumlahan dengan perkalian? Contoh: a⋅b+c. Bagaimana urutan penjumlahan dan perkalian yang harus dilakukan? Operasi mana yang harus kita pilih? Jika kita melakukan perkalian terlebih dahulu dan mengembangkannya sebagai penjumlahan, kita akan mendapatkan:

Sekarang, jika kita melakukan penjumlahan terlebih dahulu dan kemudian perkalian kita akan mendapatkan:

Karena penjumlahan bersifat komutatif, kita dapat mengelompokkan kembali sisi kanan persamaan untuk mendapatkan:

Membandingkan hasil yang diperoleh dalam kedua situasi, mudah untuk menyadari bahwa:

Kami kemudian menyimpulkan bahwa urutan keputusan untuk melakukan operasi memengaruhi hasil yang diperoleh. Hal yang sama terjadi ketika kita melibatkan kekuatan. Ketika kita menaikkan angka b ke pangkat c, yang kita lakukan adalah mengalikan c dengan angka b dengan dirinya sendiri, yaitu:

Kami sekarang melanjutkan untuk melakukan operasi gabungan berikut yang melibatkan perkalian dan pangkat a⋅b^C dalam urutan yang berbeda seperti yang kita lakukan pada kasus sebelumnya. Jika pertama-tama kita mengutamakan kekuatan, kita memiliki:

Sekarang, jika kita melakukan perkalian terlebih dahulu dan kemudian kekuatannya, kita akan mendapatkan:

Mengambil keuntungan dari komutatifitas perkalian, kita dapat mengelompokkan kembali sisi kanan persamaan sebagai:

Sekali lagi, kita dapat membandingkan hasil yang diperoleh dengan melakukan operasi dalam urutan yang berbeda untuk menyadari bahwa:

Juga dalam hal ini urutan operasi dilakukan mempengaruhi hasil yang diperoleh. Jadi, bagaimana urutan operasi yang harus dilakukan? Hierarki operasi menetapkan bahwa pangkat berada pada tingkat hierarki yang lebih tinggi daripada perkalian, sedemikian rupa sehingga pangkat didahulukan dalam pernyataan matematika. Pada gilirannya, perkalian memiliki tingkat hierarki yang lebih tinggi daripada penjumlahan.

Tapi bagaimana dengan pengurangan, pembagian, dan akar? Pengurangan adalah operasi kebalikan dari penjumlahan, ketika kita mengurangi angka b dari angka a kita mendapatkan angka lain c sehingga c+b=a. Hal serupa terjadi dengan pembagian dan pengurangan. Jika kita membagi suatu bilangan a dengan bilangan b dan mendapatkan bilangan c sebagai hasilnya, kita telah menemukan suatu bilangan sehingga b⋅c=a. Dan akhirnya, dengan menghitung akar b dari suatu bilangan a kita menemukan suatu bilangan c sehingga c^B=a. Persamaan ini masing-masing menempatkan pengurangan, pembagian, dan akar pada tingkat hierarki yang sama dengan penjumlahan, perkalian, dan pangkat.

Praktek tanda kurung dan kurung

Sekarang, apa yang terjadi jika kita ingin memprioritaskan beberapa operasi dalam pernyataan matematis terlepas dari tingkat hierarkinya? Untuk melakukan ini, tanda kurung dan tanda kurung siku digunakan. Misalkan kita memiliki pernyataan prinsip a⋅b+c. Dengan apa yang telah kita katakan sebelumnya kita sudah tahu bahwa kita harus melakukan perkalian terlebih dahulu baru kemudian penjumlahan. Tapi, bagaimana jika kita ingin hal ini tidak terjadi? Untuk melakukan ini, kita harus menggunakan tanda kurung atau tanda kurung siku untuk memisahkan penjumlahan dari perkalian dan dengan demikian memberikan prioritas untuk menghitung penjumlahan terlebih dahulu, yaitu: a⋅(b+c). Ini menyebabkan pernyataan yang dipisahkan oleh tanda kurung dan tanda kurung siku memiliki prioritas tertinggi di atas semua operasi lainnya.

Dengan semua yang disebutkan di atas, hierarki operasi, atau urutan pelaksanaannya, adalah sebagai berikut:

1) Tanda kurung dan tanda kurung
2) Kekuatan dan akar
3) Perkalian dan pembagian
4) Penjumlahan dan pengurangan

Referensi

H. Behnke, F. Bachman, K. Fladt, W. Suss, H. Gerike, F. Hohenberg, G. Pickert, H. Rau & S. H. Gould. (1983). Dasar-dasar Matematika: Volume I. Cambridge, Massachusetts dan London: MIT Press.