Definisi Perkembangan Geometris

Urutan angka \({{a}_{1}},~{{a}_{2}},{{a}_{3}},\ldots \); Disebut barisan geometri jika, mulai dari yang kedua, setiap elemen diperoleh dari perkalian yang sebelumnya dengan angka \(r\ne 0\), yaitu jika:
\({{a}_{n+1}}={{a}_{n}}r\)
Di mana:
- Angka \(r\) disebut rasio deret geometri.
- Elemen \({{a}_{1}}\) disebut elemen pertama dari deret aritmetika.

Unsur-unsur deret geometri dapat dinyatakan dalam unsur pertama dan rasionya, yaitu:
\({{a}_{1}},{{a}_{1}}r,{{a}_{1}}{{r}^{2}},{{a}_{1} {{r}^{3}}\)

Mereka adalah empat elemen pertama dari perkembangan aritmatika; secara umum, \(k-\)th elemen dinyatakan sebagai berikut:
\({{a}_{k}}={{a}_{1}}{{r}^{k-1}}\)

Ketika \({{a}_{1}}\ne 0,~\)dari ekspresi sebelumnya kita memperoleh:

\(\frac{{{a}_{k}}}{{{a}_{l}}}=\frac{{{a}_{1}}{{r}^{k-1}} }{{{a}_{1}}{{r}^{l-1}}}\)

\(\frac{{{a}_{k}}}{{{a}_{l}}}={{r}^{k-l}}\)

Ekspresi di atas setara dengan:

\({{a}_{k}}={{a}_{l}}{{r}^{k-l}}\)

Contoh/latihan 1. Temukan selisih barisan aritmetika: \(2,6,18,54,\ldots \) ​​​​dan temukan elemen \({{a}_{20}},~{{a}_{91}} \)

Larutan

Karena \(\frac{6}{2}=\frac{18}{6}=\frac{54}{18}=3\) kita dapat menyimpulkan bahwa rasionya adalah:

\(r=3\)

\({{a}_{20}}=2\left( {{3}^{20-1}} \right)=2{{\left( 3 \right)}^{19}}\)

\({{a}_{91}}=2\left( {{3}^{91-1}} \right)=2{{\left( 3 \right)}^{90}}\)

Contoh/latihan 2. Dalam deret aritmetika kita memiliki: \({{a}_{17}}=20~\)y \({{a}_{20}}=-1280\), tentukan rasio deret geometri dan tulis 5 elemen pertama.

Larutan

Memakai

\(\frac{{{a}_{k}}}{{{a}_{l}}}={{r}^{k-l}}\)

\(\frac{{{y}_{20}}}{{{y}_{17}}}={{r}^{20-17}}\)

\(\frac{-1280}{20}={{r}^{3}}\)

\(-64={{r}^{3}}\)

\(\sqrt[3]{-64}=\sqrt[3]{{{r}^{3}}}\)

\(-4=r\)

Untuk menemukan 5 elemen pertama dari deret aritmatika; kita akan menghitung \({{a}_{1}}\):

\({{a}_{k}}={{a}_{1}}{{r}^{k-1}}\)

\({{a}_{17}}={{a}_{1}}{{\left( r \right)}^{17-1}}\)

\(20={{a}_{1}}{{\left( -4 \right)}^{16}}\)

\(\frac{20}{{{4}^{16}}}={{a}_{1}}\)

\(\frac{5\left( 4 \right)}{{{4}^{16}}}={{a}_{1}}\)

\(\frac{5}{{{4}^{15}}}={{a}_{1}}\)

5 elemen pertama dari deret geometri adalah:

\(\frac{5}{{{4}^{15}}},~\frac{5}{{{4}^{15}}}\left( -4 \kanan),\frac{5} {{{4}^{15}}}{{\left( -4 \right)}^{2}},\frac{5}{{{4}^{15}}}{{\left( -4 \right)}^{3}},\frac{5}{{ {4}^{15}}}{{\left( -4 \kanan)}^{4}}\)

\(\frac{5}{{{4}^{15}}},-~\frac{5}{{{4}^{14}}},\frac{5}{{{4}^{ 13}}},-\frac{5}{{{4}^{12}}},\frac{5}{{{4}^{11}}}\)

Contoh/latihan 3. Sebuah kaca tipis menyerap 2% sinar matahari yang melewatinya.

ke. Berapa persentase cahaya yang akan melewati 10 kaca tipis tersebut?

B. Berapa persentase cahaya yang akan melewati 20 kaca tipis tersebut?

C. Tentukan persentase cahaya yang melewati \(n\) kaca tipis dengan karakteristik yang sama, ditempatkan secara berurutan.

Larutan

Kami akan mewakili dengan 1 total cahaya; dengan menyerap 2% cahaya, maka 98% cahaya melewati kaca.

Kami akan mewakili dengan \({{a}_{n}}\) persentase cahaya yang melewati kaca \(n\) .

\({{a}_{1}}=0,98,~{{a}_{2}}=0,98\left( 0,98 \right),~{{a}_{3}}={{\left( 0,98 \kanan)}^{2}}\kiri( 0,98 \kanan),\)

Secara umum \({{a}_{n}}={{\left( 0.98 \right)}^{n}}\)

ke. \({{a}_{10}}={{\left( 0.98 \right)}^{10}}=0.81707\); yang memberitahu kita bahwa setelah kaca 10 melewatkan 81,707% cahaya

B. \({{a}_{20}}={{\left( 0.98 \right)}^{20}}=~0.66761\); yang memberitahu kita bahwa setelah kaca 20 melewati 66,761%

Jumlah dari \(n\) elemen pertama dari deret geometri

Diketahui barisan geometri \({{a}_{1}},{{a}_{1}}r,{{a}_{1}}{{r}^{2}},{{a} 1}}{{r}^{3}}\)….

Ketika \(r\ne 1\) adalah jumlah dari elemen \(n\) pertama, jumlah:

\({{S}_{n}}={{a}_{1}}+{{a}_{1}}r+{{a}_{1}}{{r}^{2}} +{{a}_{1}}{{r}^{3}}+\ldots +{{a}_{1}}{{r}^{n-1}}\)

Bisa dihitung dengan

\({{S}_{n}}={{a}_{1}}\frac{\left( 1-{{r}^{n}} \right)}{1-r},~r \n1\)

Contoh/latihan 4. Dari contoh 2 hitung \({{S}_{33}}\).

Larutan

Dalam hal ini \({{a}_{1}}=\frac{5}{{{4}^{15}}}\) dan \(r=-4\)

menerapkan

\({{S}_{n}}={{a}_{1}}\frac{\left( 1-{{r}^{n}} \kanan)}{1-r}\)

\({{S}_{22}}=\frac{5}{{{4}^{15}}}\frac{1-{{\left( -4 \right)}^{22}}} {1-\kiri( -4 \kanan)}\)

\({{S}_{22}}=\frac{5}{{{4}^{15}}}\frac{1-{{\left( -4 \right)}^{22}}} {5}\)

\({{S}_{22}}=\frac{1-{{\left( 4 \right)}^{22}}}{{{4}^{15}}}\)

\({{S}_{22}}=\frac{1}{{{4}^{15}}}-\frac{{{\left( 4 \right)}^{22}}}{{ {4}^{15}}}\)

\({{S}_{22}}=\frac{1}{{{4}^{15}}}-{{4}^{7}}\)

Contoh/latihan 5. Misalkan seseorang mengunggah foto hewan peliharaannya dan membagikannya dengan 3 temannya di jejaring sosial internet, dan dalam satu jam masing-masing mereka, berbagi foto dengan tiga orang lainnya dan kemudian yang terakhir, dalam satu jam lagi, masing-masing berbagi foto dengan 3 orang lainnya rakyat; Dan begitulah seterusnya; setiap orang yang menerima foto membagikannya dengan 3 orang lainnya dalam waktu satu jam. Dalam 15 jam, berapa banyak orang yang sudah memiliki fotonya?

Larutan

Tabel berikut menunjukkan perhitungan pertama
Waktu Orang yang menerima foto Orang yang memiliki foto
1 3 1+3=4
2 (3)(3)=32=9 4+9=13
3 32(3)= 33=27 13+27=40

Jumlah orang yang menerima foto dalam jam \(n\) sama dengan: \({{3}^{n}}\)

Jumlah orang yang sudah memiliki foto tersebut dalam satu jam adalah sama dengan:

\(3+{{3}^{2}}+{{3}^{3}}+\ldots +{{3}^{n}}\)

menerapkan

\({{S}_{n}}={{a}_{1}}\frac{\left( 1-{{r}^{n}} \kanan)}{1-r}\)

Dengan \({{a}_{1}}=3,\) \(r=3\) dan \(n=15\)

Dimana:

\({{S}_{n}}=\frac{\left( 1-{{3}^{15}} \kanan)}{1-3}=7174453\)

sarana geometris

Diberikan dua angka \(a~\) dan \(b,\) angka \({{a}_{2}},{{a}_{3}},\ldots ,{{a}_{k +1}}\) disebut \(k\) rata-rata geometris dari angka \(a~\) dan \(b\); jika barisan \(a,{{a}_{2}},{{a}_{3}},\ldots ,{{a}_{k+1}},b\) adalah barisan geometri.

Untuk mengetahui nilai \(k\) rata-rata geometris dari bilangan \(a~\) dan \(b\), cukup mengetahui rasio deret aritmatika, untuk itu perlu diperhatikan hal-hal berikut:

\(a={{a}_{1}},{{a}_{2}},{{a}_{3}},\ldots ,{{a}_{k+1}},{ {a}} {k+2}}=b,\)

Dari yang di atas kami membangun hubungan:

\(b=a{{r}^{k+1}}\)

Memecahkan \(d\), kita memperoleh:

\(b=a{{r}^{k+1}}\)

\(\frac{b}{a}={{r}^{k+1}}\)

\(r=\sqrt[k+1]{\frac{b}{a}}\)

Contoh/latihan 6. Temukan 2 rata-rata geometris antara angka -15 dan 1875.

Larutan

Saat melamar

\(r=\sqrt[k+1]{\frac{b}{a}}\)

dengan \(b=375,~a=-15\) dan \(k=2~\):

\(r=\sqrt[2+1]{\frac{1875}{-15}}\)

\(r=\sqrt[3]{-125}=-5\)

3 rata-rata geometris adalah:

\(75,-375\)

Contoh/latihan 7. Seseorang menginvestasikan uang dan menerima bunga setiap bulan selama 6 bulan dan modalnya meningkat sebesar 10%. Dengan asumsi kurs tidak berubah, berapakah suku bunga bulanan?

Larutan

Misalkan \(C\) menjadi kapital yang diinvestasikan; modal akhir adalah \(1.1C\); Untuk mengatasi masalah tersebut kita harus menempatkan 5 rata-rata geometris, dengan menerapkan rumus:

\(r=\sqrt[k+1]{\frac{b}{a}}\)

Dengan \(k=5,~b=1.1C\) dan \(a=C.\)

\(r=\sqrt[5+1]{\frac{1.1C}{C}}=\sqrt[6]{1.1}=1.016\)

Tarif bulanan yang diterima adalah \(1,6%\)