Definisi Pecahan Setara

Dua pecahan atau lebih dikatakan ekuivalen jika mewakili besaran yang sama, yaitu jika
\(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\;,\)
pecahan \(\frac{a}{b}\) dan \(\frac{c}{d}\) dikatakan ekuivalen.

Pecahan Setara: Representasi Grafis

Perhatikan bujur sangkar, yang akan kita bagi menjadi empat, tiga, delapan, dan dua belas.

Dari gambar sebelumnya kita melihat kesetaraan berikut:

Bagaimana cara mendapatkan satu atau beberapa pecahan setara?

Ada dua metode dasar untuk mendapatkan pecahan yang setara dengan pecahan tertentu.

1. Kalikan pembilang dan penyebut dengan bilangan positif yang sama.

Contoh:

\(\frac{3}{4} = \frac{{3\left( 5 \right)}}{{4\left( 5 \right)}} = \frac{{15}}{{20}} \)

\(\frac{3}{4} = \frac{{3\left( 7 \right)}}{{4\left( 7 \right)}} = \frac{{21}}{{28}} \)

\(\frac{5}{8} = \frac{{5\left( 6 \right)}}{{8\left( 6 \right)}} = \frac{{30}}{{56}} \)

2. Ini dibagi dengan pembagi umum positif yang sama dari pembilang dan penyebutnya.

\(\frac{{52}}{{56}} = \frac{{52 \div 4}}{{56 \div 4}} = \frac{{13}}{{14}}.\)

\(\frac{{80}}{{140}} = \frac{{80 \div 20}}{{140 \div 20}} = \frac{4}{7}.\)

\(\frac{{21}}{{57}} = \frac{{21 \div 3}}{{57 \div 3}} = \frac{7}{{19}}\)

Bila dalam suatu pecahan baik pembilang dan penyebutnya dibagi dengan pembagi persekutuan yang sama selain 1, dikatakan bahwa pecahan tersebut telah direduksi.

pecahan yang tidak dapat direduksi

Suatu pecahan disebut pecahan tak tereduksi jika pembagi persekutuan terbesar pembilang dan penyebutnya sama dengan 1.

Jika \(gcd\left( {a, b} \right) = 1,\) pecahan \(\frac{a}{b}\) disebut pecahan tak tereduksi.

Diberikan pecahan \(\frac{a}{b}\) untuk mendapatkan pecahan yang setara dengan pecahan ini dan yang juga pecahan tak tereduksi pembilang dan pembilang dibagi dengan pembagi persekutuan terbesar dari \(a\;\) dan dari \(B.\)

Tabel berikut menunjukkan contoh pecahan tak tereduksi dan tak tereduksi; jika dapat direduksi, ini menunjukkan cara mendapatkan pecahan setara yang tidak dapat direduksi.

Pecahan	Pembagi persekutuan terbesar	Tidak dapat direduksi	pecahan setara tak tereduksi
\(\frac{{14}}{{42}}\)	7	TIDAK	\(\frac{{14}}{{42}} = \frac{{14 \div 7}}{{42 \div 7}} = \frac{2}{7}\)
\(\frac{3}{{25}}\)	1	Ya	\(\frac{3}{{25}}\)
\(\frac{{21}}{{201}}\)	3	TIDAK	\(\frac{{21 \div 3}}{{20\;1 \div 3}} = \frac{7}{{67}}\)
\(\frac{5}{{24}}\)	1	Ya	\(\frac{5}{{24}}\)
\(\frac{{72}}{{1125}}\)	9	TIDAK	\(\frac{{72}}{{1125}} = \frac{{72 \div 9}}{{1125 \div 9}} = \frac{8}{{125}}\)

Pecahan senilai: representasi verbal.

Tabel berikut memperlihatkan dua cara berbeda untuk menampilkan informasi yang setara, dari sudut pandang numerik.

Ungkapan lisan	Frasa setara (numerik)	Argumentasi
Pada tahun 1930, di Meksiko, 4 orang dari 25 orang berbicara bahasa asli.	Pada tahun 1930, di Meksiko, 16 orang dari 100 orang berbicara bahasa asli.	Kedua data tersebut dikalikan dengan 4
Pada tahun 1960, di Meksiko, 104 orang dari setiap 1.000 orang berbicara bahasa asli.	Pada tahun 1960, di Meksiko, 13 orang dari 125 orang berbicara bahasa asli	Kedua data tersebut dibagi 8.

Pecahan Setara: Representasi Desimal

Tabel di bawah menunjukkan berbagai angka desimal dan pecahan senilai yang mewakilinya.

Angka desimal	Pecahan	pecahan setara	Operasi
\(0.25\)	0,25=\(\frac{{25}}{{100}}\)	0,25=\(\frac{1}{4}\)	\(25 \div 25 = 1\) \(100 \div 25 = \)
\(1.4\)	\(1.4 = 1 + \frac{4}{{10}} = \frac{{14}}{{10}}\)	\(1.4 = \frac{7}{5}\)	\(14 \div 2 = 1\) \(10 \div 2 = 5\)
\(0.145\)	\(0,145 = \frac{{145}}{{1000}}\)	\(0,145 = \frac{{29}}{{200}}\)	\(145 \div 5 = 29\) \(1000 \div 5 = 200\)

Pecahan Setara: Representasi sebagai Persen

Tabel di bawah menunjukkan berbagai angka desimal dan pecahan senilai yang mewakilinya.

Angka desimal	Pecahan	pecahan setara	Operasi
20%	\(\frac{{20}}{{100}}\)	\(\frac{1}{5}\)	\(20 \div 20 = 1\) \(100 \div 20 = 5\)
150%	\(\frac{{150}}{{100}}\)	\(\frac{3}{2}\)	\(150 \div 50 = 3\) \(100 \div 50 = 2\)
55%	\(\frac{{55}}{{100}}\)	\(\frac{{11}}{{20}}\)	\(55 \div 11 = 5\) \(100 \div 5 = 20\)

Pecahan Setara: Dari Heterogen ke Homogen

Diketahui dua pecahan heterogen \(\frac{a}{b}\) dan \(\frac{c}{d}\), kita dapat menemukan dua pecahan homogen sedemikian rupa sehingga satu fraksi setara dengan fraksi \(\frac{a}{b}\;\) dan fraksi lainnya setara \(\frac{c}{d}\).

Selanjutnya, kami akan menunjukkan dua prosedur untuk melakukan apa yang disebutkan di paragraf sebelumnya.

Mari kita amati:

\(\frac{a}{b} = \frac{{a\left( d \right)}}{{b\left( d \right)}}\)

\(\frac{c}{d} = {\rm{\;}}\frac{{c\left( b \right)}}{{d\left( b \right)}}\)

Tabel berikut menunjukkan beberapa contoh.

F. heterogen	Operasi	F. homogen
\(\frac{4}{5}\), \(\frac{2}{3}\)	\(\frac{{4\left( 3 \right)}}{{5\left( 3 \right)}} = \frac{{12}}{{15}}\) \(\frac{{2\left( 5 \right)}}{{3\left( 5 \right)}} = \frac{{10}}{{15}}\)	\(\frac{{12}}{{15}}\), \(\frac{{10}}{{15}}\)
\(\frac{7}{{12}}\), \(\frac{4}{{18}}\)	\(\frac{{7\left( {18} \right)}}{{12\left( {18} \right)}} = \frac{{126}}{{216}}\) \(\frac{{4\left( {12} \right)}}{{18\left( {12} \right)}} = \frac{{48}}{{216}}\)	\(\frac{{126}}{{216}},\) \(\frac{{48}}{{216}}\)
\(\frac{7}{{10}}\), \(\frac{3}{{14}}\), \(\frac{5}{4}\)	\(\frac{{7\left( {14} \right)\left( 4 \right)}}{{10\left( {14} \right) 4}} = \frac{{392}}{{ 560}}\) \(\frac{{3\left( {10} \right)\left( 4 \right)}}{{14\left( {10} \right)\left( 4 \right)}} = \frac{ {120}}{{560}}\) \(\frac{{5\left( {10} \right)\left( {14} \right)}}{{4\left( {10} \right)\left( {14} \right)}} = \frac{{700}}{{560}}\)	\(\frac{{392}}{{560}}\), \(\frac{{120}}{{560}},\) \(\frac{{700}}{{560}}\)

Kerugian dari metode ini adalah jumlah yang sangat besar dapat dihasilkan dalam proses; Dalam banyak kasus dimungkinkan untuk menghindarinya, jika kelipatan persekutuan terkecil dari penyebut dihitung dan metode kedua didasarkan pada perhitungan kelipatan persekutuan terkecil.

Kelipatan persekutuan terkecil dalam menghitung pecahan

Selanjutnya, melalui dua contoh, cara mendapatkan pecahan homogen menggunakan kelipatan persekutuan terkecil dari penyebutnya, yang akan menjadi penyebut persekutuan dari pecahan yang terlibat.

Pertimbangkan pecahan: \(\frac{7}{{12}}\), \(\frac{4}{{18}}.\)

Kelipatan persekutuan terkecil dari \(12\) dan \(18\) adalah \(36\); Sekarang

\(36 \div 12 = 3\)

\(36 \div 18 = 2\)

\(\frac{7}{{12}} = \frac{{7\left( 3 \right)}}{{12\left( 3 \right)}} = \frac{{21}}{{36 }},\)

\(\frac{4}{{18}} = \frac{{4\left( 2 \right)}}{{18\left( 2 \right)}} = \frac{8}{{36}} \)

Sekarang pertimbangkan pecahan: \(\frac{7}{{10}}\), \(\frac{3}{{14}}\), \(\frac{5}{4}\)

Kelipatan persekutuan terkecil dari \(10\), \(14\) dan \(3\) adalah \(140\); Sekarang

\(140 \div 10 = 14\)

\(140 \div 14 = 10\)

\(140 \div 4 = 35\)

\(\frac{7}{{10}} = \frac{{7\left( {14} \right)}}{{10\left( {14} \right)}} = \frac{{98} }{{140}},\)

\(\frac{3}{{14}} = \frac{{3\left( {10} \right)}}{{14\left( {10} \right)}} = \frac{{30} }{{140}}\)

\(\frac{5}{4} = \frac{{5\left( {35} \right)}}{{4\left( {35} \right)}} = \frac{{175}}{ {140}}\)

Dari gambar sebelumnya kita melihat fakta berikut:

\(\frac{1}{4} = \frac{3}{{12}}\)

Berikut adalah contoh lainnya.

F. heterogen	min penyebut umum	Operasi	F. homogen
\(\frac{1}{{14}}\) \(\frac{1}{{18}}\)	126	\(126 \div 14 = 9\) \(\frac{1}{{14}} = \frac{{1\left( 9 \right)}}{{14\left( 9 \right)}} = \frac{9}{{126}} \) \(126 \div 18 = 7\) \(\frac{1}{{18}} = \frac{{1\left( 7 \right)}}{{18\left( 7 \right)}} = \frac{7}{{126}} \)	\(\frac{9}{{126}}\), \(\frac{7}{{126}}\)
\(\frac{5}{6}\) \(\frac{2}{{15}},\) \(\frac{4}{9}\)	90	\(90 \div 6 = 15\) \(\frac{5}{6} = \frac{{5\left( {15} \right)}}{{6\left( {15} \right)}} = \frac{{75}}{ {90}}\) \(90 \div 15 = 6\) \(\frac{2}{{15}} = \frac{{2\left( {15} \right)}}{{15\left( 6 \right)}} = \frac{{30}}{ {90}}\) \(90 \div 9 = 10\) \(\frac{4}{9} = \frac{{4\left( {10} \right)}}{{9\left( {10} \right)}} = \frac{{40}}{ {90}}\)	\(\frac{{75}}{{90}}\), \(\frac{{30}}{{90}}\), \(\frac{{40}}{{90}}\)