Definisi Persamaan Kuadrat/Kuartik

Persamaan derajat kedua atau, jika tidak, persamaan kuadrat, sehubungan dengan yang tidak diketahui, dinyatakan dalam bentuk:
\(a{x^2} + bx + c = 0\)
Di mana yang tidak diketahui adalah \(x\), selama \(a, b\) dan c adalah konstanta nyata, dengan \(a \ne 0.\)

Ada beberapa teknik untuk menyelesaikan persamaan kuadrat, termasuk faktorisasi, dalam hal ini kita harus memperhitungkan properti berikut sesuai dengan penyelesaiannya:

Jika hasil kali dua bilangan adalah nol maka ada dua kemungkinan:

1. Keduanya sama dengan nol.
2. Jika yang satu bukan nol maka yang lain adalah nol

Hal di atas dapat diungkapkan sebagai berikut:
Jika \(pq = 0\) maka \(p = 0\) atau \(q = 0\).

Contoh praktis 1: selesaikan persamaan \({x^2} – 8\)=0

\({x^2} – 8 = 0\)	Situasi awal
\({x^2} – 8 + 8 = 8\)	Tambahkan 8 ke kedua sisi persamaan untuk menyelesaikan \({x^2}\)
\(\sqrt {{x^2}} = \sqrt {{2^3}} = \sqrt {{2^2}2} = \sqrt {{2^2}} \sqrt 2 = 2\sqrt 2 \)	Akar kuadrat diperoleh dengan mencari isolasi \(x.\) instagram story viewer 8 difaktorkan dan sifat-sifat radikal dan pangkat diterapkan.
\(\kiri| x \kanan| = 2\sqrt 2 \)	Anda mendapatkan akar dari \({x^2}\)
\(x = \pm 2\sqrt 2 \)

Solusi dari \({x^2} – 8\)=0 adalah:
\(x = – 2\sqrt 2 ,\;2\sqrt 2 \)

Contoh Praktis 2: Selesaikan persamaan \({x^2} – 144\)=0

\({x^2} – 144 = 0\)	Situasi awal
\({x^2} – {12^2} = 0\)	Akar kuadrat dari 144 adalah 12. Perbedaan kuadrat diidentifikasi.
\(\kiri( {x + 12} \kanan)\kiri( {x – 12} \kanan) = 0\)	Selisih kuadrat difaktorkan
\(x + 12 = 0\) \(x = – 12\)	Kami mempertimbangkan kemungkinan bahwa faktor \(x + 12\) sama dengan 0. Persamaan yang diperoleh diselesaikan.
\(x – 12 = 0\) \(x = 12\)	Kami mempertimbangkan kemungkinan bahwa faktor \(x – 12\) sama dengan 0. Persamaan yang diperoleh diselesaikan.

Solusi dari persamaan \({x^2} – 144 = 0\) adalah

\(x = – 12,\;12\)

Contoh praktik 3: selesaikan persamaan \({x^2} + 3x = 0\)

\({x^2} + 3x = 0\)	Situasi awal
\(x\kiri( {x + 3} \kanan) = 0\)	\(x\) diidentifikasi sebagai faktor umum dan faktorisasi dilakukan.
\(x = 0\)	Pertimbangkan kemungkinan bahwa faktor \(x\) sama dengan 0.
\(x + 3 = 0\) \(x = – 3\)	Kami mempertimbangkan kemungkinan bahwa faktor \(x – 12\) sama dengan 0. Persamaan yang diperoleh diselesaikan.

Solusi dari persamaan \({x^2} + 3x = 0\), adalah:
\(x = – 3.0\)

Contoh Praktis 4: Selesaikan persamaan \({x^2} – 14x + 49 = 0\)

\({x^2} – 14x + 49 = 0\)	Situasi awal
\({x^2} – 14x + {7^2} = 0\)	Akar kuadrat dari 49 adalah 7 dan \(2x\kiri( 7 \kanan) = 14x.\) Trinomial kuadrat sempurna diidentifikasi.
\({\kiri( {x – 7} \kanan)^2} = 0\)	Trinomial kuadrat sempurna dinyatakan sebagai binomial kuadrat.
\(x – 7 = 0\) \(x = 7\)

Solusi dari \({x^2} – 14x + 49 = 0\) adalah:
\(x = 7\)

Contoh Praktik 5: Selesaikan persamaan \(10{x^2} – 23x + 12 = 0\)

\(10{x^2} – 23x + 12 = 0\)	Situasi awal
\(10{x^2} – 23x + 12 = 0\)	Perkalian \(\kiri( {10} \kanan)\kiri( {12} \kanan) = 120 = \kiri( { – 8} \kanan)\kiri( { – 15} \kanan)\)
\(\kiri( {10{x^2} – 8x} \kanan) – 15x + 12 = 0\)	Ini dinyatakan sebagai \( – 23x = – 18x – 15\)
\(2x\kiri( {5x – 4} \kanan) – 3\kiri( {5x – 4} \kanan) = 0\)	Identifikasi \(2x\) sebagai faktor persekutuan pada penjumlahan pertama dan faktorkan. Identifikasi \( – 3\) sebagai faktor persekutuan pada penjumlahan kedua dan faktorkan.
\(\kiri( {5x – 4} \kanan)\kiri( {2x – 3} \kanan) = 0\)	Faktorkan faktor persekutuan \(5x – 4\)
\(5x – 4 = 0\) \(x = \frac{4}{5}\)	Kami mempertimbangkan kemungkinan bahwa faktor \(5x – 12\) sama dengan 0. Persamaan yang diperoleh diselesaikan.
\(2x – 3 = 0\) \(x = \frac{3}{2}\)	Pertimbangkan kemungkinan bahwa faktor \(2x – 3\) sama dengan 0. Persamaan yang diperoleh diselesaikan.

Solusi dari \(10{x^2} – 23x + 12 = 0\) adalah:
\(x = \frac{4}{5},\;\frac{3}{2}\)

Contoh Praktik 6: Selesaikan persamaan \({x^2} + 4x + 1 = 0\)

\({x^2} + 4x + 1 = 0\)	Situasi awal Trinomial bukanlah kuadrat sempurna
\({x^2} + 4x + 1 – 1 = – 1\)	Tambahkan -1 ke setiap ruas persamaan.
\({x^2} + 4x = – 1\)	Karena \(\frac{1}{2}\left( 4 \right) = 2\) dengan menambahkan \({2^2}\), kita mendapatkan kuadrat sempurna.
\({x^2} + 4x + 4 = – 1 + 4\)	Tambahkan \({2^2}\;\) ke setiap sisi persamaan. Sisi kiri adalah kuadrat sempurna.
\({\kiri( {x + 2} \kanan)^2} = 3\)	Trinomial kuadrat sempurna dinyatakan sebagai binomial kuadrat.
\(\sqrt {{{\left( {x + 2} \right)}^2}} = \pm \sqrt 3 \)	Ambil akar kuadrat dari setiap sisi persamaan
\(\kiri| {x + 2} \kanan| = \sqrt 3 \) \(x = – 2 \pm \sqrt 3 \)	Selesaikan untuk \(x\).

Solusi dari \({x^2} + 4x + 1 = 0\) adalah:
\(x = – 2 – \sqrt 3 ,\; – 2 + \sqrt 3 \)

Contoh Praktik 7: Selesaikan persamaan \(5{x^2} + 3x – 1 = 0\)

\(5{x^2} + 3x – 1 = 0\)	Situasi awal Trinomial bukanlah kuadrat sempurna.
\(5{x^2} + 3x – 1 + 1 = 1\)	Tambahkan 1 ke setiap ruas persamaan
\(\frac{1}{5}\left( {5{x^2} + 3x} \right) = \frac{1}{5}\left( 1 \right)\)	Kalikan dengan setiap ruas persamaan sehingga koefisien dari \({x^2}\) sama dengan 1.
\({x^2} + \frac{3}{5}x = \frac{1}{5}\)	produk didistribusikan Sejak \(\frac{1}{2}\left( {\frac{3}{5}} \right) = \frac{3}{{10}}\), dengan menambahkan \({\left( { \frac{3}{{10}}} \right)^2} = \frac{9}{{100}}\) memberikan trinomial kuadrat sempurna.
\({x^2} + \frac{3}{5}x + \frac{9}{{100}} = \frac{1}{5} + \frac{9}{{100}}\)	Tambahkan 3 ke kedua sisi persamaan untuk mencari \({\left( {x + 2} \right)^2}\)
\({\left( {x + \frac{3}{{10}}} \right)^2}\)=\(\frac{{29}}{{100}}\)	Trinomial kuadrat sempurna dinyatakan sebagai binomial pangkat tiga.
\(\sqrt {{{\left( {x + \frac{3}{{10}}} \kanan)}^2}} = \sqrt {\frac{{29}}{{100}}} \ )	Ambil akar kuadrat dari setiap sisi persamaan
\(x = – \frac{3}{{10}} \pm \frac{{\sqrt {29} }}{{10}}\)	Selesaikan untuk \(x\).

Solusi dari \(5{x^2} + 3x – 1 = 0\) adalah:
\(x = – \frac{{3 + \sqrt {29} }}{{10}},\; – \frac{{3 – \sqrt {29} }}{{10}}\)

Prosedur yang digunakan dalam persamaan di atas akan digunakan untuk menemukan apa yang disebut rumus umum solusi kuadrat.

Rumus Umum Persamaan Derajat Kedua.

Rumus umum persamaan kuadrat

Pada bagian ini kita akan menemukan cara menyelesaikan persamaan kuadrat secara umum

Dengan \(a \ne 0\) mari kita pertimbangkan persamaan \(a{x^2} + bx + c = 0\).

\(a{x^2} + bx + c = a\kiri( {{x^2} + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a}} \kanan) = 0\)

Karena \(a \ne 0\) itu cukup untuk dipecahkan:

\({x^2} + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0\)

\({x^2} + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0\)	Situasi awal
\({x^2} + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} – \frac{c}{a} = – \frac{c}{a}\)	Tambahkan \( – \frac{c}{a}\) ke setiap ruas persamaan.
\({x^2} + \frac{b}{a}x = – \frac{c}{a}\)	Karena \(\frac{1}{2}\left( {\frac{b}{a}} \right) = \frac{b}{{2a}}\), dengan menambahkan \({\left( { \frac{b}{{2a}}} \right)^2} = \frac{{{b^2}}}{{4{a^2}}}\) menghasilkan trinomial kuadrat sempurna.
\({x^2} + \frac{b}{a}x + \frac{{{b^2}}}{{4{a^2}}} = \frac{{{b^2}} }{{4{a^2}}} – \frac{c}{a}\)	Sisi kiri persamaan adalah trinomial kuadrat sempurna.
\({\left( {x + \frac{b}{{2a}}} \right)^2} = \frac{{{b^2} – 4{a^2}c}}{{4{ a^2}}}\)	Trinomial kuadrat sempurna dinyatakan sebagai binomial kuadrat. Pecahan aljabar selesai.
\(\sqrt {{{\left( {x + \frac{b}{{2a}}} \right)}^2}} = \sqrt {\frac{{{b^2} – 4{a^ 2}c}}{{4{a^2}}}} \)	Ambil akar kuadrat dari setiap sisi persamaan.
\(\left| {x + \frac{b}{{2a}}} \right| = \frac{{\sqrt {{b^2} – 4{a^2}c} }}{{2a} }\)	Sifat radikal berlaku.
\(x + \frac{b}{{2a}} = \pm \frac{{\sqrt {{b^2} – 4{a^2}c} }}{{2a}}\)	Properti nilai absolut berlaku.
\(x + \frac{b}{{2a}} – \frac{b}{{2a}} = \pm \frac{{\sqrt {{b^2} – 4{a^2}c} } }{{2a}} – \frac{b}{{2a}}\)	Untuk setiap sisi persamaan tambahkan \( – \frac{b}{{2a}}\) untuk menyelesaikan \(x\)
\(x = \frac{{ – b \pm \sqrt {{b^2} – 4ac} }}{{2a}}\)	Pecahan aljabar selesai.

Suku \({b^2} – 4{a^2}c\) disebut diskriminan dari persamaan kuadrat \(a{x^2} + bx + c = 0\).

Ketika diskriminan dari persamaan di atas negatif, solusinya adalah bilangan kompleks dan tidak ada solusi nyata. Solusi kompleks tidak akan dibahas dalam catatan ini.

Diketahui persamaan kuadrat \(a{x^2} + bx + c = 0\), jika \({b^2} – 4{a^2}c \ge 0\). Maka solusi dari persamaan ini adalah:

\(\alpha = \frac{{ – b + \sqrt {{b^2} – 4ac} }}{{2a}}\)

\(\beta = \frac{{ – b – \sqrt {{b^2} – 4ac} }}{{2a}}\)

Ekspresi:

\(x = \frac{{ – b \pm \sqrt {{b^2} – 4ac} }}{{2a}}\)

Ini disebut Rumus Umum persamaan kuadrat.

Contoh Praktik 8: selesaikan persamaan \(3{x^2} – 2x – 5 = 0\)

\(ke\)	\(B\)	\(C\)	Diskriminasi	solusi nyata
\(3\)	\( – 2\)	\( – 5\)	\({2^2} – 4\kiri( 3 \kanan)\kiri( { – 5} \kanan) = 4 + 60 = 64\)	\(x = \frac{{ – \left( { – 2} \right) \pm \sqrt {64} }}{{2\left( 3 \right)}} = \frac{{2 \pm 8} }{6}\)

Solusi dari persamaan tersebut adalah:
\(\alpha = – 1,\;\beta = \frac{5}{3}\)

Contoh Praktik 9: Selesaikan persamaan \( – 4{x^2} + 3x + 9 = 0\)

\(ke\)	\(B\)	\(C\)	Diskriminasi	solusi nyata
\( – 4\)	3	9	\({3^2} – 4\kiri( { – 4} \kanan)\kiri( 9 \kanan) = 9 + 144 = 153\) \(153 = 9\kiri( {17} \kanan)\)	\(x = \frac{{ – 3 \pm \sqrt {9\left( {17} \right)} }}{{2\left( { – 4} \right)}} = \frac{{ – 3 \pm 3\sqrt {17} }}{{ – 8}}\)

Solusi dari persamaan tersebut adalah:
\(\alpha = \frac{{3 – 3\sqrt {17} }}{8},\;\beta = \frac{{3 + 3\sqrt {17} }}{8}\)

Contoh Praktis 10: Selesaikan persamaan \(5{x^2} – 4x + 1 = 0\)

\(ke\)	\(B\)	\(C\)	Diskriminasi	solusi nyata
\(5\)	-4	\(1\)	\({\kiri( { – 4} \kanan)^2} – 4\kiri( 5 \kanan)\kiri( 1 \kanan) = 16 – 20 = – 4\)	Tidak memiliki

Persamaan Lain-Lain

Ada persamaan non-kuadrat yang dapat diubah menjadi persamaan kuadrat, kita akan melihat dua kasus.

Contoh Latihan 11: Mencari solusi nyata dari persamaan \(6x = 5 – 13\sqrt x \)

Mengubah variabel \(y = \sqrt x \), persamaan sebelumnya tetap seperti:

\(6{y^2} = 5 – 13y\)

\(6{y^2} + 13y – 5 = 0\)

\(6{y^2} + 15y – 2y – 5 = 0\)

\(3y\kiri( {2y + 5} \kanan) – \kiri( {2y + 5} \kanan) = 0\)

\(\kiri( {2y + 5} \kanan)\kiri( {3y – 1} \kanan) = 0\)

Oleh karena itu \(y = – \frac{2}{5},\;\frac{1}{3}\).

Karena \(\sqrt x \) hanya menunjukkan nilai positif, kami hanya akan mempertimbangkan:

\(\sqrt x = \;\frac{1}{3}\)

Menjawab:

Satu-satunya solusi nyata adalah:
\(x = \frac{1}{9}\)

Contoh 12: Selesaikan persamaan \(\sqrt {\frac{x}{{x – 5}}} – \sqrt {\frac{{x – 5}}{x}} = \frac{5}{6 }\)

Membuat perubahan variabel:

\(y = \sqrt {\frac{x}{{x – 5}}} \)

Kami mendapatkan persamaan:

\(y – \frac{1}{y} = \frac{5}{6}\)

\(6{y^2} – 6 = 5y\)

\(6{y^2} – 5y – 6 = 0\)

\(6{y^2} – 9y + 4y – 6 = 0\)

\(3y\kiri( {2y – 3} \kanan) + 2\kiri( {2y – 3} \kanan) = 0\)

\(\kiri( {2y – 3} \kanan)\kiri( {3y + 2} \kanan) = 0\)

Nilai yang mungkin dari \(y\) adalah:

\(y = – \frac{2}{3},\;\frac{3}{2}\)

Dari hal di atas kami hanya akan mempertimbangkan solusi positif.

\(\sqrt {\frac{x}{{x – 5}}} = \frac{3}{2}\)

\(\frac{x}{{x – 5}} = \frac{9}{4}\)

\(4x = 9x – 45\)

\(5x = 45\)

\(x = 9.\)

Solusinya adalah \(x = 9.\)