Definisi Fungsi Eksponensial

Inhibisi Teori String / by admin / April 02, 2023

Marco Antonio Rodríguez Andrade
Magister Matematika, Dr. Sains

Fungsi eksponensial memodelkan berbagai fenomena alam dan situasi sosial dan ekonomi, oleh karena itu penting untuk mengidentifikasi fungsi eksponensial dalam berbagai konteks.

Mari kita ingat bahwa untuk angka ${a^1} = a,{a^2} = aa,\;{a^3} = aaa$ didefinisikan, secara umum kita memilikinya untuk setiap \(n\ ) angka alami:

Dalam kasus $a \ne 0$, kita memilikinya: ${a^0} = 1,\;$ sebenarnya, ketika $a \ne 0,$ masuk akal untuk melakukan operasi \ (\frac{a}{a} = 1;\) saat menerapkan hukum eksponen, kita memiliki:

$\frac{a}{a} = 1$

${a^{1 – 1}} = 1$

${a^0} = 1.$

Ketika $a = 0$, penalaran sebelumnya tidak masuk akal, oleh karena itu, ekspresi ${0^0},$ tidak memiliki interpretasi matematis.

Jika $b > 0$ dan benar ${b^n} = a,$ dikatakan bahwa $b$ adalah akar ke-n dari $a$ dan biasanya dilambangkan sebagai \ (b = {a^{\frac{1}{n}}},\;\) atau $b = \sqrt[n]{a}$.

Ketika $a < 0$, tidak ada bilangan real $b$ sehingga ${b^2} = a;$ karena ${b^2} \ge 0;\;\ ) jadi ekspresi dari bentuk \({a^{\frac{m}{n}}}$, tidak akan dipertimbangkan untuk $a < 0.$ Dalam ekspresi aljabar berikut: ${a^n}$ $a \ ) disebut basis, dan \(n$ adalah disebut eksponen, ${a^n}$ disebut pangkat$\;n$ dari $a$ atau disebut juga $a$ pangkat $n,\;$se mematuhi hukum berikut ini dari eksponen:

instagram story viewer

${a^n}{a^m} = {a^{n + m}}$	$\frac{{{a^n}}}{{{a^m}}} = {a^{n – m}}$	${\left( {{a^n}} \kanan)^m} = {a^{nm}} = {\left( {{a^m}} \kanan)^n}$
$\frac{1}{{{a^n}}} = {a^{ – n}}$	${a^n} = \frac{1}{{{a^{ – n}}}}$	${\left( {\frac{1}{a}} \right)^n} = \frac{1}{{{a^n}}}$
${\left( {ab} \kanan)^n} = {a^n}{b^n}$	${\left( {{a^{\frac{1}{n}}}} \kanan)^m} = {\left( {{a^m}} \kanan)^{\frac{1} {n}}} = {a^{\frac{m}{n}}}$	${a^0} = 1$ untuk setiap $a \ne 0$

Fungsi eksponensial berbentuk:

$f\kiri( x \kanan) = {a^x}$

di mana $a > 0$ adalah konstanta dan variabel independen adalah eksponen $x$.

Untuk membuat analisis fungsi eksponensial, kami akan mempertimbangkan tiga kasus

Kasus 1 Ketika basis $a = 1.$

Dalam hal ini, $a = 1,$ fungsi $f\left( x \right) = {a^x}$ adalah fungsi konstan.

Kasus 2 Ketika basis $a > 1$

Dalam hal ini, kami memiliki yang berikut:

Nilai $x$
$x < 0$	$0 < {a^x} < 1$
$x = 0$	${a^0} = 1$
$0 < x < 1$	\(1 < {a^x}
$x = 1$	${a^x} = 1$
$x > 1$	$a < {a^x}$

Fungsi $f\left( x \right) = {a^x}$ adalah fungsi yang benar-benar meningkat, yaitu, jika ${x_2} > {x_1}$, maka:

${a^{{x_2}}} > a_{}^{{x_2}}$

$f\kiri( {{x_2}} \kanan) > f\kiri( {{x_1}} \kanan)$

Ketika sebuah fenomena dimodelkan dengan fungsi eksponensial, dengan $a > 1$, kita katakan bahwa fenomena tersebut menyajikan pertumbuhan eksponensial.

Kasus 2 Bila basis $a < 1$.

Nilai $x$
$x < 0$	${a^x} > 1$
$x = 0$	${a^0} = 1$
$0 < x < 1$	$0 < {a^x} < 1$
$x = 0$	${a^x} = 1$
$x > 1$	$0 < {a^x} < a < 1$

Ketika $a < 1$, fungsi $f\left( x \right) = {a^x}$ adalah fungsi yang benar-benar menurun, yaitu, jika \({x_2} > {x_1}\ ), Jadi:

${a^{{x_2}}} < a_{}^{{x_1}}$ $f\left( {{x_2}} \right) < f\left( {{x_1}} \right) $ Ketika sebuah fenomena adalah model dengan fungsi eksponensial, dengan $a < 1$, kita katakan bahwa itu menyajikan peluruhan atau penurunan eksponensial. Grafik berikut mengilustrasikan perilaku ${a^x}$, dalam tiga kasus berbeda.

Aplikasi fungsi eksponensial

Contoh 1 Pertumbuhan Penduduk

Kami akan menunjukkan dengan ${P_0}$ populasi awal dan dengan $r \ge 0$ laju pertumbuhan populasi, jika laju populasi tetap konstan dari waktu ke waktu; fungsi

$P\kiri( t \kanan) = {P_0}{\kiri( {1 + r} \kanan)^t};$

Tentukan populasi pada waktu t.

Contoh Praktis 1

Populasi Meksiko, pada tahun 2021 adalah 126 juta dan menyajikan pertumbuhan tahunan sebesar 1,1%, Jika pertumbuhan ini dipertahankan, berapa jumlah penduduk Meksiko pada tahun 2031, pada tahun tersebut 2021?

Larutan

Dalam hal ini ${P_o} = 126$ dan $r = \frac{{1.1}}{{100}} = 0,011$, jadi Anda harus menggunakan:

$P\kiri( t \kanan) = {P_0}{\kiri( {1 + .0011} \kanan)^t}$

Tabel berikut menunjukkan hasilnya

Tahun	waktu berlalu ($T$)	Perhitungan	Populasi (Jutaan)
2021	0	$P\kiri( t \kanan) = 126{\kiri( {1.0011} \kanan)^0}$	126
2031	10	$P\kiri( t \kanan) = 126{\kiri( {1.0011} \kanan)^{10}}$	140.57
2051	30	$P\kiri( t \kanan) = 126{\kiri( {1.0011} \kanan)^{30}}$	174.95

Contoh 2 Perhitungan bunga majemuk

Bank menawarkan tingkat bunga tahunan, tetapi tingkat sebenarnya bergantung pada berapa bulan Anda menginvestasikannya; Misalnya, jika Anda ditawari suku bunga tahunan sebesar r%, suku bunga riil bulanan adalah $\frac{r}{{12}}$%, suku bunga dua bulanan adalah $\frac{r}{6}$%, triwulanan adalah $\frac{r}{4}$%, triwulanan adalah $\frac{r}{3}$%, dan semester adalah $\frac{r}{2}$%.

Contoh praktik 2

Misalkan Anda menginvestasikan 10.000 di bank dan mereka menawarkan tingkat bunga tahunan berikut:

Deposito berjangka tetap	Tingkat tahunan	periode dalam setahun	tingkat aktual	Akumulasi uang dalam $k$ bulan
dua bulan	0.55%	6	$\frac{{0,55\% }}{6} = 0,091667{\rm{\% }}$	$10000{\left( {1 + 0,00091667} \kanan)^{\frac{k}{2}}}$
tiga bulan	1.87%	4	$\frac{{1,87\% }}{4} = 0,4675{\rm{\% }}$	$10000{\left( {1 + 0,00461667} \kanan)^{\frac{k}{3}}}$
enam bulan	1.56%	2	$\frac{{1,56\% }}{4} = 0,78{\rm{\% }}$	$10000{\left( {1 + 0,0078} \kanan)^{\frac{k}{6}}}$

Angka $e$, bunga Euler yang konstan dan berkelanjutan.

Sekarang misalkan kita memiliki modal awal $C$ dan kita menginvestasikannya pada tingkat bunga tetap $r > 0$, dan kita membagi tahun menjadi periode $n$; modal yang terkumpul dalam setahun sama dengan:

$A = \;C{\left( {1 + \frac{r}{n}} \kanan)^n}$

Untuk menganalisis bagaimana perilaku akumulasi modal ketika $n$, tumbuh, kami akan menulis ulang akumulasi modal, dalam satu tahun:

$A = \;C{\left( {1 + \frac{r}{n}} \right)^n}$$A = \;C{\left( {1 + \frac{1} {{\frac{n}{r}}}} \kanan)^{\kiri( {\frac{n}{r}} \kanan) r}},$

melakukan $m = \frac{n}{r}$, kita memperoleh:

$A = C{\left( {1 + \frac{1}{m}} \kanan)^{mr}}$$A = C{\left( {{{\left( {1 + \ frac{1}{m}} \right)}^m}} \right)^r}.$

Saat $n$ tumbuh, demikian juga $m = \frac{n}{r}.$

Saat $m = \frac{n}{r},$ menumbuhkan ekspresi ${\left( {1 + \frac{1}{m}} \right)^m}$mendekati apa yang disebut Konstanta atau angka Euler:

$e \kira-kira 2,718281828 \ldots .$

Konstanta Euler tidak memiliki ekspresi desimal terbatas atau periodik.

Kami memiliki perkiraan berikut

$C{\left( {{{\left( {1 + \frac{1}{m}} \right)}^m}} \right)^r} \kira-kira C{e^r},$ $C{\left( {1 + \frac{r}{n}} \right)^{ns}} \kira-kira C{e^{rs}}.$

Untuk ekspresi:

$A = \;C{e^r},$

Kita dapat menafsirkannya dalam dua cara:

1.- Sebagai jumlah maksimum yang dapat kita kumpulkan dalam satu tahun ketika kita menginvestasikan modal $C,\;$ pada tingkat tahunan $r.$

2.- Sebagai jumlah yang akan kita kumpulkan, dalam setahun, jika modal kita terus-menerus diinvestasikan kembali pada tingkat tahunan $r.$

$T\kiri( s \kanan) = \;C{e^{rs}},$

adalah jumlah akumulasi jika $s$ tahun diinvestasikan dengan bunga berkelanjutan.

Contoh konkrit 3

Sekarang kita akan kembali ke bagian contoh konkret 2, di mana tarif tahunan adalah 0,55% dengan cicilan dua bulanan. Hitung modal yang terkumpul jika modal awal 10.000 dan diinvestasikan kembali setengah tahun, dua tahun, 28 bulan.

$10{\kiri( {1.00091667} \kanan)^{\frac{6}{2}}} = 10.{\rm{\;}}027525$

seperti yang ditunjukkan tabel di bawah ini, nilai $m = \frac{n}{r},$ bukan “kecil” dan tabel di atas menunjukkan bahwa ${\left( {1 + \frac{1}{ m}} \right)^m}$ dekat dengan konstanta Euler.

Waktu	Jumlah periode ($k$)	Akumulasi modal, dalam ribuan, diinvestasikan kembali setiap dua bulan
Setengah tahun	3	$10{\kiri( {1.00091667} \kanan)^3} = 10.{\rm{\;}}027525$
Dua tahun	12	$10{\kiri( {1.00091667} \kanan)^{12}} = 10110.{\rm{\;}}557$
38 bulan	19	$10{\kiri( {1.00091667} \kanan)^{19}} = 10.\;175612$

Waktu	Waktu tahun ($s$)	Akumulasi modal, dalam ribuan, investasikan dengan bunga berkelanjutan
Setengah tahun	$s = \frac{1}{2}$	$10{e^{0,0055\left( {\frac{1}{2}} \right)}} = 10.{\rm{\;}}027538$
Dua tahun	$s = 2$	$10{\kiri( {1.00091667} \kanan)^{0.0055\kiri( 2 \kanan)}} = 10110.{\rm{\;}}607$
38 bulan	$s = \frac{{19}}{6}$	$10{\kiri( {1.00091667} \kanan)^{\frac{{19}}{6}}} = 10.\;175692$

Contoh 2 Depresiasi

Contoh Praktis 1

Sebuah komputer terdepresiasi 30% setiap tahun, jika sebuah komputer berharga $20.000 peso, tentukan harga komputer tersebut selama $t = 1,12,\;14,\;38$ bulan.

Dalam hal ini, seseorang memiliki:

$P\kiri( t \kanan) = 20000{\rm{\;}}{\kiri( {1 – 0,30} \kanan)^t}$

Dengan $t$ dalam tahun, mensubstitusikan $t$ pada tabel berikut memberikan

waktu dalam bulan	waktu dalam tahun	perhitungan	Nilai numerik
1	$\frac{1}{{12}}$	$P\kiri( t \kanan) = 20000{\rm{\;}}{\kiri( {1 – .30} \kanan)^{\frac{1}{{12}}}}$	19414.289
12	1	$P\kiri( t \kanan) = 20000{\rm{\;}}{\kiri( {1 – .30} \kanan)^1}$	14000
14	$\frac{7}{6}$	$P\kiri( t \kanan) = 20000{\rm{\;}}{\kiri( {1 – .30} \kanan)^{\frac{7}{6}}}$	13192.012
38	$\frac{{19}}{6}$	$P\kiri( t \kanan) = 20000{\rm{\;}}{\kiri( {1 – .30} \kanan)^{\frac{7}{6}}}$	6464.0859

Tag awan

Peringkat

Tampilan

Komentar

\({a^n}{a^m} = {a^{n + m}}\)	\(\frac{{{a^n}}}{{{a^m}}} = {a^{n – m}}\)	\({\left( {{a^n}} \kanan)^m} = {a^{nm}} = {\left( {{a^m}} \kanan)^n}\)
\(\frac{1}{{{a^n}}} = {a^{ – n}}\)	\({a^n} = \frac{1}{{{a^{ – n}}}}\)	\({\left( {\frac{1}{a}} \right)^n} = \frac{1}{{{a^n}}}\)
\({\left( {ab} \kanan)^n} = {a^n}{b^n}\)	\({\left( {{a^{\frac{1}{n}}}} \kanan)^m} = {\left( {{a^m}} \kanan)^{\frac{1} {n}}} = {a^{\frac{m}{n}}}\)	\({a^0} = 1\) untuk setiap \(a \ne 0\)

Nilai \(x\)
\(x < 0\)	\(0 < {a^x} < 1\)
\(x = 0\)	\({a^0} = 1\)
\(0 < x < 1\)	\(1 < {a^x}
\(x = 1\)	\({a^x} = 1\)
\(x > 1\)	\(a < {a^x}\)

Nilai \(x\)
\(x < 0\)	\({a^x} > 1\)
\(x = 0\)	\({a^0} = 1\)
\(0 < x < 1\)	\(0 < {a^x} < 1\)
\(x = 0\)	\({a^x} = 1\)
\(x > 1\)	\(0 < {a^x} < a < 1\)

Waktu	Waktu tahun (\(s\))	Akumulasi modal, dalam ribuan, investasikan dengan bunga berkelanjutan
Setengah tahun	\(s = \frac{1}{2}\)	\(10{e^{0,0055\left( {\frac{1}{2}} \right)}} = 10.{\rm{\;}}027538\)
Dua tahun	\(s = 2\)	\(10{\kiri( {1.00091667} \kanan)^{0.0055\kiri( 2 \kanan)}} = 10110.{\rm{\;}}607\)
38 bulan	\(s = \frac{{19}}{6}\)	\(10{\kiri( {1.00091667} \kanan)^{\frac{{19}}{6}}} = 10.\;175692\)

Tahun	waktu berlalu (\(T\))	Perhitungan	Populasi (Jutaan)
2021	0	\(P\kiri( t \kanan) = 126{\kiri( {1.0011} \kanan)^0}\)	126
2031	10	\(P\kiri( t \kanan) = 126{\kiri( {1.0011} \kanan)^{10}}\)	140.57
2051	30	\(P\kiri( t \kanan) = 126{\kiri( {1.0011} \kanan)^{30}}\)	174.95

Deposito berjangka tetap	Tingkat tahunan	periode dalam setahun	tingkat aktual	Akumulasi uang dalam \(k\) bulan
dua bulan	0.55%	6	\(\frac{{0,55\% }}{6} = 0,091667{\rm{\% }}\)	\(10000{\left( {1 + 0,00091667} \kanan)^{\frac{k}{2}}}\)
tiga bulan	1.87%	4	\(\frac{{1,87\% }}{4} = 0,4675{\rm{\% }}\)	\(10000{\left( {1 + 0,00461667} \kanan)^{\frac{k}{3}}}\)
enam bulan	1.56%	2	\(\frac{{1,56\% }}{4} = 0,78{\rm{\% }}\)	\(10000{\left( {1 + 0,0078} \kanan)^{\frac{k}{6}}}\)

Waktu	Jumlah periode (\(k\))	Akumulasi modal, dalam ribuan, diinvestasikan kembali setiap dua bulan
Setengah tahun	3	\(10{\kiri( {1.00091667} \kanan)^3} = 10.{\rm{\;}}027525\)
Dua tahun	12	\(10{\kiri( {1.00091667} \kanan)^{12}} = 10110.{\rm{\;}}557\)
38 bulan	19	\(10{\kiri( {1.00091667} \kanan)^{19}} = 10.\;175612\)

waktu dalam bulan	waktu dalam tahun	perhitungan	Nilai numerik
1	\(\frac{1}{{12}}\)	\(P\kiri( t \kanan) = 20000{\rm{\;}}{\kiri( {1 – .30} \kanan)^{\frac{1}{{12}}}}\)	19414.289
12	1	\(P\kiri( t \kanan) = 20000{\rm{\;}}{\kiri( {1 – .30} \kanan)^1}\)	14000
14	\(\frac{7}{6}\)	\(P\kiri( t \kanan) = 20000{\rm{\;}}{\kiri( {1 – .30} \kanan)^{\frac{7}{6}}}\)	13192.012
38	\(\frac{{19}}{6}\)	\(P\kiri( t \kanan) = 20000{\rm{\;}}{\kiri( {1 – .30} \kanan)^{\frac{7}{6}}}\)	6464.0859