Bagaimana Teorema Thales didefinisikan?

Dari Teorema Thales, diberikan beberapa garis sejajar, garis \(T\) dikatakan transversal terhadap garis sejajar jika memotong setiap garis sejajar.

Pada gambar 1, garis \({T_1}\) dan \({T_2}\) melintang terhadap garis sejajar \({L_1}\) dan \({L_2}.\)

Teorema Thales (versi lemah)
Jika beberapa paralel menentukan segmen kongruen (yang mengukur sama) di salah satu dari dua garis transversalnya, mereka juga akan menentukan segmen kongruen di transversal lainnya.

Pada gambar 2, garis hitam sejajar dan Anda harus:
\({A_1}{A_2} = {A_2}{A_3} = {A_3}{A_4}.\)
Kami dapat memastikan hal-hal berikut:
\({B_1}{B_2} = {B_2}{B_3} = {B_3}{B_4}.\)

Dikatakan bahwa Thales of Miletus yang bijak mengukur ketinggian piramida Cheops, untuk ini dia menggunakan bayangan dan penerapan sifat kemiripan segitiga. Teorema Thales adalah fundamental untuk pengembangan konsep kesamaan segitiga.

Rasio dan sifat proporsi

Satu rasio adalah hasil bagi dua angka, dengan pembagi selain nol; artinya:

\(\frac{a}{b}\;{\rm{dengan\;}}b \ne 0\)

Proporsi adalah persamaan dua rasio, yaitu:

\(\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = k,\)

\(k\) disebut juga konstanta proporsionalitas.

Properti proporsi

Jika \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = k\) maka untuk \(m \ne 0:\;\)

\(\frac{{ma}}{{mb}} = \frac{a}{b} = \frac{c}{d} = k\)

\(\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{{a + c}}{{b + d}} = \frac{{a – c}}{{b – d}} = k\)

\(\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{f}{g} = \frac{{a + c + f}}{{b + d + g}} = k\)

\(\frac{{a \pm b}}{b} = \frac{{c \pm d}}{d}\)

contoh

\(\frac{9}{{24}} = \frac{{15}}{{40}} = \frac{{9 + 15}}{{24 + 40}} = \frac{{24}} {{64}}\)

\(\frac{9}{{24}} = \frac{{15}}{{40}} = \frac{{15 – 9}}{{40 – 24}} = \frac{6}{{ 16}}\)

\(\frac{{9 + 24}}{{24}} = \frac{{15 + 40}}{{40}}\)\(\frac{{33}}{{24}} = \frac {{55}}{{40}}\)

Pasangan segmen \(\overline {AB} \) dan \(\overline {CD} \) dikatakan sebanding dengan segmen \(\overline {EF} \) dan \(\overline {GH} \) jika proporsi terpenuhi:

\(\frac{{AB}}{{CD}} = \frac{{EF}}{{GH}}\)

Di mana \(AB\;\) menunjukkan panjang segmen \(\overline {AB} .\)

teorema Thales

Kembali ke definisi, beberapa paralel menentukan segmen proporsional yang sesuai dalam garis transversalnya.

Pada gambar 3, garis lurus sejajar dan kami dapat memastikan:

\(\frac{{{A_1}{A_2}}}{{{A_2}{A_3}}} = \frac{{{B_1}{B_2}}}{{{B_2}{B_3}}}\)\ (\frac{{{A_2}{A_3}}}{{{A_3}{A_4}}} = \frac{{{B_2}{B_3}}}{{{B_3}{B_4}}}\)\( \frac{{{A_2}{A_4}}}{{{A_2}{A_3}}} = \frac{{{B_2}{B_4}}}{{{B_2}{B_3}}}\)\(\frac{{{A_1}{A_2}}}{{{A_3}{A_4}}} = \frac{{{B_1}{B_2}}}{{{B_3}{B_4}}}\)\(\frac{{{A_1}{A_3}}}{{{A_1}{A_2}}} = \frac{{{B_1}{B_3}}}{{{B_1}{B_2}}}\)

Perhatikan bahwa dua proporsi pertama sebelumnya setara dengan proporsi berikut:

\(\frac{{{A_1}{A_2}}}{{{B_1}{B_2}}} = \frac{{{A_2}{A_3}}}{{{B_2}{B_3}}}\)\ (\frac{{{A_2}{A_3}}}{{{B_2}{B_3}}} = \frac{{{A_3}{A_4}}}{{{B_3}{B_4}}}\)Dari atas kita mendapatkan:

\(\frac{{{A_1}{A_2}}}{{{B_1}{B_2}}} = \frac{{{A_2}{A_3}}}{{{B_2}{B_3}}} = \frac {{{A_3}{A_4}}}{{{B_3}{B_4}}} = \frac{{{A_1}{A_2} + {A_2}{A_3} + {A_3}{A_4}}}{{{B_1}{B_2} + {B_2}{B_3} + {B_3}{B_4}}} = \frac{{{A_1}{A_4}}}{{{B_1}{B_4}}}\)

Dalam banyak kesempatan, lebih baik bekerja dengan proporsi sebelumnya dan dalam hal ini:

\(\frac{{{A_i}{A_j}}}{{{B_i}{B_j}}} = k\)

Kebalikan dari Teorema Thales

Jika beberapa garis menentukan segmen proporsional yang sesuai dalam garis transversalnya, maka garis tersebut sejajar

Jika pada gambar 4 terpenuhi

\(\frac{{{A_1}{A_2}}}{{{A_2}{A_3}}} = \frac{{{B_1}{B_2}}}{{{B_2}{B_3}}}\)

Kemudian kita dapat menegaskan bahwa: \({L_1}\parallel {L_2}\parallel {L_3}.\)

Notasi \({L_1}\parallel {L_2}\), dibaca \({L_1}\) sejajar dengan \({L_2}\).

Dari proporsi sebelumnya kita peroleh:

\(\frac{{{A_1}{A_2}}}{{{B_1}{B_2}}} = \frac{{{A_2}{A_3}}}{{{B_2}{B_3}}} = \frac {{{A_1}{A_2} + {A_2}{A_3}}}{{{B_1}{B_2} + {B_2}{B_3}}} = \frac{{{A_1}{A_3}}}{{{ B_1}{B_3}}}\)

Pembagian segmen menjadi beberapa bagian dengan panjang yang sama

Melalui contoh konkret, kami akan mengilustrasikan cara membagi segmen menjadi beberapa bagian dengan panjang yang sama.

Bagilah segmen \(\overline {AB} \) menjadi 7 segmen dengan panjang yang sama

Situasi awal

Gambarlah garis bantu yang melewati salah satu ujung segmen

Dengan dukungan kompas, 7 segmen dengan panjang yang sama digambar pada garis bantu

Gambarlah garis yang menghubungkan ujung ruas terakhir yang ditarik dan ujung ruas lain yang akan dibagi

Mereka ditarik sejajar dengan garis terakhir yang baru saja ditarik yang melewati titik-titik di mana busur keliling berpotongan dengan garis bantu.

Diberi segmen \(\overline {AB} \), sebuah titik \(P\) dari segmen dikatakan membagi segmen \(\overline {AB} \), dalam rasio \(\frac{{AP} } {{PB}}.\)

Pembagian segmen dalam rasio tertentu

Diberi segmen \(\overline {AB} \), dan dua bilangan bulat positif \(a, b\); titik \(P\) yang membagi segmen dengan rasio \(\frac{a}{b};\;\) dapat ditemukan sebagai berikut:

1. Bagilah segmen \(\overline {AB} \) menjadi segmen \(a + b\) dengan panjang yang sama.
2. Ambil segmen \(a\) dihitung dari titik \(A\).

contoh

Pembagian segmen \(\overline {AB} \) dengan rasio \(\frac{a}{b}\)

Alasan	Jumlah bagian di mana segmen dibagi	Lokasi titik \(P\)
\(\frac{{AP}}{{PB}} = \frac{4}{3}\)	\(4 + 3 = 7\)
\(\frac{{AP}}{{PB}} = 6 = \frac{6}{1}\)	\(6 + 1 = 7\)
\(\frac{{AP}}{{PB}} = \frac{2}{3}\)	\(2 + 3 = 5\)
\(\frac{{AP}}{{PB}} = \frac{3}{2}\)	\(3 + 2 = 5\)

Contoh terapan Teorema Thales

aplikasi 1: Tiga kavling terbentang dari jalan Sol ke jalan Luna, seperti yang ditunjukkan pada gambar 5.

Batas lateral adalah segmen yang tegak lurus dengan Jalan Luna. Jika total bagian depan kavling di jalan Sol berukuran 120 meter, tentukan bagian depan setiap kavling di jalan tersebut, jika juga diketahui:

\({A_1}{A_2} = 10{\rm{m}},\;{A_2}{A_3} = 40{\rm{m}},\;{A_3}{A_4} = 20{\rm{ m}},\;{A_4}{A_5} = 30{\rm{m}}.\)

Pernyataan masalah

Karena garis-garis tersebut tegak lurus dengan Jalan Luna, maka garis-garis tersebut sejajar satu sama lain, dengan menerapkan Teorema Thales kita dapat menegaskan:

\(\frac{{{A_1}{A_2}}}{{{A_2}{A_3}}} = \frac{{{B_1}{B_2}}}{{{B_2}{B_3}}},\; \;\frac{{{A_1}{A_2}}}{{{A_1}{A_4}}} = \frac{{{B_1}{B_2}}}{{{B_1}{B_4}}}\;,\;\;\frac{{{A_1}{A_2}}}{{{A_1}{A_5}} } = \frac{{{B_1}{B_2}}}{{{B_1}{B_5}}}\)Dari yang di atas kita dapat menyimpulkan:

\(k = \frac{{{A_1}{A_2}}}{{{B_1}{B_2}}} = \frac{{{A_1}{A_4}}}{{{B_1}{B_4}}} = \frac{{{A_1}{A_5}}}{{{B_1}{B_5}}}\;\)

Demikian pula kita dapat menyimpulkan:

\(k = \frac{{{A_1}{A_2}}}{{{B_1}{B_2}}} = \frac{{{A_2}{A_3}}}{{{B_2}{B_3}}} = \frac{{{A_3}{A_4}}}{{{B_3}{B_4}}} = \frac{{{A_4}{A_5}}}{{{B_4}{B_5}}}\)

Larutan

Untuk menentukan konstanta pembanding \(k,\) kita akan menggunakan sifat-sifat perbandingan:

\(k = \frac{{{A_1}{A_2}}}{{{B_1}{B_2}}} = \frac{{{A_2}{A_3}}}{{{B_2}{B_3}}} = \frac{{{A_3}{A_4}}}{{{B_3}{B_4}}} = \frac{{{A_4}{A_5}}}{{{B_4}{B_5}}} = \frac{{{A_1}{A_2} + {A_2}{A_3} + {A_3}{A_4} + {A_4}{A_5}}}{{{B_1}{B_2} + {B_2}{B_3} + { B_3}{B_4} + {B_4}{B_5}}} = \frac{{{A_1}{A_5}}}{{{B_1}{B_5}}} = \frac{{100}}{{120}} = \frac{5}{6}\)

Dari soal di atas kita dapatkan:
\(\frac{{{A_1}{A_2}}}{{{B_1}{B_2}}} = \frac{5}{6}\)\(\frac{{{B_1}{B_2}}}{ {{A_1}{A_2}}} = \frac{6}{5}\)\({B_1}{B_2} = \frac{6}{5}{A_1}{A_2} = \frac{6}{ 5}\kiri( {10} \kanan) = 12.\)

Secara analogi:

\({B_2}{B_3} = \frac{6}{5}{A_2}{A_3} = \frac{6}{5}\left( {40} \right) = 48\)\({B_3} {B_4} = \frac{6}{5}{A_3}{A_4} = \frac{6}{5}\left( {20} \right) = 24\)\({B_4}{B_5} = \frac{6}{5}{A_4}{A_5} = \frac{6 }{5}\kiri( {30} \kanan) = 36\)

Menjawab

Segmen	\({B_1}{B_2}\)	\({B_2}{B_3}\)	\({B_3}{B_4}\)	\({B_4}{B_5}\)
Panjang	12m	48 m	24m	36m

aplikasi 2: Seorang desainer grafis telah merancang sebuah rak berbentuk jajaran genjang dan akan menempatkan 3 rak seperti pada gambar Gambar 6, titik E dan F adalah titik tengah sisi \(\overline {AD} \) dan \(\overline {BC} ,\) masing-masing. Anda harus memotong rak untuk dapat membuat rakitan. Di bagian rak mana pemotongan harus dilakukan?

Pernyataan masalah: Karena kondisi yang diberikan dalam masalah, berikut ini terpenuhi:

\(ED = EA = CF = BF\)

Sebagai konstruksi tambahan, kita akan memperpanjang sisi \(\overline {CB} \) dan \(\overline {DA} \). Sebuah garis ditarik melalui titik A melalui \(A\) dan sejajar dengan sisi \(\overline {EB} \) dan melalui titik \(C\;\) ditarik garis sejajar dengan sisi \(\overline {DF} \).

Kita akan menggunakan Kebalikan Teorema Thales untuk menunjukkan bahwa segmen \(\overline {EB} \) dan \(\overline {DF} \) adalah paralel untuk menerapkan Teorema Thales.

Larutan

Dengan konstruksi segiempat \(EAIB\) adalah jajaran genjang sehingga kita memiliki EA=BI, karena mereka adalah sisi berlawanan dari jajaran genjang. Sekarang:

\(\frac{{DE}}{{EA}} = \frac{{BF}}{{BI}} = 1\)

Menerapkan kebalikan dari kebalikan dari Teorema Thales kita dapat menyimpulkan:

\(\overline {AI} \parallel \overline {EB} \parallel \overline {DF} \parallel \overline {JC} \)

Ambil segmen \(\overline {AI} \parallel \overline {EB} \parallel \overline {DF} \parallel \overline {JC} \) dan segmen BC dan CI sebagai transversalnya; sebagai:

\(FC = BF = BI\)\(CH = HG = GA\)

Mengambil \(\overline {AD} \parallel \overline {BC} \) dan segmen \(\overline {AC} \) dan \(\overline {EB} \) sebagai transversalnya, kita akan mendapatkan:

\(\frac{{EG}}{{GB}} = \frac{{AG}}{{GC}} = \frac{{AG}}{{CH + HG}} = \frac{{AG}} {{2\left( {AG} \right)}} = \frac{1}{2}\)

Demikian pula, ditunjukkan bahwa:

\(\frac{{DH}}{{HF}} = 2\)

Jawaban

Pemotongan diagonal \(\overline {AC} \) harus dilakukan pada titik \(G\;\) dan \(H\), sehingga:

\(\frac{{AG}}{{AC}} = \frac{{AH}}{{AC}} = \frac{1}{3}\)

Hal yang sama berlaku untuk rak \(\overline {EB} \) dan \(\overline {DF} \).