Definisi Rasionalisasi Radikal (matematika)

Rasionalisasi akar adalah proses matematika yang dilakukan ketika ada hasil bagi dengan akar atau akar penyebut. Dengan cara ini, operasi matematika dapat difasilitasi di mana hasil bagi dengan akar dan jenis objek matematika lainnya terlibat.

Jenis Hasil Bagi dengan Radikal

Penting untuk menyebutkan beberapa jenis hasil bagi dengan radikal yang dapat dirasionalisasi. Namun, sebelum masuk sepenuhnya ke proses perampingan, beberapa konsep penting perlu diingat. Pertama, misalkan kita memiliki ekspresi berikut: \(\sqrt[m]{n}\). Ini adalah akar \(m\) dari angka \(n\), yaitu, hasil dari operasi tersebut adalah angka sedemikian sehingga menaikkannya ke pangkat \(m\) memberi kita angka \(n\) sebagai akibatnya). Pangkat dan akar adalah operasi kebalikan, sedemikian rupa sehingga: \(\sqrt[m]{{{n^m}}} = n\).
Di sisi lain, perlu disebutkan bahwa hasil kali dua akar yang sama adalah sama dengan akar hasil kali, yaitu: \(\sqrt[m]{n}\sqrt[m]{p} = \sqrt[m ]{{np}}\). Kedua properti ini akan menjadi sekutu terbaik kita saat merasionalisasi.

Jenis hasil bagi yang paling umum dan sederhana dengan akar yang dapat kita temukan adalah sebagai berikut:

\(\frac{a}{{b\sqrt c }}\)

Di mana \(a\), \(b\) dan \(c\) dapat berupa bilangan real apa pun. Proses rasionalisasi dalam hal ini terdiri dari menemukan cara untuk mendapatkan hasil bagi ekspresi \(\sqrt {{c^2}} = c\) untuk menghilangkan akar. Dalam hal ini, cukup mengalikan dengan \(\sqrt c \) pembilang dan penyebutnya:

\(\frac{a}{{b\sqrt c }} = \frac{a}{{b\sqrt c }}\frac{{\sqrt c }}{{\sqrt c }} = \frac{{ a\sqrt c }}{{b\sqrt c \sqrt c }}\)

Mengingat apa yang disebutkan di atas, kita tahu bahwa \(\sqrt c \sqrt c = \sqrt {{c^2}} = c\). Oleh karena itu, kami akhirnya mendapatkan bahwa:
\(\frac{a}{{b\sqrt c }} = \frac{a}{{bc}}\sqrt c \)

Dengan cara ini kami telah merasionalisasi ungkapan sebelumnya. Ungkapan ini tidak lebih dari kasus khusus dari ungkapan umum yaitu sebagai berikut:

\(\frac{a}{{b\sqrt[n]{{{c^m}}}}}\)

Dimana \(a\), \(b\), \(c\) adalah sembarang bilangan real dan \(n\), \(m\) adalah pangkat positif. Rasionalisasi ungkapan ini didasarkan pada prinsip yang sama dengan yang sebelumnya, yaitu, dapatkan ungkapan \(\sqrt[n]{{{c^n}}} = c\) pada penyebutnya. Kita dapat melakukannya dengan mengalikan dengan \(\sqrt[n]{{{c^{n – m}}}}\) pembilang dan penyebutnya:

\(\frac{a}{{b\sqrt[n]{{{c^m}}}}} = \frac{a}{{b\sqrt[n]{{{c^m}}}} }\frac{{\sqrt[n]{{{c^{n – m}}}}}}{{\sqrt[n]{{{c^{n – m}}}}}} = \frac{{a\sqrt[n]{{{c^{n – m}}}}}}{{b\sqrt[n]{{{c^m}}}\sqrt[n]{{{c^{n – m}}}}}\)

Kita dapat mengembangkan perkalian akar dalam penyebut sebagai berikut: \(\sqrt[n]{{{c^m}}}\sqrt[n]{{{c^{n – m}}}} = \sqrt[n]{{{c^m}{c^ {n – m}}}} = \sqrt[n]{{{c^{m + \left( {n – m} \right)}}}} = \sqrt[n]{{{c^n}}} = c\). Oleh karena itu, hasil bagi yang dirasionalkan tetap sebagai:

\(\frac{a}{{b\sqrt[n]{{{c^m}}}}} = \frac{a}{{bc}}\sqrt[n]{{{c^{n – M}}}}\)

Jenis lain dari hasil bagi dengan akar yang dapat dirasionalisasi adalah di mana kita memiliki binomial dengan akar kuadrat pada penyebutnya:

\(\frac{a}{{b\sqrt c \pm d\sqrt e }}\)

Di mana \(a\), \(b\), \(c\), \(d\) dan \(e\;\) adalah bilangan real. Simbol \( ± \) menunjukkan bahwa tanda tersebut bisa positif atau negatif. Penyebut binomial dapat memiliki dua akar atau hanya satu, namun, kami menggunakan kasus ini untuk mendapatkan hasil yang lebih umum. Gagasan sentral untuk melakukan proses rasionalisasi dalam kasus ini sama dengan kasus-kasus sebelumnya, hanya saja dalam hal ini kita akan mengalikan pembilang dan penyebutnya dengan konjugat dari binomial yang ditemukan di penyebut. Konjugasi binomial adalah binomial yang memiliki suku yang sama, tetapi simbol pusatnya berlawanan dengan binomial aslinya. Misalnya, konjugasi binomial \(ux + vy\) adalah \(ux – vy\). Yang sedang berkata, kita kemudian memiliki:

\(\frac{a}{{b\sqrt c \pm d\sqrt e }} = \frac{a}{{b\sqrt c \pm d\sqrt e }}\frac{{b\sqrt c \ mp d\sqrt e }}{{b\sqrt c \mp d\sqrt e }} = \frac{{a\left( {b\sqrt c \mp d\sqrt e } \right)}}{{\left( {b\sqrt c \pm d\sqrt e } \right)\left( {b \sqrt c \mp d\sqrt e } \right)}}\)

Simbol \( \mp \) menunjukkan bahwa tandanya bisa positif atau negatif, tetapi harus berlawanan dengan simbol penyebut agar binomial dapat dikonjugasikan. Dengan mengembangkan perkalian binomial penyebut, kami memperoleh bahwa:

\(\frac{a}{{b\sqrt c \pm d\sqrt e }} = \frac{{a\left( {b\sqrt c \mp d\sqrt e } \right)}}{{{ b^2}\sqrt {{c^2}} + bd\sqrt {ce} – bd\sqrt {ce} – {d^2}\sqrt {{e^2}} }}\)

Akhirnya kami mendapatkan bahwa:

\(\frac{a}{{b\sqrt c \pm d\sqrt e }} = \frac{a}{{{b^2}c – {d^2}e}}\left( {b\ sqrt c \mp d\sqrt e } \kanan)\)

Dengan ini kami telah merasionalisasi hasil bagi dengan radikal. Hasil bagi dengan radikal ini adalah yang umumnya dapat dirasionalisasi. Selanjutnya, kita akan melihat beberapa contoh rasionalisasi radikal.

contoh

Mari kita lihat beberapa contoh rasionalisasi dengan hasil bagi dengan radikal dari jenis yang disebutkan di atas. Pertama anggaplah kita memiliki hasil bagi berikut:

\(\frac{3}{{7\sqrt 2 }}\)

Dalam hal ini, cukup mengalikan pembilang dan penyebut dengan \(\sqrt 2 \)

\(\frac{3}{{7\sqrt 2 }} = \frac{3}{{7\sqrt 2 }}\frac{{\sqrt 2 }}{{\sqrt 2 }} = \frac{3 }{{7\sqrt 2 \sqrt 2 }}\sqrt 2 = \frac{3}{{7\sqrt 4 }}\sqrt 2 = \frac{3}{{14}}\sqrt 2 \)

Sekarang, misalkan kita memiliki hasil bagi berikut dengan akar:

\(\frac{2}{{3\sqrt[6]{{{4^3}}}}}\)

Dalam hal ini kita memiliki akar pangkat enam kubik. Di bagian sebelumnya kita telah menyebutkan bahwa jika kita memiliki bentuk akar \(\sqrt[n]{{{c^m}}}\) di penyebut, kita dapat merasionalkan hasil bagi dengan mengalikan pembilang dan penyebut dengan \(\sqrt[n]{{{c^{n -M}}}}\). Membandingkan ini dengan kasus yang disajikan di sini kita dapat menyadari bahwa \(n = 6\), \(c = 4\) dan \(m = 3\), oleh karena itu Oleh karena itu, kita dapat merasionalkan hasil bagi sebelumnya dengan mengalikan pembilang dan penyebutnya dengan \(\sqrt[6]{{{4^3}}}\):

\(\frac{2}{{3\sqrt[6]{{{4^3}}}}} = \frac{2}{{3\sqrt[6]{{{4^3}}}} }\frac{{\sqrt[6]{{{4^3}}}}}{{\sqrt[6]{{{4^3}}}}} = \frac{2}{{3\sqrt[6]{{{4^3}}}\sqrt[6]{{{4^3}}}}}\sqrt[6]{{{4^3} }} = \frac{2}{{3\sqrt[6]{{{4^6}}}}}\sqrt[6]{{{4^3}}} = \frac{{\sqrt[6]{{{4^3}}}}}{6}\)

Akhirnya, misalkan kita memiliki fungsi berikut:

\(\frac{1}{{x + \sqrt x }}\)

Seperti yang ditunjukkan pada bagian sebelumnya, untuk merasionalkan jenis hasil bagi ini dengan akar, Anda harus mengalikan pembilang dan penyebutnya dengan konjugasi penyebutnya. Dalam hal ini, konjugasi penyebutnya adalah \(x – \sqrt x \). Oleh karena itu, ekspresinya akan menjadi sebagai berikut:

\(\frac{1}{{x + \sqrt x }}\frac{{x – \sqrt x }}{{x – \sqrt x }} = \frac{1}{{\left( {x + \sqrt x } \kanan)\kiri( {x – \sqrt x } \kanan)}}\kiri( {x – \sqrt x } \kanan)\)

Mengembangkan perkalian binomial konjugat dari penyebut, kami akhirnya mendapatkan bahwa:

\(\frac{1}{{x + \sqrt x }} = \frac{{x – \sqrt x }}{{{x^2} – x}}\)

Referensi

Aguilar Arturo, Bravo Fabián, Gallegos Herman, Cerón Miguel & Reyes Ricardo. (2009). Hitung. Meksiko: Pendidikan Pearson.