Definisi Prinsip / Persamaan Bernoulli

Prinsip Bernoulli, sering juga disebut Persamaan Bernoulli, adalah salah satu konsep terpenting dalam hidrodinamika dan mekanika fluida. Itu dirumuskan oleh fisikawan dan matematikawan Swiss Daniel Bernoulli pada 1738 sebagai bagian dari karyanya "hidrodinamika” dan bagian dari kekekalan energi dalam fluida ideal yang bergerak.

Bayangkan situasi berikut: Kita memiliki selang yang melaluinya air mengalir, yang keluar dari selang dengan kecepatan dan tekanan tertentu. Kemudian kami melanjutkan untuk menutup sebagian lubang keluar selang dengan jari; dengan melakukan ini kita melihat bagaimana air sekarang keluar dengan kecepatan yang lebih tinggi. Ini adalah contoh penerapan prinsip Bernoulli.

Cairan ideal bergerak

Prinsip Bernoulli berlaku untuk fluida ideal yang bergerak, jadi sebelum menjelaskan prinsip ini, penting untuk menyebutkan apa yang kita maksud dengan fluida ideal. Fluida ideal merupakan penyederhanaan dari fluida nyata, hal ini dilakukan karena gambaran fluida ideal secara matematis lebih sederhana dan memberi kita hasil yang berguna yang nantinya dapat diperluas ke kasus fluida nyata.

Ada empat asumsi yang dibuat untuk menganggap fluida ideal dan semuanya berkaitan dengan aliran:

• Steady flow: Steady flow adalah aliran yang kecepatan fluidanya sama di setiap titik di ruang angkasa. Dengan kata lain, kita mengasumsikan bahwa fluida tidak mengalami turbulensi.

• Inkompresibilitas: Diasumsikan juga bahwa fluida ideal tidak dapat dimampatkan, yaitu memiliki densitas konstan setiap saat.

• Non-viskositas: Viskositas adalah sifat fluida yang, secara umum, mewakili ketahanan fluida terhadap gerakan. Viskositas dapat dianggap analog dengan gesekan mekanis.

• Aliran irrotasional: Dengan asumsi ini kita mengacu pada fakta bahwa fluida yang bergerak tidak melakukan jenis gerakan melingkar apapun di sekitar titik mana pun di jalurnya.

Dengan membuat asumsi-asumsi ini dan memiliki fluida ideal, kami sangat menyederhanakan perlakuan matematis dan kami juga memastikan konservasi energi, yang merupakan titik awal menuju prinsip Bernoulli.

Persamaan Bernoulli dijelaskan

Mari kita pertimbangkan fluida ideal yang bergerak melalui pipa seperti yang ditunjukkan pada gambar berikut:

Kita sekarang akan menggunakan Teorema Usaha dan Energi Kinetik, yang merupakan cara lain untuk menyatakan Hukum Kekekalan Energi, ini memberitahu kita bahwa:

\(W = {\rm{\Delta }}K\)

Di mana \(W\) adalah kerja mekanik total dan \({\rm{\Delta }}K\) adalah perubahan energi kinetik antara dua titik. Dalam sistem ini kita memiliki dua jenis kerja mekanis, yang satu dilakukan oleh gaya gravitasi pada fluida dan yang lain dihasilkan dari tekanan fluida. Misalkan \({W_g}\) adalah kerja mekanis yang dilakukan oleh gravitasi dan \({W_p}\) adalah kerja mekanis yang dilakukan oleh tekanan, maka kita dapat mengatakan bahwa:

\({W_g} + {W_p} = {\rm{\Delta }}K\)

Karena gravitasi adalah gaya konservatif, kerja mekanis yang dilakukannya akan sama dengan perbedaan energi potensial gravitasi antara dua titik. Ketinggian awal di mana fluida ditemukan adalah \({y_1}\) dan ketinggian akhir adalah \({y_2}\), oleh karena itu, kita memiliki:

\({W_g} = – {\rm{\Delta }}mg{\rm{\Delta }}y = – {\rm{\Delta }}mg\left( {{y_2} – {y_1}} \right )\)

Dimana \({\rm{\Delta }}m\) adalah bagian massa fluida yang melewati titik tertentu dan \(g\) adalah percepatan gravitasi. Karena fluida ideal tidak dapat dimampatkan, maka \({\rm{\Delta }}m = \rho {\rm{\Delta }}V\). Di mana \(\rho \) adalah massa jenis fluida dan \({\rm{\Delta }}V\) adalah bagian volume yang mengalir melalui suatu titik. Mengganti ini ke dalam persamaan di atas kita mendapatkan:

\({W_g} = – \rho g{\rm{\Delta }}V\kiri( {{y_2} – {y_1}} \kanan)\)

Mari kita perhatikan kerja mekanis yang dilakukan oleh tekanan fluida. Tekanan adalah gaya yang diberikan per satuan luas, yaitu \(F = PA\). Di sisi lain, kerja mekanik didefinisikan sebagai \(W = F{\rm{\Delta }}x\) di mana \(F\) adalah gaya yang diterapkan dan \({\rm{\Delta }}x\) adalah perpindahan yang dilakukan dalam kasus ini pada sumbu x. Dalam konteks ini kita dapat menganggap \({\rm{\Delta }}x\) sebagai panjang bagian fluida yang mengalir melalui titik tertentu. Menggabungkan kedua persamaan kita memiliki \(W = PA{\rm{\Delta }}x\). Kita dapat menyadari bahwa \(A{\rm{\Delta }}x = {\rm{\Delta }}V\), yaitu bagian volume yang mengalir melalui titik tersebut. Oleh karena itu, kami memiliki \(W = P{\rm{\Delta }}V\).

Pada titik awal, kerja mekanis dilakukan pada sistem sebesar \({P_1}{\rm{\Delta }}V\) dan pada titik akhir sistem melakukan kerja mekanis pada lingkungan sebesar \({P_2}{\rm{\Delta }}V\). Kerja mekanis akibat tekanan fluida kemudian akan menjadi kerja yang dilakukan pada sistem dikurangi kerja yang dilakukannya pada sekelilingnya, yaitu:

\({W_p} = {P_1}{\rm{\Delta }}V – {P_2}{\rm{\Delta }}V = \kiri( {{P_1} – {P_2}} \kanan){\rm {\Delta }}V\)

Terakhir, selisih energi kinetik \({\rm{\Delta }}K\) akan sama dengan energi kinetik di titik akhir dikurangi energi kinetik di titik awal. Itu adalah:

\({\rm{\Delta }}K = \frac{1}{2}{\rm{\Delta }}mv_2^2 – \frac{1}{2}{\rm{\Delta }}mv_1^ 2 = \frac{1}{2}{\rm{\Delta }}m\left( {v_2^2 – v_1^2} \kanan)\)

Dari penjelasan di atas, kita tahu bahwa \({\rm{\Delta }}m = \rho {\rm{\Delta }}V\). Persamaan di atas kemudian menjadi:

\({\rm{\Delta }}K = \frac{1}{2}\rho {\rm{\Delta }}V\kiri( {v_2^2 – v_1^2} \kanan)\)

Mengganti semua hasil yang diperoleh dalam persamaan kekekalan energi, diperoleh bahwa:

\(\kiri( {{P_1} – {P_2}} \kanan){\rm{\Delta }}V – \rho {\rm{\Delta }}V\kiri( {{y_2} – {y_1}} \kanan) = \frac{1}{2}\rho {\rm{\Delta }}V\kiri( {v_2^2 – v_1^2} \kanan)\)

Kita dapat memfaktorkan suku \({\rm{\Delta }}V\) di kedua sisi persamaan, ini menghasilkan:

\({P_1} – {P_2} – \rho g\kiri( {{y_2} – {y_1}} \kanan) = \frac{1}{2}\rho \kiri( {v_2^2 – v_1^2 } \Kanan)\)

Mengembangkan produk yang hilang kita harus:

\({P_1} – {P_2} – \rho g{y_2} + \rho g{y_1} = \frac{1}{2}\rho v_2^2 – \frac{1}{2}\rho v_1^ 2\)

Mengatur ulang semua suku di kedua sisi persamaan, kita memperoleh bahwa:

\({P_1} + \rho g{y_1} + \frac{1}{2}\rho v_1^2 = {P_2} + \rho g{y_2} + \frac{1}{2}\rho v_2^ 2\)

Persamaan ini adalah hubungan antara keadaan awal dan keadaan akhir dari sistem kita. Kami akhirnya dapat mengatakan bahwa:

\(P + \rho gy + \frac{1}{2}\rho {v^2} = konstan\)

Persamaan terakhir ini adalah Persamaan Bernoulli yang prinsipnya diturunkan. Prinsip Bernoulli adalah hukum kekekalan untuk fluida ideal yang bergerak.

Referensi

David Halliday, Robert Resnick & Jearl Walker. (2011). Dasar-dasar Fisika. Amerika Serikat: John Wiley & Sons, Inc.