Contoh Ruang Penuh

Analisis Matematika adalah cabang ilmu matematika yang mempelajari tentang ruang penuh, yang merupakan jenis ruang metrik.

Ruang metrik terdiri dari pasangan titik dan fungsi jarak di antara mereka; dalam ruang-ruang ini dimungkinkan untuk mendefinisikan barisan Cauchy yang dibentuk oleh jarak yang semakin kecil antara dua titik ini. Ketika dalam ruang metrik tidak mungkin lagi menemukan jarak yang lebih kecil dalam barisan maka kita memiliki a ruang penuh. Himpunan numerik tertutup, yaitu yang memiliki batas, adalah ruang lengkap.

Contoh Ruang Penuh:

Himpunan bilangan asli, termasuk 0, adalah ruang lengkap karena himpunan ini ditutup pada akhir 0. Representasi dari himpunan bilangan ini adalah tidak= [0, 1, 2,… n}.

Mari kita ambil dua titik antara dua elemen dari himpunan ini, misalnya 4 dan 8, direpresentasikan dengan cara berikut p = (4, 8), fungsi jarak antara dua titik sama dengan 4, barisan Cauchy diberikan oleh barisan {4, 3, 2, 1, 0} yang konvergen pada 0.

Contoh lain adalah himpunan bilangan real positif yang dibentuk dengan {0} yang direpresentasikan sebagai

DAN⁺= [0, 1, 2, 3, 4,…. tidak}, karena diberikan dua titik dalam ruang ini barisan Cauchy akan konvergen ketika jaraknya 0

Himpunan bilangan rasional bukanlah ruang yang lengkap, karena jarak 0 (angka 0 sebagai angka tidak ada di himpunan ini) yang membuat deret Cauchy tidak konvergen pada titik mana pun dalam ini set.

Setiap interval tertutup dari bilangan asli adalah ruang lengkap.