Contoh Binomial Newton

Itu binomial Newton, disebut juga "teorema binomial " adalah logaritma yang memungkinkan kita memperoleh pangkat binomial.

Untuk mendapatkan pangkat binomial, koefisien yang disebut “koefisien binomial"Yang terdiri dari urutan kombinasi.

Contoh 1, Rumus umum binomial Newton:

(a + b)² =² + 2 ab + b²
(a - b)² =² –2 ab + b²
(a + b) 3 a³ + 3 sampai²b + 3 ab² + b³

Rumus-rumus ini dikenal dengan nama identitas yang menonjol, dimana dibuat rumus yang lebih umum yang setara dengan pengembangan (a + b)^tidak, di mana n adalah sembarang bilangan bulat.

Rumus ini berlaku untuk elemen apa pun untuk kamu b sebuah cincin,

A (untuk hukum + kamu x) untuk

Kondisikan bahwa kedua elemen untukkamu b jadilah seperti itu untuk x b = b x untuk:

(a + b)^tidak =^tidak + C¹_tidak untuk^n-2 xb² + ...
+ C^p_tidak  untuk^n-p x b^p +… + C_pⁿ¹ + b^tidak.

Itu C^p_tidak adalah bilangan bulat alami, yang disebut koefisien binomial (koefisien yang menyatakan jumlah kombinasi dari tidak barang diambil p untuk p; dapat dengan mudah dihitung berkat segitiga Pascal).

Contoh 2, dari binomial Newton:

Kami mempertimbangkan perkalian:

z. z = z² di mana z dapat berupa ekspresi aljabar apa pun:

Sekarang anggaplah itu z = x + kamu, kemudian:

z. z = (x + y) = (x + y) tetapi (x + y)

yang dapat dihitung seperti ini:

x + y
x + y

Di sini perkalian dilakukan dari kiri ke kanan dan hasilnya diperoleh dengan menjumlahkan secara aljabar:

x² + x y
+ xy + y²

x² + 2 x y + y²

(x + y)² = x² + 2 x y + y²

Jika kita mempertimbangkan:

z. z. z = z³;

(x + y) (x + y) (x + y) = (x + y)². (x + y) 2. (x + y) = (x² + 2 xy + y²) (x + y)

Ketika perkalian dilakukan, kita memperoleh:

X2 + 2 x y + y2
+ x²y + 2 x y² + dan²

X³ + 3 x² y + 3 x y² + dan³

(x + y)² (x + y) = (x + y)³ = x³ + 3 x² y + 3 x y² + dan³.

 z³. z = z⁴

z3. z = (x3 + 3 x2 y + 3 x y2 + y3) (x + y)

Dan ketika kita melakukan perkalian.

x³ + x² y + 3 x y² + dan³

x + y_________________

x⁴ + 3 x³ y + 3 x² kamu² + x y³

+ x³ y + 3 x2 y2 + 3xy³ + dan⁴

x⁴ + 4x³dan + 6x² y + 4xy³ + dan⁴

(x + y)⁴ = x4 + 4x³dan + 6x² kamu² + 4xy³ + dan⁴