Definizione di geometria non euclidea

Fondamentalmente, le geometrie non euclidee sono quelle che nascono dalla messa in discussione dei cosiddetti 5° Postulato di Euclide, quindi è essenziale una caratterizzazione generale dell'opera di Euclide, che fu un matematico e geometra greco, la cui opera è paradigmatica per la Geometria, da considerarsi uno dei suoi fondatori. Si sa con certezza sicurezza che visse nella città di Alessandria, centro culturale dell'antichità, intorno all'anno 300 a.C. C.

Il suo lavoro Elementi inizia con una serie di “principi”, costituita da un elenco di 23 definizioni; seguito da 5 postulati, riferiti a

figure specificamente geometrico; e 5 assiomi generali, comuni ad altre discipline matematiche. Successivamente, dopo i principi, Euclide introduce le "proposizioni", di due tipi: problemi, riferiti al costruzione di figure con riga e compasso; e teoremi, riferiti alla dimostrazione delle proprietà che alcuni figure geometriche.

Quinto postulato di Euclide

Afferma che “Se una retta che cade su altre due rette rende gli angoli interni dello stesso lato minori di due rette, poi, se le due rette sono prolungate indefinitamente, si incontrano dalla parte in cui gli angoli sono minori di due dritto”. Se gli angoli fossero retti, allora tali rette, secondo la definizione n. 23, sarebbero parallele ("Le rette parallele sono rette che, se sono sullo stesso piano e si prolungano indefinitamente, non si incontrano in nessuna direzione.”).

Questo postulato, più complesso dei precedenti, non era di per sé indubitabile: non era evidente che, prolungando linee indefinitamente, si intersecherebbero sul lato in cui gli angoli sono minori di due angoli retti, poiché non sarebbe possibile dimostrarlo con costruzione. Poi è rimasta aperta la possibilità che le linee si avvicinassero indefinitamente senza mai incrociarsi.

Tentativi di dimostrare il quinto postulato

È per questo motivo che, dall'Antichità fino alla metà dell'Ottocento, ci fu una serie di tentativi falliti di provare il quinto postulato: una prova si otteneva sempre; ma introducendo qualche altro postulato aggiuntivo (logicamente equivalente al quinto), diverso da quelli di Euclide. Cioè, il quinto postulato non può essere dimostrato, ma è stato sostituito da uno equivalente.

Un esempio di ciò è il postulato di John Playfair (s. XVIII): “Un singolo punto parallelo a quella linea passa per un punto esterno a una linea che si trova sullo stesso piano." (conosciuto come "postulato delle parallele”). Geometrie non euclidee nascono proprio dai tentativi falliti di provare il quinto postulato del sistema euclideo.

La prova dell'assurdità di Saccheri

Nel 1733, il matematico italiano Girolamo Saccheri tentò di dimostrare l'assurdità del quinto postulato di Euclide. Per fare questo, costruì un quadrilatero (noto come "Il quadrilatero di Saccheri”, in cui una coppia di angoli sono retti) e ha affermato che il quinto postulato è equivalente alla proposizione che il angoli caratteristici (quelli opposti alla coppia di angoli retti) di quel quadrilatero sono anche angoli retti. poi ce ne sono tre ipotesi possibile, mutuamente esclusivi: che i due angoli caratteristici siano retti, acuti o ottusi. Per provare il quinto postulato con l'assurdo, bisognava provare (senza ricorrere al quinto postulato) che le ipotesi dell'angolo ottuso e acuto implicavano contraddizione e, quindi, lo erano falso.

Saccheri è riuscito a dimostrare che l'ipotesi dell'angolo ottuso è contraddittoria, ma non ci è riuscito nel caso dell'angolo acuto. Al contrario, ha dedotto una serie di teoremi coerenti e incompatibili con la geometria euclidea. Infine, ha concluso che, data la stranezza di questi teoremi, l'ipotesi deve essere falsa. Di conseguenza, credeva di aver dimostrato assurdo il quinto postulato; tuttavia, ciò che fece fu inavvertitamente dimostrare un importante insieme di teoremi di geometria non euclidea.

La scoperta “simultanea” di geometrie non euclidee

Carl F. Gauss, nel diciannovesimo secolo, fu il primo a sospettare che il quinto postulato non potesse essere dimostrato dagli altri quattro (cioè che fosse indipendentemente) e nel concepire la possibilità di una geometria non euclidea che fosse basata sui quattro postulati euclidei e sulla negazione del quinto. Non ha mai pubblicato la sua scoperta: questo è considerato un caso di scoperta simultanea, perché aveva tre referenti indipendenti (Gauss stesso, János Bolyai e Nikolai Lobachevsky).

La negazione di quinto legge di Euclideo implica due possibilità (riprendendo la formulazione equivalente di Playfair): attraverso un punto al di fuori di una retta, o nessun passaggio parallelo, o più di un passaggio parallelo. Tra le geometrie non euclidee troviamo, ad esempio, la geometria "immaginario” di Lobachevsky, —poi noto come “iperbolico"- secondo, "Dato un punto esterno a una linea, infinite rette intersecantisi, infinite rette non intersecanti e solo due rette parallele passano per quel punto.”, a differenza dell'unico parallelo euclideo; o la geometria ellittica di Bernhard Riemann, che afferma che "Per un punto al di fuori di una linea, non passa parallela a quella linea.”.

Applicazioni e implicazioni della scoperta

Attualmente è noto che, nello spazio locale, entrambe le geometrie danno risultati approssimativi. Le differenze compaiono quando lo spazio fisico è descritto da una geometria o dall'altra, considerando grandi distanze. Sebbene continuiamo a utilizzare la geometria euclidea, poiché è quella che descrive più semplicemente il nostro spazio su scala locale, la scoperta delle geometrie non euclidee fu determinante in quanto significò una trasformazione radicale della comprensione delle verità scientifico.

Fino ad allora, si pensava che la geometria euclidea descrivesse veramente lo spazio. Nel dimostrare la possibilità di descriverla attraverso un'altra geometria, con altri postulati, è stato necessario ripensare i criteri con cui era possibile ipotizzare una spiegazione o l'altra come "vero”.

Bibliografia

MARTINEZ LORCA, A. (1980) “L'etica di Socrate e la loro influenza sul pensiero Occidental”, in Revista Baética: Estudios de Arte, Geografia e Storia, 3, 317-334. Università di Málaga.

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