Cosa sono le equazioni di Maxwell e come vengono definite?

Angelo Zamora Ramirez | lug. 2022
Laurea in fisica

Prima di queste equazioni si diceva che le forze elettriche e magnetiche fossero "forze a distanza", non si conosceva alcun mezzo fisico attraverso il quale si verificasse questo tipo di interazione. Dopo molti anni di ricerca su elettricità Y magnetismo, Michael Faraday intuì che doveva esserci qualcosa di fisico nello spazio tra le cariche e le correnti elettriche che permettesse loro di interagire tra loro e manifestare tutte le fenomeni elettrici e magnetici conosciuti, dapprima li chiamò "linee di forza", che portarono all'idea dell'esistenza di un campo elettromagnetico.

Basandosi sull'idea di Faraday, James Clerk Maxwell sviluppa una teoria dei campi rappresentata da quattro equazioni differenziali alle derivate parziali. Maxwell la definì "teoria elettromagnetica" e fu il primo a incorporare questo tipo di linguaggio matematico in una teoria fisica. Le equazioni di Maxwell nella loro forma differenziale per il vuoto (cioè in assenza di materiali dielettrici e/o polarizzabili) sono le seguenti:

\(\nabla \cdot \vec{E}=\frac{\rho }{{{\epsilon }_{0}}}\)
\(\nabla \times \vec{E}=-\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}\)
\(\nabla \cdot \vec{B}=0\)
\(\nabla \times \vec{B}={{\mu }_{0}}\vec{J}+{{\mu }_{0}}{{\epsilon }_{0}}\frac {\parziale \vec{E}}{\parziale t}\)
Equazioni di Maxwell per il vuoto nella sua forma differenziale

Dove \(\vec{E}~\)è il campo elettrico, \(\vec{B}~\)è il campo magnetico, \(\rho ~\)è la densità di carica elettrica, \(\vec{J}~~\)è un vettore associato ad a corrente elettrica, \({{\epsilon }_{0}}~\)è la permittività elettrica di un vuoto e \({{\mu }_{0}}~~\)è la permeabilità magnetica di un vuoto. Ognuna di queste equazioni corrisponde ad a legge di elettromagnetismo e ha un significato. Di seguito spiegherò brevemente ciascuno di essi.

La legge di Gauss

\(\nabla \cdot \vec{E}=\frac{\rho }{{{\epsilon }_{0}}}\)
Legge di Gauss per il campo elettrico

Ciò che ci dice questa prima equazione è che le cariche elettriche sono le sorgenti del campo elettrico, questo campo elettrico “diverge” direttamente dalle cariche. Inoltre, la direzione del campo elettrico è dettata dal segno della carica elettrica che lo produce, e quanto siano vicine le linee di campo indica l'ampiezza del campo stesso. L'immagine qui sotto riassume in qualche modo quanto appena accennato.

Illustrazione 1. Da Studiowork.- Diagramma dei campi elettrici generati da due cariche puntiformi, una positiva e una negativa.

Questa legge deve il suo nome al matematico Johann Carl Friedrich Gauss che la formulò sulla base del suo teorema di divergenza.

Legge di Gauss per il campo magnetico

\(\nabla \cdot \vec{B}=0\)

Legge di Gauss per il campo magnetico

Questa legge non ha un nome specifico, ma è chiamata così per la sua somiglianza con l'equazione precedente. Il significato di questa espressione è che non c'è "carica magnetica" analoga a "carica elettrica", cioè non ci sono monopoli magnetici che sono la fonte del campo magnetico. Questo è il motivo per cui se rompiamo un magnete a metà avremo ancora due magneti simili, entrambi con polo nord e polo sud.

Legge di Faraday

\(\nabla \times \vec{E}=-\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}\)
La legge dell'induzione di Faraday

Questa è la famosa legge di induzione formulata da Faraday quando nel 1831 scoprì che i campi magnetici mutevoli erano in grado di indurre correnti elettriche. Ciò che significa questa equazione è che un campo magnetico che cambia nel tempo è in grado di indurre attorno ad esso un campo elettrico, che a sua volta può far muovere cariche elettriche e creare a flusso. Sebbene all'inizio possa sembrare molto astratto, la legge di Faraday è alla base del funzionamento di motori, chitarre elettriche e piani cottura a induzione.

Legge Ampère-Maxwell

\(\nabla \times \vec{B}={{\mu }_{0}}\vec{J}+{{\mu }_{0}}{{\epsilon }_{0}}\frac {\parziale \vec{E}}{\parziale t}\)

La prima cosa che questa equazione ci dice è che le correnti elettriche generano campi magnetici attorno alla direzione della corrente e così via l'entità del campo magnetico generato dipende dall'entità di questo, questo era ciò che osservò Oersted e che in seguito Ampère riuscì a formulare. Tuttavia, c'è qualcosa di curioso dietro questa equazione, ed è che il secondo termine a lato legge dell'equazione è stato introdotto da Maxwell perché questa espressione era originariamente incoerente con gli altri, in particolare, ha comportato una violazione della legge di conservazione della carica elettrica. Per evitare ciò, Maxwell introdusse semplicemente questo secondo termine in modo che tutta la sua teoria fosse coerente, questo termine ricevette il nome di "corrente di spostamento" e all'epoca non c'erano prove sperimentali a sostegno. eseguirà il backup

Illustrazione 2. De Rumruay.- Una corrente elettrica che scorre attraverso un cavo genera un campo magnetico attorno ad esso secondo la legge di Ampère.

Il significato della corrente di spostamento è quello, allo stesso modo di un campo magnetico variabile induce un campo elettrico, un campo elettrico che cambia nel tempo è in grado di generare un campo magnetico. La prima conferma sperimentale della corrente di spostamento è stata la dimostrazione dell'esistenza di onde elettromagnetiche di Heinrich Hertz nel 1887, più di 20 anni dopo la pubblicazione della teoria della Maxwell. Tuttavia, la prima misura diretta della corrente di spostamento è stata effettuata da M. R. Van Cauwenberghe nel 1929.

la luce è un'onda elettromagnetica

Una delle prime previsioni sbalorditive fatte dalle equazioni di Maxwell è l'esistenza di onde elettromagnetiche, ma non solo, hanno anche rivelato che la luce doveva essere un'onda di questo Tipo. Per vedere questo in qualche modo giocheremo con le equazioni di Maxwell, ma prima, ecco la forma di qualsiasi equazione d'onda:

\({{\nabla }^{2}}u=\frac{1}{{{v}^{2}}}\frac{{{\parziale }^{2}}u}{\parziale {{ t}^{2}}}\)
Forma generale di un'equazione d'onda in tre dimensioni.

Dove \({{\nabla }^{2}}\) è l'operatore laplaciano, \(u\) è una funzione d'onda e \(v\) è la velocità dell'onda. Lavoreremo anche con le equazioni di Maxwell nello spazio vuoto, cioè in assenza di cariche elettriche e correnti elettriche, solo campi elettrici e magnetici:

\(\nabla \cdot \vec{E}=0\)

\(\nabla \times \vec{E}=-\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}\)

\(\nabla \cdot \vec{B}=0\)

\(\nabla \times \vec{B}={{\mu }_{0}}{{\epsilon }_{0}}\frac{\partial \vec{E}}{\partial t}\)

E useremo anche quanto segue identità calcolo vettoriale:

\(\nabla \times \left( \nabla \times \vec{A} \right)=\nabla \left( \nabla \cdot \vec{A} \right)-{{\nabla }^{2}} \time{A}\)

Se applichiamo questa identità ai campi elettrici e magnetici usando le equazioni di Maxwell per lo spazio vuoto sopra, otteniamo i seguenti risultati:

\({{\nabla }^{2}}\vec{E}={{\mu }_{0}}{{\epsilon }_{0}}\frac{{{\parziale }^{2} }\vec{E}}{\parziale {{t}^{2}}}\)

\({{\nabla }^{2}}\vec{B}={{\mu }_{0}}{{\epsilon }_{0}}\frac{{{\parziale }^{2} }\vec{B}}{\parziale {{t}^{2}}}\)

Nota la somiglianza di queste equazioni con l'equazione d'onda sopra, in conclusione, i campi elettrici e magnetici possono comportarsi come onde (onde elettromagnetiche). Se definiamo la velocità di queste onde come \(c\) e confrontiamo queste equazioni con l'equazione d'onda sopra, possiamo dire che la velocità è:

\(c=\frac{1}{\sqrt{{{\mu }_{0}}{{\epsilon }_{0}}}}\)

\({{\mu }_{0}}\) e \({{\epsilon }_{0}}\) sono rispettivamente la permeabilità magnetica e la permittività elettrica del vuoto, ed entrambe sono costanti universali i cui valori sono \({{\mu }_{0}}=4\pi \times {{10}^{-7}}~~T\cdot m/A\) e \({{\ epsilon } 0}}=8,8542\times {{10}^{-12}}~{{C}^{2}}/N\cdot m~\), sostituendo questi valori, abbiamo che il valore di \(c\) è \(c=299,792,458\frac{m}{s}\approssimativamente 300,000~km/s\) che è esattamente la velocità della luce.

Con questa piccola analisi possiamo ottenere tre conclusioni molto importanti:

1) I campi elettrici e magnetici possono comportarsi come onde, cioè ci sono onde elettromagnetiche che sono anche in grado di propagarsi attraverso il vuoto.

2) La luce è un'onda elettromagnetica la cui velocità dipende dalla permeabilità magnetica e dalla permittività del mezzo attraverso il quale si propaga, nello spazio vuoto la luce ha una velocità di circa 300.000 km/s.

3) Poiché la permeabilità magnetica e la permittività elettrica sono costanti universali, allora la anche la velocità della luce è una costante universale, ma ciò implica anche che il suo valore non dipenda di struttura da cui si misura.

Quest'ultima affermazione era molto controversa all'epoca.Come è possibile che la velocità di la luce è la stessa indipendentemente dal movimento della persona che la misura e dal movimento della sorgente luminosa. luce? La velocità di qualcosa deve essere relativa, giusto? Ebbene, questo fu uno spartiacque per la fisica del tempo e questo fatto semplice ma profondo portò allo sviluppo della Teoria della Relatività Speciale di Albert Einstein nel 1905.