Cos'è l'equazione di Dirac e come viene definita?

Paul Adrien Maurice Dirac (1902-1984) propose alla fine del 1928 una delle equazioni di maggiore importanza e implicazioni nella Fisica dell'era attuale, e questo perché unifica i principi della meccanica quantistica con quelli della relatività.

Preventivo (APA)

Evelyn Maitee Marin | agosto 2022
Ingegnere industriale, Master in Fisica e EdD

Questa equazione può essere espressa in diversi modi, il più compatto e semplificato è quella che è considerata una delle equazioni più estetiche della scienza:

\(\left( {i\nabla - \frac{{mc}}{h}} \right) = 0\)

Dove:
i: unità immaginaria
m: massa a riposo dell'elettrone
ħ: costante ridotta di Planck
c: velocità della luce
: operatore sommatoria di derivate parziali
: funzione d'onda matematica dell'elettrone

Il valore assoluto del quadrato della funzione d'onda rappresenta il probabilità trovare la particella in una certa posizione, considerandola Energia, velocità, tra gli altri parametri, nonché suo Evoluzione in tempo. In altre parole, l'equazione di Paul Dirac utilizza matrici che agiscono su vettori e rappresenta un'evoluzione dell'equazione di Schrödinger nella fisica quantistica relativistica.

L'equazione di Dirac è stata originariamente utilizzata per descrivere il comportamento di un elettrone privo di interazione, sebbene la sua applicabilità si estenda a descrizione di particelle subatomiche quando viaggiano a velocità prossime a quella della luce. Dirac riuscì a spiegare alla scala subatomica il duplice comportamento di onda e particella che era già noto a quel tempo, poiché considerava le proprietà delle particelle come il momento angolare intrinseco o girare.

Un altro dei contributi significativi dell'equazione di Dirac è la predizione dell'antimateria, la cui esistenza fu poi dimostrata (nel 1932) da Carl D. Anderson utilizzando una camera a nebbia con la quale ha identificato il positrone. Spiega anche in gran parte la struttura fine identificata nelle righe spettrali atomiche.

L'immagine mostra la famosa fotografia scattata durante la conferenza "Photons and Electrons" nel 1927 in cui sono ritratti alcuni degli scienziati più importanti della storia. Nella circonferenza celeste c'è Paul Dirac.

Sfondo dell'equazione di Dirac

Al fine di comprendere le considerazioni svolte da Dirac nello sviluppo della sua equazione, oltre al basi su cui si basava il suo approccio, è importante conoscere le teorie precedenti alla sua modello.

In primo luogo, c'è la famosa equazione di Schrödinger della meccanica quantistica, pubblicata nel 1925, che converte le quantità in operatori quantistici. Questa equazione utilizza la funzione d'onda (), prendendo come punto di partenza la classica equazione di energia E = p2/2m e incorpora le regole di quantizzazione sia per la quantità di moto (p) che per l'energia (E):

\(ih\frac{\partial }{{\partial t}}\left( {r, t} \right) = \left[ {\frac{{{h^2}}}{{2m}}{\ nabla ^2} + V\sinistra( {r, t} \destra)} \destra]\sinistra( {r, t} \destra)\)

La derivata parziale /t esprime l'evoluzione del sistema rispetto al tempo. Il primo termine all'interno della parentesi quadra si riferisce al Energia cinetica (\({\nabla ^2} = \frac{\partial }{{\partial r}}\left( {r, t} \right)\)), mentre il secondo termine si riferisce al energia potenziale.

Nota: nella teoria della relatività di Einstein, le variabili di spazio e tempo devono entrare ugualmente nel equazioni, che non è il caso dell'equazione di Schrödinger, in cui il tempo appare come una derivata e la posizione come una derivata seconda.

Ora, per secoli, gli scienziati hanno cercato di trovare un modello di Fisica che unisse le diverse teorie, e nel caso di L'equazione di Schrödinger, tiene conto della massa (m) e della carica dell'elettrone, ma non considera gli effetti relativistici che si manifestano ad alta velocità. Per questo motivo, nel 1926, gli scienziati Oskar Klein e Walter Gordon hanno proposto un'equazione che tiene conto dei principi di relatività:

\({\left( {ih\frac{\partial }{{\partial t}}} \right)^2} = \left[ {{m^2}{c^4} + c{{\left( { - ih\bar \nabla } \destra)}^2}} \destra]\)

Il problema con l'equazione di Klein-Gordon è che si basa su quella di Einstein, in cui l'energia è al quadrato, quindi questa equazione (Klein-Gordon) incorpora una derivata al quadrato rispetto al tempo, e questo implica che ha due soluzioni, consentendo valori negativi del tempo, e questo non ha senso fisico. Allo stesso modo, ha l'inconveniente di generare come soluzioni valori di probabilità inferiori a zero.

Cercando di risolvere le incongruenze implicate da soluzioni negative di determinate grandezze che non supportano questi risultati, Paul Dirac è partito dall'equazione di Klein-Gordon per linearizzarlo, e in questa procedura ha introdotto due parametri sotto forma di matrici di dimensione 4, note come matrici di Dirac o anche di Pauli, e che sono una rappresentazione dell'algebra del rotazione. Questi parametri sono indicati come  e ` (nell'equazione dell'energia, sono rappresentati come E = pc + mc2):

Per ciò che è uguaglianza è soddisfatta, la condizione è che ´2 = m2c4

In generale, le regole di quantizzazione portano a operazioni con derivate che si applicano alle funzioni d'onda scalari, tuttavia, come le i parametri α e β sono matrici 4x4, gli operatori differenziali intervengono su un vettore quadridimensionale (), detto spinore.

L'equazione di Dirac risolve il problema dell'energia negativa presentato dall'equazione di Klein-Gordon, ma appare ancora una soluzione di energia negativa; cioè particelle con proprietà simili a quelle dell'altra soluzione ma con carica opposta, Dirac chiamò queste antiparticelle. Inoltre, con l'equazione di Dirac, viene mostrato che lo spin è il risultato dell'applicazione di proprietà relativistiche al mondo quantistico.