Qual è la gerarchia delle operazioni?

La gerarchia delle operazioni è una convenzione matematica che stabilisce l'ordine in cui devono essere eseguite le azioni di calcolo combinate la stessa proposizione matematica, cioè quando c'è una proposizione matematica dove ci sono operazioni matematiche (addizione, sottrazione, moltiplicazione, divisione, potenze e radici) combinati, questi devono essere eseguiti in un ordine specifico per arrivare a un risultato comune.

Ma perché è necessaria una gerarchia? Per rispondere, dobbiamo prima capire bene la natura delle operazioni matematiche, che consiste in una trasformazione applicata agli elementi di un insieme. Pensiamo, ad esempio, all'insieme dei numeri reali, cioè a quei numeri che tutti conosciamo. Se prendiamo un numero a e lo sommiamo con un altro numero b otteniamo un altro numero c che appartiene allo stesso insieme di numeri reali, cioè:

a+b = c

Inoltre, l'ordine in cui vengono presentati gli addendi non influisce sul risultato finale, cioè quello

a+b = b+a, questa proprietà è chiamata commutatività. È importante parlare di addizione perché è l'operazione base da cui derivano tutte le altre. Una moltiplicazione non è altro che una serie di aggiunte ripetute. Se abbiamo di nuovo un numero a e lo moltiplichiamo per un numero b, quello che stiamo facendo a volte è aggiungere il numero b con se stesso, o, in alternativa, aggiungere b per il numero a con se stesso. Quest'ultimo è così poiché la moltiplicazione è commutativa come l'addizione, questo implica che: a⋅b = b⋅a. Quanto sopra può essere espresso come:

Possiamo facilmente visualizzarlo con un esempio. Facciamo la moltiplicazione 5×2:

5×2 = 2×5 = 2+2+2+2+2 = 5+5 = 10

Ora, cosa succede se dobbiamo eseguire un'operazione in cui abbiamo combinato l'addizione con la moltiplicazione? Ad esempio: a⋅b+c. Qual è l'ordine in cui devono essere eseguite l'addizione e la moltiplicazione? A quale operazione dobbiamo dare la preferenza? Se eseguiamo prima la moltiplicazione e la sviluppiamo come somma avremmo:

Ora, se eseguissimo prima l'addizione e poi la moltiplicazione otterremmo:

Poiché l'addizione è commutativa, possiamo raggruppare il lato destro dell'equazione per ottenere:

Confrontando i risultati ottenuti in entrambe le situazioni è facile rendersi conto che:

Concludiamo quindi che l'ordine in cui si decide di eseguire le operazioni influisce sul risultato ottenuto. Lo stesso accade quando coinvolgiamo i poteri. Quando eleviamo un numero b a potenza c, quello che stiamo facendo è moltiplicare c per il numero b con se stesso, cioè:

Procediamo ora a eseguire la seguente operazione combinata che coinvolge moltiplicazione e potenza a⋅b^C in un ordine diverso rispetto al caso precedente. Se prima diamo priorità al potere abbiamo:

Ora, se eseguiamo prima la moltiplicazione e poi la potenza, avremmo:

Sfruttando la commutatività della moltiplicazione possiamo raggruppare il lato destro dell'equazione come:

Ancora una volta, possiamo confrontare i risultati ottenuti eseguendo le operazioni in un ordine diverso per renderci conto che:

Anche in questo caso l'ordine in cui vengono eseguite le operazioni influisce sul risultato ottenuto. Quindi, qual è l'ordine in cui devono essere eseguite le operazioni? La gerarchia delle operazioni stabilisce che le potenze si trovino a un livello gerarchico superiore rispetto alle moltiplicazioni, in modo tale che le potenze abbiano la precedenza in un enunciato matematico. A loro volta, le moltiplicazioni hanno un livello gerarchico più alto rispetto alle addizioni.

Ma per quanto riguarda sottrazione, divisione e radici? La sottrazione è l'operazione inversa dell'addizione, quando sottraiamo un numero b da un numero a otteniamo un altro numero c tale che c+b=a. Qualcosa di simile accade con la divisione e la sottrazione. Se dividiamo un numero a per un numero b e otteniamo come risultato un numero c, abbiamo trovato un numero tale che b⋅c=a. E infine, calcolando la radice b di un numero a troviamo un numero c tale che c^B= un. Queste equivalenze pongono sottrazione, divisione e radice sullo stesso livello gerarchico rispettivamente di addizione, moltiplicazione e potenza.

Pratiche di parentesi e parentesi

Ora, cosa succede se vogliamo dare priorità ad alcune operazioni in un enunciato matematico indipendentemente dal loro livello gerarchico? Per fare ciò, vengono utilizzate parentesi quadre e parentesi quadre. Supponiamo di avere l'enunciato del principio a⋅b+c. Con quello che abbiamo detto prima sappiamo già che dobbiamo eseguire prima la moltiplicazione e poi l'addizione. Ma se volessimo che non fosse così? Per fare ciò, dovremmo usare parentesi tonde o parentesi quadre per separare l'addizione dalla moltiplicazione e quindi dare priorità al calcolo dell'addizione per prima, cioè: a⋅(b+c). Ciò fa sì che le istruzioni separate da parentesi e parentesi quadre abbiano la massima priorità rispetto a tutte le altre operazioni.

Con tutto quanto detto sopra, la gerarchia delle operazioni, ovvero l'ordine in cui devono essere eseguite, è la seguente:

1) Parentesi e parentesi
2) Potenze e radici
3) Moltiplicazioni e divisioni
4) Addizione e sottrazione

Riferimenti

H. Behnke, F. Bachmann, K. Flatt, W. Sussi, H. Gerik, F. Hohenberg, G. Picker, H. Rau & S. H. Gould. (1983). Fondamenti di matematica: volume I. Cambridge, Massachusetts e Londra: The MIT Press.