Definizione di funzione quadratica

Una funzione quadratica di una variabile reale la cui forma è espressa.

\(f\sinistra( x \destra) = a{x^2} + bx + c\)

Dove la variabile è \(x\), \(a, b\) e c sono costanti reali, chiamate coefficienti della funzione quadratica con \(a \ne 0.\)

La tabella propone esempi generali di funzioni quadratiche e la situazione che possono modellare, per illustrare in seguito la loro applicazione diretta da problemi reali.

Funzione quadratica	Situazione che puoi modellare
\(f\sinistra( x \destra) = {x^2}\)	La variabile \(y\) è l'area di un quadrato il cui lato misura \(x\).
\(f\sinistra( x \destra) = \pi {x^2}\)	La variabile \(y\) è l'area di un cerchio il cui raggio è \(x\).
\(f\sinistra( x \destra) = 100 – 4.9{x^2}\)	La variabile \(y\) è l'altezza di un oggetto che è stato lasciato cadere a un'altezza di 100 e \(x\) è il tempo trascorso.
\(f\left( x \right) = 60\left( {{\bf{sin}}45^\circ } \right) x – 4.9{x^2}\)	La variabile \(y\) è l'altezza di una palla di cannone lanciata con un angolo di 45° con una velocità di 60 m/s e \(x\) è il tempo trascorso. instagram story viewer

La formula generale e la funzione quadratica

Se per \(x = \alpha \) la funzione quadratica è zero, allora il numero è \(\alpha \) è chiamato la radice della funzione quadratica, sì, \(\alpha \) è la soluzione dell'equazione quadratica

\(a{x^2} + bx + c = 0\)

La formula generale per risolvere le equazioni quadratiche abbiamo che le radici di una funzione quadratica sono:

\(\alpha = \frac{{ – b + \sqrt {{b^2} – 4ac} }}{{2a}},\;\;\beta = \frac{{ – b – \sqrt {{b ^2} – 4ac} }}{{2a}}\)

Da quanto sopra, si stabilisce la seguente relazione tra le radici e i coefficienti della funzione quadratica:

\(\alpha + \beta = – \frac{b}{a},\;\;\alpha \beta = \frac{c}{a}\)

Attraverso prodotti notevoli si stabilisce la seguente identità:

\(a{x^2} + bx + c = a\sinistra( {x – \alpha } \right)\sinistra( {x – \beta } \right)\)

In modo analogo a quanto stabilito nella formula generale, si stabilisce che la funzione quadratica può essere espressa nella forma:

\(f\sinistra( x \destra) = a{\sinistra( {x – h} \destra)^2} + k\)

Con \(h = – \frac{b}{{2a}}\) e \(k = – \frac{{{b^2} – 4ac}}{a}\)

Risolvendo l'equazione:

\(a{\sinistra( {x – h} \destra)^2} + k = 0\)

È ottenuto:

\(\left| {x – h} \right| = \sqrt { – \frac{k}{a}} \)

\(x = h \pm \sqrt { – \frac{k}{a}} \)

Da quanto sopra si può concludere che \(f\left( x \right) = a{\left( {x – h} \right)^2} + k\), solo se le costanti \(k\) e \(a\) sono di segni opposti, questa funzione quadratica ha radici reali, che sono: \(h + \sqrt { – \frac{k}{a}} ,\;\;h – \sqrt { – \frac{k}{a} } \).

Se le costanti \(k\) e \(a\) hanno lo stesso segno allora la funzione quadratica non ha radici reali.

Quando \(k = 0,\;\;\) la funzione quadratica ha una sola radice.

Esempi applicati alla vita reale

Esempio applicativo 1: Economia

Una scuola vuole organizzare un torneo di calcio in cui ogni squadra affronta le altre solo una volta. C'è un budget di $ 15.600 per il costo dell'arbitrato, se il costo dell'arbitrato è di $ 200 per partita. Quante squadre possono iscriversi al torneo?

Dichiarazione del problema: dobbiamo trovare una funzione che calcoli il numero di corrispondenze quando abbiamo \(n\) squadre per contarle faremo l'ipotesi che la squadra 1 giochi prima con tutte le altre, cioè \(n – 1\) partite. La squadra 2 giocherebbe ora con tutte le altre, cioè con \(n – 2\), poiché avrà già giocato con la squadra 1. La squadra 3 avrà già giocato con le squadre 1 e 2, quindi dovrebbe giocare con le squadre n-3.

Con il ragionamento precedente arriviamo a:

\(f\sinistra( n \destra) = n – 1 + n – 2 + \ldots + 2 + 1\)

\(f\sinistra( n \destra) = \frac{{n\sinistra( {n – 1} \destra)}}{2}\)

La funzione di costo è:

\(C\sinistra( n \destra) = 200f\sinistra( n \destra) = 100n\sinistra( {n – 1} \destra)\)

Avendo un budget di $ 15.600, abbiamo l'equazione:

\(100n\sinistra( {n – 1} \destra) = 15600\)

soluzione dell'equazione

\(100n\left( {n – 1} \right) = 15600\) Situazione iniziale
\(n\left( {n – 1} \right) = 156\) Dividi ciascun lato dell'equazione per 100
\({n^2} – n – 156 = \) Aggiungi \( – 156\) a ciascun membro dell'equazione
\(\left( {n – 13} \right)\left( {n + 12} \right) = 0\) Abbiamo \(\left( { – 13} \right)\left( {12} \right ) = – 156\) e \( – 13 + 12 = – 1\)
È stato scomposto.
Soluzioni dell'equazione \(n = – 12,\;13\)
Risposta: Il budget è sufficiente per la registrazione di 13 squadre.

Esempio applicativo 2: Economia

Una compagnia di autobus di trasporto metropolitano ha osservato che, in una giornata di otto ore, ciascuno dei suoi autobus trasporta in media mille passeggeri. Per essere in grado di dare un aumento ai tuoi lavoratori, dovrai aumentare la tua tariffa, che attualmente è di $ 5; Un economista calcola che, per ogni peso che la tariffa aumenta, ogni camion perderà una media di 40 passeggeri al giorno. L'azienda ha calcolato che, per coprire l'aumento di stipendio, deve ottenere ogni giorno 760 dollari in più per camion, di quanto deve aumentare la tariffa?

Enunciazione del problema: Sia \(x\) l'ammontare di pesos in cui il biglietto aumenterà, per cui \(5 + x\) è il nuovo costo del biglietto. Con questo stesso aumento, ogni camion trasporterà in media \(1000 – 40x\) passeggeri al giorno.

Infine, il ricavo per camion è:

\(I\left( x \right) = \left( {5 + x} \right)\left( {1000 – 40x} \right) = – 40\left( {x + 5} \right)\left( {x – 25} \destra)\)

Per coprire l'aumento di stipendio, ogni autobus deve raccogliere: \(1000\left( 5 \right) + 760 = 5760\)

Infine abbiamo l'equazione:

\( – 40\sinistra( {x + 5} \destra)\sinistra( {x – 25} \destra) = 5760\)

soluzione dell'equazione
\( – 40\left( {x + 5} \right)\left( {x – 25} \right) = 5760\) Situazione iniziale
\(\left( {x + 5} \right)\left( {x – 25} \right) = – 144\) Dividi per \( – 40\) ogni lato dell'equazione
\({n^2} – 20n – 125 = – 144\) Il notevole prodotto è stato sviluppato
\({n^2} – 20n + 19 = 0\) 144 sono stati aggiunti a ciascuno
\(\left( {n – 19} \right)\left( {n – 1} \right) = 0\) Abbiamo \(\left( { – 19} \right)\left( { – 1} \ destra) = 19\) e \( – 19 – 1 = – 20\)
fattorizzato
Soluzioni dell'equazione \(n = 1.19\)
Risposta: Il prezzo del biglietto può aumentare di $ 1 o $ 19 pesos.

Esempio applicativo 3: Economia

Un negozio di pane vende una media di 1.200 panini a settimana per $ 6 ciascuno. Un giorno decise di aumentare il prezzo a 9 dollari al pezzo; ora le sue vendite sono diminuite: vende solo una media di 750 rotoli a settimana. Quale dovrebbe essere il prezzo di ogni panino in modo che le entrate del punto vendita siano le più alte possibili? Supponiamo che esista una relazione lineare tra domanda e prezzo.

Enunciato del problema: supponendo che esista una relazione lineare tra la domanda D e il prezzo \(x,\), allora

\(D = mx + b\)

Quando \(x = 6;D = 1200;\;\) che genera l'equazione:

\(1200 = 6m + b\)

Quando \(x = 9;D = 750;\;\) lo e si ottiene l'equazione:

\(750 = 9m + b\)

Risolvendo il sistema di equazioni, la relazione tra domanda e prezzo è:

\(D = – 150x + 2100 = – 150\sinistra( {x – 14} \destra)\)

Il reddito è pari a

\(I\sinistra( x \destra) = Dx = – 150x\sinistra( {x – 14} \destra)\)

Soluzione

Il grafico del reddito in una parabola che si apre verso il basso e raggiunge il suo valore massimo al vertice su che può essere trovato calcolando la media delle radici della funzione quadratica che modella il reddito. Le radici sono \(\alpha = 0,\;\;\beta = 14\).

\(h = \frac{{0 + 14}}{2} = 7\)

\(I\sinistra( h \destra) = – 150\sinistra( 7 \destra)\sinistra( {7 – 14} \destra) = 7350\)

Risposta

Il ricavo massimo è di $7.350 e si ottiene con un prezzo di $7; vendendo, in media, 1050 rotoli a settimana.

Esempio applicativo 4: Economia

Il costo per produrre \(n\) sedie in un giorno può essere calcolato con la funzione quadratica:

\(C\sinistra( n \destra) = {n^2} – 200n + 13000\)

Determinare il costo minimo che può essere raggiunto.

Dichiarazione problema

Il grafico di \(C\left( n \right)\) è una parabola che si apre verso l'alto e raggiungerà il suo punto di minimo in \(h = – \frac{b}{{2a}} = – \frac{{\ sinistra( { – 200} \destra)}}{{2\sinistra( 1 \destra)}} = 100\)

\(C\sinistra( {100} \destra) = {\sinistra( {100} \destra)^2} – 200\sinistra( {100} \destra) + 13000 = 3000\)

Risposta

Il costo più basso possibile è pari a $ 3000 e si ottiene producendo 100 sedie.

Esempio applicativo 5: Geometria

Un rombo ha un'area di 21 cm2; Se la somma delle lunghezze delle sue diagonali è 17 cm, qual è la lunghezza di ciascuna diagonale del rombo?

Dichiarazione del problema: l'area di un rombo viene calcolata con:

\(A = \frac{{Dd}}{2}\)

Con \(D\) e \(d\) le lunghezze delle sue diagonali, è anche noto:

\(D + d = 7\)

\(D = 17 – d\)

Sostituendo si ottiene:

\(A = \frac{{\left( {17 – d} \right) d}}{2}\)

Finalmente otteniamo l'equazione

\(\frac{{\left( {17 – d} \right) d}}{2} = 21\)

Soluzione
\(\frac{{\left( {17 – d} \right) d}}{2} = 21\) Situazione iniziale
\(\left( {17 – d} \right) d = 42\) Moltiplicare per \( – 40\) ogni lato dell'equazione
\({d^2} – 17d + 42 = 0\) Il prodotto è stato sviluppato.
\(\left( {d – 14} \right)\left( {d – 3} \right) = 0\) Abbiamo \(\left( { – 14} \right)\left( { – 3} \ destra) = 42\) e \( – 14 – 3 = – 17\)
fattorizzato
Soluzioni dell'equazione \(d = 3.14\)
Risposta:

Le diagonali del rombo misurano 14 cm e 3 cm.

Esempio applicativo 6: Geometria

Si desidera realizzare un pollaio rettangolare di 140 mq, sfruttando una recinzione abbastanza lunga che costituirà il fondo del pollaio. Gli altri tre lati saranno realizzati con 34 metri lineari di rete metallica, quanto devono essere la lunghezza e la larghezza del pollaio per utilizzare la rete totale?

Nelle stesse condizioni, qual è la superficie massima recintabile con la stessa maglia?

Dichiarazione del problema: secondo il diagramma, l'area è uguale a:

\(A\sinistra( x \destra) = x\sinistra( {34 – 2x} \destra) = 2x\sinistra( {17 – x} \destra)\)

Dove \(x\) è la lunghezza del lato perpendicolare alla recinzione.

Per conoscere le misure del rettangolo in modo che abbia un'area di 140 m2, è sufficiente risolvere l'equazione

\(2x\sinistra( {17 – x} \destra) = 140\)

Poiché il grafico di \(A\left( x \right)\) è una parabola che si apre verso il basso per calcolare il valore massimo dell'area, è sufficiente calcolare il vertice della parabola.

Risposte
Misure del rettangolo con area 140 m2
Lunghezza del lato perpendicolare alla recinzione

\(x\) Lunghezza del lato parallelo alla staccionata

\(34 – 2x\)
10 14
7 20

La prima coordinata del vertice è \(h = \frac{{17}}{2}\) e

\(A\sinistra( h \destra) = \frac{{289}}{2}\)

L'area è massima quando il lato perpendicolare misura \(\frac{{17}}{2}\;\)m e il lato parallelo misura 17m, misura 17m, il valore dell'area massima raggiunta è \(\frac{ {289}} {2}\)m2.

Grafico di una funzione quadratica

Da un punto di vista geometrico, le radici sono i punti in cui il grafico di una funzione interseca l'asse \(x\).

Dall'espressione

\(f\sinistra( x \destra) = a{\sinistra( {x – h} \destra)^2} + k,\)

Stabiliremo la forma generale del grafico di una funzione quadratica.

Primo caso \(a > 0\) e \(k > 0\)

\(f\sinistra( x \destra) = a{\sinistra( {x – h} \destra)^2} + k\)

\(X\)	\(f\sinistra( x \destra)\)
\(ore – 1\)	\(a + k\)
\(h – 2\)	\(4a + k\)
\(ore – 3\)	\(9a + k\)
\(h – 4\)	\(16a + k\)
\(H\)	\(K\)
\(ore + 1\)	\(a + k\)
\(ore + 2\)	\(4a + k\)
\(ore + 3\)	\(9a + k\)
\(ore + 4\)	\(16a + k\)

In questo caso il grafico soddisfa:

Simmetrico: con asse di simmetria \(x = h = – \frac{b}{{2a}}.\) Cioè \(f\left( {h – s} \right) = f\left( {h + s} \destra)\)

Si trova sopra l'asse \(x\) e non lo interseca. Cioè, \(f\left( x \right) > 0\) non ha radici reali.

Il punto più basso del grafico si trova nel punto \(\left( {h, k} \right)\). Cioè \(f\left( x \right) \ge f\left( h \right) = k\)

Secondo caso \(a < 0\) e \(k < 0\)

\(f\sinistra( x \destra) = a{\sinistra( {x – h} \destra)^2} + k\)

\(X\)	\(f\sinistra( x \destra)\)
\(ore – 1\)	\(a + k\)
\(h – 2\)	\(4a + k\)
\(ore – 3\)	\(9a + k\)
\(h – 4\)	\(16a + k\)
\(H\)	\(K\)
\(ore + 1\)	\(4a + k\)
\(ore + 2\)	\(9a + k\)
\(ore + 3\)	\(4a + k\)
\(ore + 4\)	\(16a + k\)

In questo caso il grafico soddisfa:

Simmetrico: con asse di simmetria \(x = h = – \frac{b}{{2a}}.\) Cioè \(f\left( {h – s} \right) = f\left( {h + s} \destra)\)

Si trova sotto l'asse \(x\) e non lo interseca. Cioè, \(f\left( x \right) < 0\) non ha radici reali. Il punto più alto del grafico si trova nel punto \(\left( {h, k} \right)\). Cioè \(f\left( x \right) \le f\left( h \right) = k\) Terzo caso \(a > 0\) e \(k \le 0\).

Questo caso è simile al primo caso, la differenza è che ora abbiamo una radice reale (quando \(k = 0\) ) o due radici reali.

In questo caso il grafico soddisfa:

Simmetrico: con asse di simmetria \(x = h = – \frac{b}{{2a}}.\) Cioè \(f\left( {h – s} \right) = f\left( {h + s} \destra)\)

Interseca l'asse \(x\), cioè ha almeno una radice reale.

Il punto più basso del grafico si trova nel punto \(\left( {h, k} \right)\). Cioè \(f\left( x \right) \ge f\left( h \right) = k\)

Quarto caso \(a < 0\) e \(k \ge 0\). Questo caso è simile al secondo caso, la differenza è che ora abbiamo una radice reale (quando \(k = 0\) ) o due radici reali. In questo caso il grafico soddisfa:

Simmetrico: con asse di simmetria \(x = h = – \frac{b}{{2a}}.\) Cioè \(f\left( {h – s} \right) = f\left( {h + s} \destra)\)

Il punto più basso del grafico si trova nel punto \(\left( {h, k} \right)\). Cioè \(f\left( x \right) \le f\left( h \right) = k\)

Il grafico di una funzione quadratica si chiama parabola e i suoi elementi da evidenziare sono l'asse di simmetria, i punti in cui si interseca all'asse \(x\) e al vertice, che è il punto sul grafico della funzione in cui raggiunge il suo punto più basso o più alto a seconda della caso.

Sulla base delle analisi effettuate, possiamo affermare:

La parabola associata alla funzione quadratica \(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\) ha il suo vertice in \(\left( {h, k} \right)\) dove :

\(h = – \frac{b}{{2a}},\;\;k = f\sinistra( h \destra)\)

esempi

Funzione quadratica \(y = {x^2}\)	elementi importanti
Vertice della parabola	\(\sinistra( {0,0} \destra)\)
Asse di simmetria della parabola	\(x = 0\)
Intercetta con l'asse \(x\).	\(\sinistra( {0,0} \destra)\)

Funzione quadratica \(y = – \frac{1}{2}{\left( {x – 2} \right)^2}\)	elementi importanti
Vertice della parabola	\(\sinistra( {2,0} \destra)\)
Asse di simmetria della parabola	\(x = 2\)
Intercetta con l'asse \(x\).	\(\sinistra( {2,0} \destra)\)

Funzione quadratica \(y = {\left( {x + 2} \right)^2} – 4\)	elementi importanti
Vertice della parabola	\(\sinistra( { – 2, – 4} \destra)\)
Asse di simmetria della parabola	\(x = – 2\)
Intercetta con l'asse \(x\).	\(\sinistra( { – 4,0} \destra);\sinistra( {0,0} \destra)\)

Funzione quadratica \(y = – \frac{1}{2}{\left( {x – 9} \right)^2} + 8\)	elementi importanti
Vertice della parabola	\(\sinistra( {9,8} \destra)\)
Asse di simmetria della parabola	\(x = 9\)
Intercetta con l'asse \(x\).	\(\sinistra( {5,0} \destra);\sinistra( {13,0} \destra)\)

Funzione quadratica \(y = {x^2} + 1\)	elementi importanti
Vertice della parabola	\(\sinistra( {0,1} \destra)\)
Asse di simmetria della parabola	\(x = 0\)
Intercetta con l'asse \(x\).	Non ha

Funzione quadratica \(y = – \frac{1}{2}{\left( {x – 2} \right)^2} – 1\)	elementi importanti
Vertice della parabola	\(\sinistra( {2, – 1} \destra)\)
Asse di simmetria della parabola	\(x = 2\)
Intercetta con l'asse \(x\).	Non ha

Se esistono le radici reali di una funzione quadratica, possiamo rappresentarne la parabola associata. Supponiamo che \(f\left( x \right) = a\left( {x – \alpha } \right)\left( {x – \beta } \right)\)

Per questo, è necessario tenere conto di quanto segue:

\(\alpha + \beta = – \frac{b}{a}\)

\(\frac{{\alpha + \beta }}{2} = – \frac{b}{{2a}} = h\)

COME

\(k = f\sinistra( h \destra)\)

\(k = f\sinistra( {\frac{{\alpha + \beta }}{2}} \destra)\)

\(k = a\left( {\frac{{\alpha + \beta }}{2} – \alpha } \right)\left( {\frac{{\alpha + \beta }}{2} – \ beta } \destra)\)

\(k = – \frac{a}{4}{\left( {\alpha – \beta } \right)^2}\)

esempi

Disegna il grafico della funzione quadratica \(f\left( x \right) = \frac{1}{4}\left( {x – 3} \right)\left( {x + 6} \right )\)

Soluzione

Le radici sono \(\alpha = 3\;\) e \(\beta = – 6\); quindi \(h = \frac{{3 – 6}}{2} = – \frac{3}{2}\).

\(k = f\sinistra( { – \frac{3}{2}} \destra) = 2\sinistra( { – \frac{3}{2} – 3} \destra)\sinistra( { – \frac {3}{2} + 6} \destra) = \frac{1}{4}\sinistra( { – \frac{9}{2}} \destra)\sinistra( {\frac{9}{2}} \destra) = – \frac{{81}}{{16}}\)

Quindi possiamo costruire la seguente tabella

\(f\sinistra( x \destra) = 2\sinistra( {x – 3} \destra)\sinistra( {x + 6} \destra)\)	elementi importanti
Vertice della parabola	\(\sinistra( { – \frac{3}{2}, – \frac{{81}}{2}} \destra)\)
Asse di simmetria della parabola	\(x = – \frac{{81}}{2}\)
Intercetta con l'asse \(x\).	\(\sinistra( { – 6,0} \destra)\;,\;\sinistra( {3,0} \destra)\)

Per tracciare il grafico della funzione:

\(f\sinistra( x \destra) = 3{x^2} – 18x + 4\)

Useremo le stesse idee che abbiamo già utilizzato; Per questo determineremo prima il vertice.

In questo caso, \(a = 3;b = – 12,\;c = 4\).

Poiché \(a > 0\), la parabola “si aprirà e \(h = – \frac{b}{{2a}} = – \left( {\frac{{ – 18}}{{3\left ( 2 \right)}}} \right) = 3.\) Successivamente calcoleremo \(k:\)

\(k = f\sinistra( h \right) = f\sinistra( 3 \right) = 3{\sinistra( 3 \right)^2} – 18\sinistra( 3 \right) + 4 = – 23\)

Il vertice della parabola è a \(\left( {3, – 23} \right)\) e poiché si apre verso l'alto, allora la parabola intersecherà l'asse \(x\;\) e il suo asse di simmetria è \ (x = 3\).

Consideriamo ora la funzione quadratica

\(f\sinistra( x \destra) = – 5{x^2} + 10x – 9\)

In questo caso, \(a = 3;b = – 12,\;c = 4\).

Poiché \(a < 0\), la parabola si “aprirà” verso il basso e \(h = - \frac{b}{{2a}} = - \left( {\frac{{10}}{{\left( 2 \destra)\sinistra( { - 5} \destra)}}} \destra) = 1.\) A Quindi calcoleremo \(k:\) \(k = f\left( h \right) = f\left( 1 \right) = - 5{\left( 1 \right)^2} + 10\left( 1 \ destra) - 9 = - 4\) Il vertice del la parabola è in \(\left( {1, - 4} \right)\) e poiché si apre verso il basso, allora la parabola non intersecherà l'asse \(x\;\) e il suo asse di simmetria è \(x = 1.\)