Definizione di progressione geometrica

Una sequenza di numeri \({{a}_{1}},~{{a}_{2}},{{a}_{3}},\ldots \); Si dice progressione geometrica se, partendo dal secondo, ogni elemento è ottenuto dalla moltiplicazione del precedente per un numero \(r\ne 0\), cioè se:
\({{a}_{n+1}}={{a}_{n}}r\)
Dove:
- Il numero \(r\) è chiamato il rapporto della progressione geometrica.
- L'elemento \({{a}_{1}}\) è chiamato il primo elemento della progressione aritmetica.

Gli elementi della progressione geometrica possono essere espressi in termini del primo elemento e del suo rapporto, cioè:
\({{a}_{1}},{{a}_{1}}r,{{a}_{1}}{{r}^{2}},{{a}_{1} }{{r}^{3}}\)

Sono i primi quattro elementi della progressione aritmetica; in generale, l'elemento \(k-\)esimo è espresso come segue:
\({{a}_{k}}={{a}_{1}}{{r}^{k-1}}\)

Quando \({{a}_{1}}\ne 0,~\)della precedente espressione si ottiene:

\(\frac{{{a}_{k}}}{{{a}_{l}}}=\frac{{{a}_{1}}{{r}^{k-1}} }{{{a}_{1}}{{r}^{l-1}}}\)

\(\frac{{{a}_{k}}}{{{a}_{l}}}={{r}^{k-l}}\)

L'espressione precedente è equivalente a:

\({{a}_{k}}={{a}_{l}}{{r}^{k-l}}\)

Esempio/esercizio 1. Trova la differenza della progressione aritmetica: \(2,6,18,54,\ldots \) ​​​​e trova gli elementi \({{a}_{20}},~{{a}_{91}} \)

Soluzione

Poiché \(\frac{6}{2}=\frac{18}{6}=\frac{54}{18}=3\) possiamo concludere che il rapporto è:

\(r=3\)

\({{a}_{20}}=2\sinistra( {{3}^{20-1}} \destra)=2{{\sinistra( 3 \destra)}^{19}}\)

\({{a}_{91}}=2\sinistra( {{3}^{91-1}} \destra)=2{{\sinistra( 3 \destra)}^{90}}\)

Esempio/esercizio 2. In una progressione aritmetica abbiamo: \({{a}_{17}}=20~\)y \({{a}_{20}}=-1280\), determiniamo il rapporto della progressione geometrica e scriviamo i primi 5 elementi.

Soluzione

Logorante

\(\frac{{{a}_{k}}}{{{a}_{l}}}={{r}^{k-l}}\)

\(\frac{{{y}_{20}}}{{{y}_{17}}}={{r}^{20-17}}\)

\(\frac{-1280}{20}={{r}^{3}}\)

\(-64={{r}^{3}}\)

\(\sqrt[3]{-64}=\sqrt[3]{{{r}^{3}}}\)

\(-4=r\)

Trovare i primi 5 elementi della progressione aritmetica; calcoleremo \({{a}_{1}}\):

\({{a}_{k}}={{a}_{1}}{{r}^{k-1}}\)

\({{a}_{17}}={{a}_{1}}{{\left( r \right)}^{17-1}}\)

\(20={{a}_{1}}{{\left( -4 \right)}^{16}}\)

\(\frac{20}{{{4}^{16}}}={{a}_{1}}\)

\(\frac{5\left( 4 \right)}{{{4}^{16}}}={{a}_{1}}\)

\(\frac{5}{{{4}^{15}}}={{a}_{1}}\)

I primi 5 elementi della progressione geometrica sono:

\(\frac{5}{{{4}^{15}}},~\frac{5}{{{4}^{15}}}\left( -4 \right),\frac{5} {{{4}^{15}}}{{\sinistra( -4 \right)}^{2}},\frac{5}{{{4}^{15}}}{{\left( -4 \right)}^{3}},\frac{5}{{ {4}^{15}}}{{\left( -4 \destra)}^{4}}\)

\(\frac{5}{{{4}^{15}}},-~\frac{5}{{{4}^{14}}},\frac{5}{{{4}^{ 13}}},-\frac{5}{{{4}^{12}}},\frac{5}{{{4}^{11}}}\)

Esempio/esercizio 3. Un vetro sottile assorbe il 2% della luce solare che lo attraversa.

A. Quale percentuale di luce passerà attraverso 10 di quei vetri sottili?

B. Quale percentuale di luce passerà attraverso 20 di quei vetri sottili?

C. Determinare la percentuale di luce che passa attraverso \(n\) vetri sottili con le stesse caratteristiche, posti uno dopo l'altro.

Soluzione

Rappresenteremo con 1 la luce totale; assorbendo il 2% della luce, il 98% della luce passa attraverso il vetro.

Rappresenteremo con \({{a}_{n}}\) la percentuale di luce che passa attraverso il vetro \(n\) .

\({{a}_{1}}=0.98,~{{a}_{2}}=0.98\left( 0.98 \right),~{{a}_{3}}={{\left( 0.98 \destra)}^{2}}\sinistra( 0.98 \destra),\)

In generale \({{a}_{n}}={{\left( 0.98 \right)}^{n}}\)

A. \({{a}_{10}}={{\left( 0.98 \right)}^{10}}=0.81707\); che ci dice che dopo che il vetro 10 passa l'81,707% di luce

B. \({{a}_{20}}={{\left( 0.98 \right)}^{20}}=~0.66761\); che ci dice che dopo il bicchiere 20 passa il 66,761%

La somma dei primi \(n\) elementi di una progressione geometrica

Data la progressione geometrica \({{a}_{1}},{{a}_{1}}r,{{a}_{1}}{{r}^{2}},{{a} 1}}{{r}^{3}}\)….

Quando \(r\ne 1\) è la somma dei primi \(n\) elementi, la somma:

\({{S}_{n}}={{a}_{1}}+{{a}_{1}}r+{{a}_{1}}{{r}^{2}} +{{a}_{1}}{{r}^{3}}+\ldots +{{a}_{1}}{{r}^{n-1}}\)

Può essere calcolato con

\({{S}_{n}}={{a}_{1}}\frac{\left( 1-{{r}^{n}} \right)}{1-r},~r \n1\)

Esempio/esercizio 4. Dall'esempio 2 calcola \({{S}_{33}}\).

Soluzione

In questo caso \({{a}_{1}}=\frac{5}{{{4}^{15}}}\) e \(r=-4\)

applicando

\({{S}_{n}}={{a}_{1}}\frac{\left( 1-{{r}^{n}} \right)}{1-r}\)

\({{S}_{22}}=\frac{5}{{{4}^{15}}}\frac{1-{{\left( -4 \right)}^{22}}} {1-\sinistra( -4 \destra)}\)

\({{S}_{22}}=\frac{5}{{{4}^{15}}}\frac{1-{{\left( -4 \right)}^{22}}} {5}\)

\({{S}_{22}}=\frac{1-{{\left( 4 \right)}^{22}}}{{{4}^{15}}}\)

\({{S}_{22}}=\frac{1}{{{4}^{15}}}-\frac{{{\left( 4 \right)}^{22}}}{{ {4}^{15}}}\)

\({{S}_{22}}=\frac{1}{{{4}^{15}}}-{{4}^{7}}\)

Esempio/esercizio 5. Supponiamo che una persona carichi una foto del proprio animale domestico e la condivida con 3 dei suoi amici su un social network Internet, e in un'ora ciascuno di loro, condivide la fotografia con altre tre persone e poi quest'ultima, in un'altra ora, ognuno di loro condivide la fotografia con altri 3 persone; E così va avanti; ogni persona che riceve la fotografia la condivide con altre 3 persone entro un'ora. In 15 ore, quante persone hanno già la fotografia?

Soluzione

La tabella seguente mostra i primi calcoli
Tempo Persone che ricevono la fotografia Persone che hanno la fotografia
1 3 1+3=4
2 (3)(3)=32=9 4+9=13
3 32(3)= 33=27 13+27=40

Il numero di persone che ricevono la fotografia nell'ora \(n\) è pari a: \({{3}^{n}}\)

Il numero di persone che hanno già la fotografia nell'ora è pari a:

\(3+{{3}^{2}}+{{3}^{3}}+\ldots +{{3}^{n}}\)

applicando

\({{S}_{n}}={{a}_{1}}\frac{\left( 1-{{r}^{n}} \right)}{1-r}\)

Con \({{a}_{1}}=3,\) \(r=3\) e \(n=15\)

Per cui:

\({{S}_{n}}=\frac{\left( 1-{{3}^{15}} \right)}{1-3}=7174453\)

mezzi geometrici

Dati due numeri \(a~\) e \(b,\) i numeri \({{a}_{2}},{{a}_{3}},\ldots ,{{a}_{k +1}}\) sono chiamate \(k\) medie geometriche dei numeri \(a~\) e \(b\); se la sequenza \(a,{{a}_{2}},{{a}_{3}},\ldots ,{{a}_{k+1}},b\) è una progressione geometrica.

Per conoscere i valori di \(k\) medie geometriche dei numeri \(a~\) e \(b\), è sufficiente conoscere il rapporto della progressione aritmetica, per questo occorre considerare quanto segue:

\(a={{a}_{1}},{{a}_{2}},{{a}_{3}},\ldots ,{{a}_{k+1}},{ {a}_{k+2}}=b,\)

Da quanto sopra stabiliamo la relazione:

\(b=a{{r}^{k+1}}\)

Risolvendo per \(d\), otteniamo:

\(b=a{{r}^{k+1}}\)

\(\frac{b}{a}={{r}^{k+1}}\)

\(r=\sqrt[k+1]{\frac{b}{a}}\)

Esempio/esercizio 6. Trova 2 medie geometriche tra i numeri -15 e 1875.

Soluzione

Quando si applica

\(r=\sqrt[k+1]{\frac{b}{a}}\)

con \(b=375,~a=-15\) e \(k=2~\):

\(r=\sqrt[2+1]{\frac{1875}{-15}}\)

\(r=\sqrt[3]{-125}=-5\)

Le 3 medie geometriche sono:

\(75,-375\)

Esempio/esercizio 7. Una persona ha investito denaro e ha ricevuto interessi ogni mese per 6 mesi e il suo capitale è aumentato del 10%. Supponendo che il tasso non sia cambiato, qual era il tasso di interesse mensile?

Soluzione

Sia \(C\) il capitale investito; la capitale finale è \(1.1C\); Per risolvere il problema dobbiamo porre 5 medie geometriche, applicando la formula:

\(r=\sqrt[k+1]{\frac{b}{a}}\)

Con \(k=5,~b=1.1C\) e \(a=C.\)

\(r=\sqrt[5+1]{\frac{1.1C}{C}}=\sqrt[6]{1.1}=1.016\)

La tariffa mensile ricevuta è stata \(1,6%\)